Диссертация (786394), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Исключим управляющие моменты K(t) из уравнений (2.19) (сложивпервое и второе уравнения системы). В результате вместе со вторым кинематическим уравнением (2.2) получим замкнутую неавтономную систему дифференциальных уравнений(I − Jns + mR0 ((rm , γ) − rm ⊗ γ))ω̇++(Jns + I0 + (m + m0 )R0 2 (γ 2 − γ ⊗ γ) + mR0 ((γ, rm ) − γ ⊗ rm ))Ω̇ =−ω × (Iω + I0 Ω + Jns (Ω − ω)) − mR0 (rm × (γ × (Ω × ω))) − mg(rm × γ)−−(m + m0 )R0 2 (γ × (γ × (Ω × ω))) − mR0 (γ × (ω(ω, rm ) − rm ))α̇ = α × ω, β̇ = β × ω, γ̇ = γ × ω.(2.41)Подставив в получившиеся уравнения Ω и Ω̇ в форме (2.38), (2.40) и численнопроинтегрировав данную систему с заданными начальными условиями α(0),β(0), γ(0) и ω(0) получим явную зависимость векторов α, β, γ и ω отвремени.513.
Подставив получившиеся решения α(t), β(t), γ(t), ω(t) в одно изуравнений (2.19) найдем зависимость управляющих моментов от времениK(t).Данный алгоритм вычисления управляющих воздействий для движенияпо траектории только гипотетически может применяться на практике, так какв условиях реального времени и реализации скоростных движений процессчисленного интегрирования занимает достаточно длительное время, что является критичным в задачах управления. Более того полученная система (2.41),по-видимому, является неинтегрируемой, следовательно существует вероятность получения хаотического решения, что требует проведения отдельногоанализа.Рассмотрим пример определения управляющих моментов для движениясфероробота по отрезку [0, 1] без вращения сферической оболочки вокругвертикалиx(t) = 0, y(t) = −sin(2πt)+ t , Ωγ = 0.20π10(2.42)Графически данная траектория, а также ненулевая компонента угловойскорости сферической оболочки приведены на рисунке 8.
Начальные условия, определяющие положение внутренней подвижной платформы задаютсявекторамиα0 = (1, 0, 0), β0 = (0, 1, 0), γ0 = (0, 0, 1), ω0 = (0, 0, 0).(2.43)Результаты численного решения системы (2.41) для вектора γ и угловойскорости подвижной платформы ω приведены на рисунках 9a и 9b. Соответствующие зависимости от времени управляющих моментов, необходимых дляреализации траектории (2.42) приведены на рисунке 9c.Выполним проверку полученных численных решений управляющих моментов, приведённых на рисунке 9c.
Для этого подставим полученные решения Ki (t) в полную систему дифференциальных уравнений (2.19), (2.20).52a)b)Рис. 8. Траектория движения сферороботаЧисленное решение полученной системы относительно переменных состояния системы α, β, γ, ω, Ω, x, y. графически представлено на рисунках10.Как видно из представленных графиков в конечной точке угловая скоростьподвижной платформы ω, а также компоненты вектора γ1 , γ2 не равны нулю.Следовательно, после того как сфероробот проедет по прямой в соответствиис управлениями, изображенными на рисунке 9c, он не остановится, а продолжит свободное движение (в общем случае хаотическое).
При этом начальнымиусловиями для этого движения будут являться положение и скорости платформы и сферической оболочки в момент отключения управления. Исключениеподобных эффектов возможно тремя способами.1. После остановки продолжать управлять системой, чтобы «заставить»сферическую оболочку оставаться на месте, при этом в неподвижной оболочке омниколесная платформа будет продолжать двигаться. В этом случаенеобходимо решать систему (2.41) при условии Ω(t) = Ω̇(t) = 0 в промежутке времени t > T и находить соответствующее управление K(t), t > T .Однако, данное решение, скорее всего, будет расходиться, а его поиск и ана-53b)a)c)Рис.
9. Зависимости a) γ(t) , b) ω(t) и c) K(t) при движении сфероробота по траектории (2.42).лиз требуют проведения отдельного исследования, и не являются предметомрассмотрения данной работы.2. Подобрать такую зависимость Ωγ (t) или скорость прохождения по заданной траектории, чтобы в конечный момент времени t = T омниколеснаяплатформа приобрела положение и скорость принадлежащие какому либо стационарному решению свободной системы. В этом случае после отключенияуправления сфероробот будет двигаться по данному стационарному решению(в частном случае стоять). Данный способ подразумевает решение некото54a)b)c)Рис. 10.
Результаты проверки численных расчётов: a) угловая скорость сферической оболочки, b) компоненты вектора γ, c) угловая скорость подвижной платформы.рой вариационной задачи относительно скорости прохождения по траекториии/или зависимости Ωγ (t) и является достаточно трудоемким.Третий способ связан с управлением при помощи гейтов и более подробнопредставлен в следующем разделе.2.5. Управление при помощи гейтовДанный способ заключается в вычислении управляющих воздействий, прикоторых сфероробот в начальный и конечный момент времени заведомо движется по какому либо стационарному решению (в частном случае стоит).
Однако, в этом случае траектория движения сфероробота заранее не определена.При этом задача управления сводится к подбору маневра, при котором получающаяся траектория движения сфероробота удовлетворяет необходимым требованиям. Пример такого управления для сфероробота с маятником Лагранжавнутри приведен в [49]. Рассмотрим аналогичный алгоритм поиска подходящего маневра, связывающего два движения по прямой (2.28).Движения по прямой, соответствующие неподвижным точкам (2.28) можно параметризовать четырьмя величинами: v - скоростью движения по пря55мой, δ - углом наклона прямой относительно оси OX, Ωγ - угловой скоростью«прокручивания» оболочки в точке контакта с плоскостью, и ψ - постояннымуглом прецессии, определяющим ориентацию омниколесной платформы вовремя движения.
Отметим, что два других угла Эйлера θ, ϕ при движении попрямой также постоянны и задаются вектором γ k rm . Данные параметрысвязаны с векторами α, β, γ и Ω следующим образомβ3Ω = Ωγ γ + v (cos δβ − sin δα), tg ψ = − α .3R0Нетрудно показать, что справедливо следующее(2.44)Утверждение. Пусть при t < 0 сфероробот движется по прямой с параметрами v0 , δ0 , Ωγ0 , ψ0 . Кроме того, при совершении маневра вектор γ ивеличина ωγ являются заданными функциями времениγ = γ(t), ωγ = ωγ (t), t ∈ [0, T ]такими, чтоγ(0) = γ(T ) =rm, γ̇(0) = γ̇(T ) = 0, ωγ (0) = ωγ (T ) = 0.|rm |Тогда после совершения маневра (при t > T ) сфероробот будет также двигаться по прямой с параметрами vf , δf , Ωγf , ψf , которые связаны с векторами α(T ), β(T ), Ω(T ) соотношениями аналогичными (2.44).
При этом зависимости α(t), β(t), Ω(t) от времени находятся из решения первых трёхуравнений системы (2.41) в которых вектор ω является известной функциейвремени и выражается через γ(t) и ωγ (t) следующим образомω(t) = γ(t)ωγ (t) + γ̇(t) × γ(t).Управления, реализующие данный маневр можно получить подставив ω(t), Ω(t),и γ(t) в одно из уравнений (2.19), а явный вид траектории сфероробота, соединяющей два движения по прямой можно получить проинтегрировав первое из кинематических уравнений (2.2).56В качестве примера рассмотрим управления сферороботом, реализующиеразгон из состояния покоя и поворот во время движения по прямой. Векторγ, задающий маневр (гейт), представим в видеγ(t) = (sin θ(t) cos ϕ(t), sin θ(t) sin ϕ(t) cos θ(t)) ,(2.45)где углы Эйлера ϕ(t), θ(t) определяют ориентацию подвижной платформы вовремя маневра.
Зависимости ϕ(t), θ(t), ωγ (t) для обоих маневров выберем ввидеθ(t) = θmax sin2 (πt), ϕ(t) = ϕ0 = 0, ωγ (t) = 0, t ∈ [0, 1],(2.46)где θmax при численных расчётах будем принимать равным θmax = 0.2. Отличие указанных двух маневров заключается только в разных начальных условиях. Разгону из состояния покоя соответствуют начальные условияΩ0 = 0, α0 = (1, 0, 0), β 0 = (0, 1, 0),(2.47)а повороту при начальном движении по прямой соответствуют начальныеусловияΩ0 = (−1, 0, 0), α0 = (1, 0, 0), β 0 = (0, 1, 0).(2.48)Результаты численного решения системы уравнений (2.41) для маневра(2.46) с начальными условиями (2.47) и (2.48) изображены на рисунка рисунках 11 и 12 соответственно.Как видно из рисунка 11, в силу отсутствия осевой симметрии конструкции омниколесной платформы, изменение γ(t) в вертикальной плоскости насфере Пуассона (ϕ = const) приводит к криволинейному движению сфероробота, хотя и довольно близкому к прямой.
Это отличает данную системуот сфероробота с маятником Лагранжа, где подобные управления приводят кчисто прямолинейному движению.57b)a)Рис. 11. Угловая скорость Ω(t) (а) и траектория движения y(x) (б) сфероробота при разгоне в соответствии с начальными условиями(2.47).a)b)Рис. 12. Угловая скорость Ω(t) (а) и траектория движения y(x) (б) сфероробота при повороте в соответствии с начальными условиями (2.48).Используя приведенную выше процедуру можно получить (численную)зависимость параметров финального движения от параметров начального движения и маневраpf = f (p0 , θmax , ϕ0 ),(2.49)где введено обозначение p = (v, δ, Ωγ , ψ).
Обратив любые два уравнения системы (2.49) (например для v и δ) можно получить (численную) зависимостьθmax и ϕ0 от параметров начального и конечного движений(θmax , ϕ0 ) = fe(p0 , vf , δf ).(2.50)Данная зависимость включает только два параметра конечного движения,оставшиеся два параметра (Ωγf , ψf ), при этом, находятся из уравнений (2.49).Отметим, что выбранная пара уравнений (2.49) не всегда разрешима отно58сительно θmax и ϕ0 . Условия их разрешимости определяют ограничения навозможные маневры, совершаемые с помощью зависимости (2.46).Используя численную зависимость (2.50) можно определить параметрыманевра θmax и ϕ0 , которые позволят повернуть на заданный угол с ускорением (замедлением) до заданной скорости. При этом параметры конечногодвижения (Ωγf , ψf ) не контролируются. То есть, после маневра омниколеснаяплатформа будет двигаться с другой ориентацией (по сравнению с начальной),а оболочка может приобрести некоторую закрутку вокруг вертикали.З АМЕЧАНИЕ .
Для полностью контролируемого маневра необходимо рассмотреть четырехпараметрическую зависимость γ(t), ωγ (t) от времени, и потребовать разрешимости уравнений (2.49) относительно вводимых параметров.59ГЛАВА 3Экспериментальные исследования движениясфероробота с внутренней омниколеснойплатформойВ данной главе представлены результаты экспериментальных исследований движения сфероробота по типовым траекториям при управлении на основе кинематической модели.
Приводится описание экспериментальной установки и методики проведения экспериментов.3.1. Описание экспериментальной установкиДля проведения проверки теоретических моделей управления проведеныэкспериментальные исследования движения сферороботом с внутренней омниколесной платформой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
