II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

Комплекс учебников из 20 иыпускои Под редакцией В. С. Зарубина и А. П. Крищенко 1. Введение в анализ 1!. Дифференциальное исчисление функций одного переменного Ш. Аналитическая геометрия 1Ч. Линейная алгебра У. Дифференциальное исчисление функций многих переменных И. Интегральное исчисление функций одного переменного И1. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля И11. Дифференциальные уравнения 1Х. Ряды Х.

Теория функций комплексного переменного Х1. Интегральные преобразования и операционное исчисление Х11. Дифференциальные уравнения математической физики ХИ1. Приближенные методы математической физики Х17. Методы оптимизации ХУ. Вариационное исчисление и оптимальное управление ХИ. Теория вероятностей ХИ1. Математическая статистика ХИ11.

Случайные процессы Х1Х. Дискретная математика ХХ. Исследование операций Е.Е. Иванова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Под редакцией д-ра техн. наук., профессора В.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко Рекомендовано Министерством общего и профессионаяьного образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений Москва Издательство МГТУ им.

Н. Э. Баумана 1998 УДК 517.2.221 ББК 22.161.1 И20 Рецензенты: доц. Л.Н. Каролинская, доц. Н.В. Копченова 18ВХ 5-7038-1271-2 (Вып. 1Ц 18ВХ 5-7038-1270-4 Книга является вторым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете". Знакомит читателя с понятиями производной и дифференциала, с их использованием при исследовании функций одного переменного.

Большое внимание уделено геометрическим приложениям дифференциального исчисления и его применению к решению нелинейных уравнений, интерполированию и численному дифференцированию функций. Приведены примеры и задачи физического, механического и технического содержания. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Для студен гов технических вузов. Может быть полезна преподавателям и аспирантам.

Ил. 9$. Табл. 3. Библиогр. 48 назв. Выпуск книги финансировал Московский государстпвенный технический университет им. Н. Э. Баумана ВБК 22.181.1 © Е.Е. Иванова, 1998 © Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 1998 БВХ 5-7038-1271-2 (Вып. П) 18ВХ 5-7038-1270-4 © Издательство МГТУ им. Н.Э, Баумана, 1998 И20 Иванцова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С.Зарубина, А.П. Крищенко.

— М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. — 408 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. П). ПРЕДИСЛОВИЕ Дифференциальное исчисление является одним из основных разделов математического анализа и служит инструментом исследования функций. В этой книге (втором выпуске комплекса учебников „Математика в техническом университете") предметом исследования будут лишь функции одного действитпельного переменного, что и определяет ее название.

Решающие шаги в создании дифференциального исчисления функций одного переменного сделали в ХЧП в. И. Ньютон и Г. Лейбниц. В современном представлении теоретическую основу дифференциального исчисления (и вообще математического анализа) составляет теория пределов. Используемые в этой книге сведения из теории пределов можно найти в изданном в 1996 г. и названном „Введение в анализ" первом выпуске упомянутого комплекса учебников. В тексте книги имеются ссылки на другие выпуски комплекса учебников. Такой ссылкой служит номер выпуска.

Например, ~1, 7.5) означает, что имеется в виду пятый параграф седьмой главы в первом выпуске. Ссылки без римских цифр относятся только к этому, второму, выпуску. Так, (см. 1.2) отсылает читателя ко второму параграфу первой главы, а (см. Д.4.1) — к первому дополнению четвертой главы этой книги. Ссылки на номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (например, (2.1) — первая формула в главе 2, (рис.

1.5) — пятый рисунок в главе 1). Большинство используемых в этой книге обозначений введено в ~1~. Они помещены в следующем за предисловием перечне основных обозначений, где наряду с их краткой расшифровкой указаны глава и параграф, в которых можно найти более подробное объяснение по каждому из обозначений. После этого перечня приведены написание и русское произношение входящих в формулы букв латинского и греческого алфавитов. В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, включающий в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) термины, значения которых необходимо знать читателю для понимания излагаемого материала. За каждым термином следует страница, на которой он строго определен или описан и выделен в тексте иохужирмым курсивом. Если термин введен в другом выпуске, то дана ссылка на этот выпуск (например, 111 означает ссылку на третий выпуск, а 1-312 — на страницу 312 первого выпуска), а также указана курсивом страница предлагаемой книги, на которой имеются некоторые пояснения к этому термину.

Ключевые слова, важные для понимания содержания, при первом упоминании в каждом параграфе выделены светлым курсивом. Значение этих слов читатель может уточнить при помощи предметного указателя. Перед чтением этой книги нужно в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. При возникновении затруднений все необходимые сведения можно найти в 11].

Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать известными (в основном тексте книги эти термины не выделены и не входят в предметный указатель). Задания для самопроверки 1, Какие числа принадлежат множествам Х, Е, Я, Е и Е ~ Я? Что такое абсолютное значение (модуль) числа? 2.

Каков ход доказательства по методу математической индукции? 3. Запишите обозначения промежутков числовой прямой: интервала, отрезка, полуинтервала, бесконечных интервала и полуинтервала. 4. Изобразите на числовой прямой окрестности конечной и бесконечной точек расширенной числовой пря- мой. В чем отличие этих окрестностей от проколотых окрестностей и полуокрестностей. 5.

Укажите области определения (существования) и значений и постройте графики однозначных ветвей многозначной функции у~ = 1/ж. 6. Охарактеризуйте явный и неявный аналитические, параметрический, графический, табличный, алгоритм м мическии и словесныи способы задания функции. Приведите примеры составной, четной, нечетной и периодической функций. 7.

Какими свойствами обладают сходящиеся последовательности? Сформулируйте признак Вейерштрасса сходимости последовательности. 8. Сформулируйте и запишите в символическом виде определения (по Гейне и по Коши) конечного предела функции в точке а Е Ж. 9. Выполните задание 8, когда аргумент функции стремится к бесконечной точке расширенной числовой прямой, 10. Приведите пример функции, ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки а, но не имеющей предела в этой точке. 11.

Сформулируйте теорему о связи предела функции в точке с односторонними пределами функции в этой точке. 12. Определена ли функция 2ю~/81пх в точке х = О? Существует ли в этой точке предел рассматриваемой функции? 13. При каком изменении аргумента функции япх, 1/х являются бесконечно малыми, а функции х2, с~~к — бесконечно большими? 14. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями? При каких условиях произведение двух функций является бесконечно малой функцией? 15. Сформулируйте теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции. 16.

Запишите выражения для первого и второго замечательных пределов. ПРЕДИСЛОВИЕ 17. Какова связь между приращением функции и приращением ее аргумента для функции, непрерывной в точке и непрерывной в этой точке только слева? 18. При выполнении каких условий сложная функция (суперпозиция функций) непрерывна в точке? 19.

Приведите примеры функций, имеющих точки: а) разрыва первого рода; б) устранимого разрыва; в) разрыва второго рода. 20. Приведите примеры функций, непрерывных в интервале (а, б), но не являющихся непрерывными на отрезке 1а, Ц. Сформулируйте свойства функции, непрерывной на отрезке [а, 6]. Сохраняет ли эти свойства функция, непрерывная лишь в интервале (а, 6)? 21. Перечислите основные элементарные функции.

Какие из этих функций определены и непрерывны на всем множестве действительных чисел? Какие функции относят к классу элементарных функций? Входят ли в этот класс гиперболические тангенс и котангенс? 22. В чем различие между монотонной и строго монотонной в некотором промежутке функциями? Каковы условия существования в нем непрерывной и строго монотонной функции, обратной заданной функции? Изобразите графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей в промежутке функций. 23.

Приведите примеры бесконечно малых при х -+ а функций: а) одного порядка; б) более высокого порядка малости; в) первого порядка малости; г) несравнимых; д) эквивалентных. Сформулируйте свойства эквивалентных бесконечно малых функций. 24. Каков смысл символов „о малое" и „О большое"? 25. Запишите в виде степенной функции главную часть функции, бесконечно малой при х -+ а.