Диссертация (786394), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Оси OZ неподвижной системы координат и Cz системы координат,связанной с подвижной платформой, совпадают, то есть e3 kγ, а матрицаQ примет вид:27cos ψ − sin ψ 0Qψ = sin ψ cos ψ 0 .001(1.11)2. Угловая скорость ω перпендикулярна плоскости, по которой движетсясфероробот, т.е.: ω = (0, 0, ωz )T , причём компонента ωz определяет вращение подвижной платформы вокруг вертикальной оси и равна производнойугла прецессии, т.е. ωz = ψ̇.С учётом данного предположения, подставив равенство γ = e3 в (1.9)можно получить зависимость угловых скоростей колес, реализующих движение по заданной траектории.
Как было сказано выше, движение по заданной траектории r c с заданным вращением платформы ψ(t) можно реализоватьразличными способами, которые будут отличаться друг от друга вращениемсферической оболочки. Однако, эксперименты показали, что при движении намалых скоростях вращение сферы вокруг вертикальной оси практически непроисходит, таким образом, мы будем рассматривать движение в рамках модели качения «резинового» тела ( [67–70]), то есть будем полагать Ωγ = 0.Тогда выражение для определения угловых скоростей колес χ̇i запишется ввиде(si , Qψ T ṙ c × e3 − Rψ̇e3 )χ̇i =Ri (si , ni )(1.12)Далее будем считать ориентацию платформы во время движения заданной, т.е.
ψ(t) - известная функция времени. В частности, качестве примеровможно рассмотреть движение платформы без вращения, т.е. ψ(t) = const, илитакое, при котором скорость подвижной платформы сохраняет постоянное направление в подвижной системе координат28ψ = arctanẏ(t)+ const.ẋ(t)(1.13)1.4.2. Учёт смещения центра массНа практике добиться расположения центра масс омниколесной платформы на её оси симметрии чрезвычайно сложно. Результаты экспериментальныхисследований показали, что даже при незначительной асимметрии подвижнойплатформы, происходит отклонение от заданной траектории движения.Рис. 6. Расположение осей подвижной системы координат с учётом смещения центра массДля описания данного эффекта выберем оси подвижной системы координат Cx, Cy, Cz в соответствии с геометрической симметрией, при этом онимогут не совпадать с осями инерции подвижной платформы.
В этой системеположение центра масс подвижной платформы задаётся вектором rm (рисунок 6). Учитывая соотношение (1.10) для кинематической модели, нетруднопоказать, что вектор rm выражается через углы нутации θm и собственного29вращения ϕm следующим образом³´Trm = −Rm Qm e3 = −Rm sin θm sin ϕm , sin θm cos ϕm , cos θm,(1.14)При этом углы ϕm , θm являются постоянными и определяют положениерадиус-вектора центра масс подвижной платформы в системе координат Cxyz(см. рисунок 6). Кроме того, матрицу Q можно представить как произведениеQ = Qm Qψ ,где Qm - постоянная матрица видаcos ϕm cos θm sin ϕm sin θm sin ϕmQm = − sin ϕm cos θm cos ϕm sin θm cos ϕm0− sin θmcos θm(1.15),(1.16)Нетрудно показать, что в этом случае справедливо следующее утверждение.Утверждение. Пусть смещение центра масс платформы относительно центра сферы в системе координат Cxyz задаётся соотношением (1.14),тогда в рамках кинематической модели (rm = −Rm γ) неголономного качения, движение вдоль заданной траектории rc (t) с заданным вращением ψ(t)реализуется управляющими воздействиями(QTm si , e3 × QTψ ṙ c + R0 (Ωγ − ωγ )e3 )1χ̇i =.Rw(si , ni )(1.17)Доказательство данного утверждения проводится непосредственной подстановкой ограничений налагаемых моделью и выражения (1.14) в уравнения(1.9).
Причём угловая скорость ωγ является свободным параметром. То естьв рамках кинематической модели можно реализовать движение вдоль заданной траектории с точностью до произвольного вращения платформы вокругвертикали ωγ (t).30Отметим, что эксперименты по исследованию движения созданного натурного образца показали, что при движении на малых скоростях вращениесферы вокруг вертикальной оси практически не происходит, таким образом,мы будем рассматривать движение в рамках модели качения «резинового» тела [67–70], то есть будем полагать Ωγ ≡ 0.1.4.3. Анализ траектории движения сфероробота при постоянных управляющихвоздействияхРассмотрим движение сфероробота при постоянных управляющих воздействиях, т.е.χ̇i = const.(1.18)Из уравнения связей (1.4) следует, что при постоянном управлении векторотносительной угловой скорости также остаётся постояннымe = Ω − ω = const.ω(1.19)Принимая во внимание квазистатичность рассматриваемого движенияrm k γ,ω k γ, условия непроскальзывания сферической оболочки (1.6)можно представить в видеv=R0e.rm × ωRm(1.20)Кроме того, учитывая модель «резинового» тела (Ωγ = 0), нетрудно показать,чтоe )rm .ω = 12 (rm , ωRmТаким образом, вектора скорости сфероробота и угловой скорости платформыв подвижной системе координат остаются постоянными.Скорость центра сферической оболочки в неподвижной системе координатопределяется какV = QT v.31(1.21)Используя кинематические уравнения Эйлера [65] Q̇T = Q̇T ωb , где ωb - матрицас элементами ωbij = −εijk ωk , запишем ускорение центра сферы в неподвижнойсистеме координатV̇ = Q̇T v = QT (ω × v).(1.22)Используя полученные выражения, а также перпендикулярность векторовω и v (следующую из условия квазистатичности), можно вычислить радиускривизны траектории, по которой движется сферороботTT(eω , rm )1 = | V × V̇ | = | Q v × Q (ω × v) | = 1.qρR0| V |3| QT v | 3222e rm − (eωω , rm )(1.23)Как видно из выражения (1.23) радиус кривизны данной траектории движения является постоянным.
Таким образом, с учётом однородности выражения (1.23) по ω̃ и линейной зависимости ω̃ от χi , справедливо следующееутверждение.Утверждение. При постоянных управляющих воздействиях χi = constсфероробот равномерно движется по окружности, радиус которой задаётся выражением (1.23) и зависит только от соотношения управляющих воздействий χi /χj .Анализируя выражение (1.23), можно сделать вывод, что движение по прямой (ρ = ∞) возможно в случае ω = 0. Следовательно, движение по прямойпроисходит без изменения ориентации платформы, то есть ψ = const. Используя данный факт, а также требование непрокручивания в модели «резинового»тела, управляющие воздействия, реализующие движение сфероробота со скоростью v по прямой, направленной под углом δ к оси OX c ориентациейплатформы ψ, можно представить в виде(QTm si × e3 , Qψ V )χ̇i =,Rw (si , ni )32(1.24)где V = (v cos δ, v sin δ, 0).Заметим, что для вычисления управляющих воздействий (1.17) и (1.24)необходимо знать положение центра масс платформы.
Задача его определениятребует разработки технически сложных установки и приспособлений, имеющих высокий класс точности. В тоже время для движения сфероробота бездатчиков обратной связи необходимо обеспечить либо определение данныхпараметров, либо балансировку подвижной платформы.1.4.4. Определение положения центра масс подвижной платформы сферороботаИспользуя результаты, полученные в предыдущем разделе, можно вычислить смещение центра масс платформы, проведя несколько пробных экспериментов по движению сфероробота с постоянными управляющими воздействиями.Действительно, заметим, что радиусы окружностей по которым движетсясфероробот при постоянных управлениях связаны с радиус-вектором центрамасс соотношением (1.23). Причём данные соотношения зависят только от направления смещения (углов ϕm , θm ), и не зависят от величины смещения.
Следовательно, системы двух уравнений типа (1.23) для различных управляющихвоздействий достаточно для того, чтобы определить направление смещенияцентра масс подвижной платформы. Таким образом, проведя два эксперимента по движению сфероробота с разными постоянными управляющими воздействиями, и измерив радиусы окружностей, по которым при этом движетсясфероробот, можно вычислить направления смещения центра масс (углы ϕm ,θm ).З АМЕЧАНИЕ . Следует отметить существенность влияния абсолютных значений отклонения положения центра масс от его идеального расположения в центре симметрии подвижной платформы.Так смещение центра масс для разработанной конструкции сфероробота на ≈ 4 мм от вертикальнойоси геометрической симметрии платформы приводит к трехкратному уменьшению радиуса кривизнытраектории.
С другой стороны зная положение центра масс подвижной платформы, можно определить33более устойчивое направление движения сфероробота, и использовать данное движение как основное,дополняя его, при необходимости, операцией поворота на месте.Результаты соответствующих экспериментальных измерений положенияцентра масс омниколесной платформы приведены в главе 3.34ГЛАВА 2Динамика сферического робота с внутреннейомниколесной платформойВ данной главе представлены результаты разработки динамической модели сферического робота, перемещающегося за счет движения внутреннейомниколесной платформы. С использованием уравнений связей, наложенныхна рассматриваемую систему, записываются уравнения движения в квазискоростях с неопределёнными множителями, обсуждаются условия существования интегралов движения.
На основании представленных уравнений движения строится теория управления сферическим роботом с учетом количестваи геометрии омниколес, проводится анализ устойчивости частных решений.Приведен алгоритм расчета управляющих воздействий на базе динамическоймодели. Обсуждаются его возможности и недостатки. Разработан алгоритмдвижения с помощью базовых маневров (гейтов).
Представлены результатычисленного моделирования.2.1. ВведениеДинамические исследования движения сферороботов, к сожалению, малопредставлены в литературе. Так в последнее время появились работы по динамике сферороботов, перемещающихся за счёт создания переменного гиростатического момента внутренними роторами [42, 43, 61–64] и за счет внутреннего сферического маятника [49–54]. В описанных работах приведены разнообразные формы уравнений динамики сферороботов, получены управляющиевоздействия для реализации движения по типовым траекториям. Дело в том,что динамика описывается неголономными уравнениями, выводу которых посвящено большое количество работ, но мы укажем только работы последнихлет, в которых можно найти подробный библиографический обзор [55–59].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
