ztm10 (850184), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В
25.2
разрезе сказанного важно знать и мнение академика А.Н.Крылова - переводчика «Математических начал» на русский язык. Перевод им осуществлён в 1914-1916 годах, а в 1942-м, в «Мои воспоминания», он писал (в издании 1984 года – с.219): «Некоторые авторы полагают, что Ньютон пользовался исчислением бесконечно малых, как он их называл «флюксий» и «флюент», в гораздо большей мере, нежели он это показал в «Началах». Изучение Ньютона и173
перевод его «Начал» показали мне ... Во времена Ньютона алгебра и анализ далеко не были тем математическим орудием, как теперь», его «орудием была геометрия». Мнение А.Н.Крылова подтверждает и известный специалист по истории классической механики Н.Д.Моисеев. В своих «Очерки развития механики» он писал (в издании 1961 года с.177): «Нарочито избегая использования алгебраической символики при употреблении элементов дифференциального и интегрального исчисления, настаивая на архаическом аппарате теории конических сечений и теории пропорций, взамен аппарата аналитической геометрии Декарта и алгебраического оформления исчисления бесконечно малых Лейбница, Ньютон сделал свой трактат весьма неудобочитаемым не только для наших, но даже и для своих современников».
По этим причинам законы инерции и об изменении количества движения в данном базовом курсе будут рассматриваться не как аксиомы, а как твёрдо установленные факты механики, которые, в связи с этим, будут использоваться в качестве важных аргументов, доказывающих приемлемость применяемых в теоретической механике методов.
Г
лавный закон-аксиома динамики - закон о движении центра масс:
с
25.1
уществуют системы отсчёта, называемые инерциальными, в которых ускорение центра масс
любой механической системы, её масса 
и главный вектор действующих на неё внешних сил 
оказываются связанными математической зависимостью 
.Наиболее употребительными инерциальными системами отсчёта являются Гелио- и Геоцентрические. Подробнее о них речь ведётся в следующем разделе.
Справедливость рассматриваемого закона подтверждена более чем трёхвековыми наблюдениями и специально ставившимися экспериментами – при скоростях объектов на несколько порядков меньших скорости света математическое соотношение 25.1 оказывалось справедливым для тел и механических систем различных размеров – от физических и химических частиц (атом, молекула и т.д.) до планет Солнечной системы, охватывая, при этом, все существовавшие и ныне работающие машины и механизмы.
Векторное равенство 25.1 имеет три скалярных эквивалента –
м
атематические выражениями закона о движении центра масс в проекциях на декартовы оси координат:
.
Если при анализе движения механической системы исследователя инте-ресует движение лишь центра масс, а не взаимное перемещение отдельных тел, то математическое выражение 25.1 записывают в упрощённой форме, называя его
174
о
сновное уравнение динамики материальной точки:
25.23
, где - масса материальной точки, 
- действующая на неё сила.
Замечание: в 25.23 массу можно считать не только конечной, но и бесконечно малой величиной. В этом случае бесконечно малым будет и модуль силы .
Проекции основного уравнения динамики материальной точки на оси декартовой системы координат называют:
д
25.24
ифференциальные уравнения движения материальной точки - 
, 
, 
.
25.2. Что такое 1 Ньютон ?
За единицу измерения силы принят 1 Ньютон - это такая сила, которая тело массой 1 килограмм перемещает с ускорением 1 м/с2. Из 6 видим:
.
25.3. О косвенном влиянии внутренних сил на движение центра масс
Встречается неудачное выражение: «Внутренние силы на движение центра масс не влияют». Рекомендуем пользоваться формулировкой:
в
25.5
нутренние силы в математическое выражение закона о движении центра масс не входят. Что же касается ответа на вопрос «Влияют ли внутренние силы на движение центра масс?», то – «Влияют», ибо, к примеру, силы действующие внутри двигателя внутреннего сгорания в уравнение движения автомобиля не входят, но входят силы сцепления (приложены к ведущим колёсам со стороны дорожного покрытия), а они возникают лишь по причине появления внутренних сил в цилиндре работающего двигателя.
25.4. Три исторических примера, иллюстрирующих, что «корректное применение дифференциального и интегрального исчислений к опорным фактам 1-5 приводит к достоверным выводам»
25.4.1. Закон инерции
Пусть проекция на какую-либо ось (например 
) главного вектора сил, действующих на механическую систему, равна нулю. Тогда, используя процедуры интегрирования, из 25.2 получаем:
175
-
е
25.6’
сли сумма проекций на какую-либо ось инерциальной системы отсчёта всех внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, то проекция центра масс на эту ось либо покоится, либо за равные промежутки времени проходит равные расстояния. Если кроме находится ещё две непараллельные оси (например 
и 
), для которых имеют место аналогичные равенства 
и 
,
то результат 25.6’ получает векторное отражение:
-
е
25.6’’
сли главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то её центр масс либо покоится относительно инерциальной системы отсчёта, либо движется равномерно и прямолинейно.Существо утверждений, сформулированных в опорном факте 25.6, находится на обозрении мировой научной общественности не менее 350 лет:
хотя и без чётких формулировок, но это имеется в «Вопросах, относящихся к книгам “Физика”» (1545 г.) испанца Доминико Сото (1494-1560);
в отчётливой формулировке содержится в «Беседах и математических доказательствах ...» (1638 г.) Галилео Галилея - «Когда тело движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого сопротивления движению, то ... движение это является равномерным и продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость простиралась в пространстве без конца»;
у Христиана Гюйгенса - в качестве «гипотезы» в трактате «Маятниковые часы ...» (1673 г.);
в «Математических началах» (1687 г.) И.Ньютона – уже в форме закона-аксиомы - «Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не побуждается приложенными силами изменять это состояние».
За прошедшие 3,5 века не появилось ни одного экспериментального факта, который бы противоречил утверждению, содержащемуся в законе об инерции, что является одним из локальных доказательств приемлемости использования понятий, математических связей и методов их преобразования, отражённых в приведенных формулировках.
176
25.4.2. Законы движения свободно падающих
и скользящих по наклонным желобам тел
С
К свободно
падающему телу
вободно падающее телоД
ано. - На рис.25.1 изображено тело А, весом G, которое после перерезания нити падает вниз.
S – ось отсчёта, О – её начало. М – положение падающего тела в произвольный момент времени t.
Определить зависимость проходимого телом пути от времени.
Решение.- Основное уравнение динамики точки в проекции на ось S принимает вид
Рисунок 25.1
. Для моментов времени 
и 
: 
.
Т.е. получаем:
25.7
.
К скольжению тела по наклонному жёлобу
Скольжение тела по
гладкому наклонному жёлобу
Д
Рисунок 25.2
ано. - На рис.25.2 изображено тело, движущееся по наклонному жёлобу. 
- его сила тяжести, 
- нормальная, действующая со стороны жёлоба реакция. S – ось отсчёта, О – её начало. При 
.Определить зависимость проходимого телом пути от времени.
Решение.- Основное уравнение динамики точки применительно к рассматриваемому случаю имеет вид
.
Проектируя записанное векторное равенство на ось 
, получаем
177
и затем, после взятия 1-го и 2-го интегралов: 
.
Откуда, как и для свободно падающего тела, получаем соотношение 25.7.
В 16 веке правильность отображения соотношением 25.7 движения свободно падающих тел и тел, движущихся по гладким наклонным желобам, была далеко не очевидной. Так, известный итальянский учёный Джамбатиста Бенедетти (1530-1590) в «Книга различных математических и физических рассуждений» (1585г.) считал, что скорость падения свинцового шара должна быть в 11 раз больше деревянного, а Рено Декарт в своих записях примерно 1620 года приводил вместо 25.7 соотношение
.
В трактатах того времени встречалось и соотношение 25.7, но оно приводилось в завуалированном виде и, главное, без доказательств.
Дать доказательства правильности описания формулой 25.7 движения свободно падающих и движущихся по наклонным желобам тел удалось лишь Галилео Галилею – в его «Беседы и математические доказательства ...» (1638 г.). При этом, заметим: опыты Галилея с бросанием тел с Пизанской башни (примерно 1589-1592 годы) не дали ему надёжных результатов – по причине отсутствия точных измерителей коротких промежутков времени; но он нашёл выход из положения – перешёл на опыты с бронзовым шариком, скользящим вдоль гладкого жёлоба на наклонённой под различными углами к горизонту доске. Хотя промежутки времени по-прежнему измерялись количеством вытекавшей из сосуда воды, их удалось удлинить примерно в 5-15 раз, что, в сочетании с возможностью менять угол наклона, оказалось достаточным для получения надёжных экспериментальных данных.
25.4.3. Математический маятник
Простой математический маятник – это подвешенная на нити материальная точка – см. рис.3, где О – точка подвеса; 
- длина математического маятника; 
- угловая и - окружная координаты; 
- вес и - масса материальной точки (
); - натяжение нити и 
- орт подвижной касательной.
178
О
К вопросу о движении математического маятника
сновное уравнение динамики применительно к математическому маятнику:
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
