Диссертация (786394), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поэтому интересным представляется поиск интегрируемых случаевсистемы (2.19), (2.20) и её частных решений. Отметим, что в общем случаесвободное движение, описываемое неголономной системой (2.19), (2.20), может иметь достаточно сложный характер, и включать как элементы гамильтонового, так и диссипативного поведения. В частоности, в системе могутнаблюдаться как простые, так и сложные притягивающие (отталкивающие)множества, включая странные аттракторы различных типов. Подобное поведение для более простых систем с неголономными связями было указано вработах [68, 80–86].З АМЕЧАНИЕ . Уравнение движения для вектора M не зависит от управляющих воздействий иимеет видṀ = M × ω − mg(rm × γ).(2.24)Выразив Ω в зависимости от ω и M из уравнения (2.22) и подставив в уравнения движения можно получить замкнутую систему в переменных ω, M , γ.
Однако, получающееся уравнение для ω̇ слишкомгромоздко, поэтому мы не будем его здесь приводить. Отметим также, что в случае отсутствия силытяжести вектор M сохраняется в абсолютном пространстве, и по-видимому является обобщением сохраняющегося вектора кинетического момента относительно точки контакта в более простых задачахо качении сферических тел по плоскости [42–45].2.3.
Частные решенияНайдем далее неподвижные точки системы (2.19), (2.20), являющиеся еёнаиболее простыми частными решениями. Прежде чем, искать неподвижные45точки системы докажем простое утверждение о характере движения сфероробота в абсолютном пространстве, соответствующего неподвижным точкамприведенной системы.Утверждение.
Пусть ω 0 , Ω0 , γ 0 неподвижная точка приведённой системы (2.19, 2.20), тогда в абсолютном пространстве ей соответствует движение по траектории с постоянным радиусом кривизныp2221 = v0 ω0 − (ω0 , v0 ) ,ρv0 2(2.25)гдеv0 = R0 Ω0 × γ0 .(2.26)Доказательство. Отметим сначала, что из условия непроскальзывания(2.3) следует, что при постоянстве векторов Ω, γ скорость сфероробота (2.26)в проекциях на оси подвижной системы координат является постоянной.Выразим скорость сфероробота V в проекциях на оси неподвижной системы координат OXY Z и её производную через проекции на оси подвижнойсистемы координат V = QT v , V̇ = QT (v̇ + ω × v). Подставив полученныесоотношения в выражение для вычисления радиуса кривизны (первое равенство выражения (1.23)) с учётом (2.26), получим выражение (2.25) для радиусакривизны траектории.З АМЕЧАНИЕ . Аналогичное утверждение справедливо для произвольных систем описывающихкачение сферических тел по плоскости.
Изменится лишь зависимость скорости v0 от переменныхприведённой системы. В частности, для систем без внутренних механизмов типа шара со смещённымцентром масс угловые скорости ω и Ω совпадают, следовательно v = −R0 γ̇, то есть шар стоит наместе (возможно вращаясь вокруг вертикали).2.3.1. Неподвижные точки приведённой системыНайдем неподвижные точки приведённой системы (2.19), (2.20) для свободного движения, которые соответствуют стационарным движениям сферо46робота в абсолютном пространстве.
Подставив Ω̇ = 0, ω̇ = 0, K = 0 в уравнения (2.20) получим систему алгебраических уравнений для определения данных неподвижных точек(Iω + Jns (Ω − ω) + mR0 (rm , γ)Ω) × ω−(mR0 (γ, ω)Ω − mgγ) × rm = 0(2.27)¢¡(m + m0 )R0 2 γ × (Ω × ω) + mR0 ω × (ω × rm ) × γ − I0 ω × Ω = 0γ×ω =0Система (2.27) имеет следующие решения.1. Два трёхпараметрических семейства неподвижных точек.rm.(2.28)|rm |Данному решению соответствуют такие движения сфероробота, при которыхω = 0, Ω = Ω0 , γ = ±центр масс платформы располагается в наинизшей (наивысшей) возможнойточке, её ориентация не изменяется со временем, сферическая оболочка вращается с постоянной угловой скоростью Ω0 , а центр сфероробота либо остаётся на месте (при Ω0 k γ), либо движется прямолинейно (при Ω0 ∦ γ).Отметим, что так как неголономная связь (2.4) является неудерживающей, торешение со знаком "+" нереализуемо на практике.2.
Двухпараметрическое семейство неподвижных точек, задаваемое соотношениямиω = ωγ, Ω = ωC1 γ − ωmR0r ,J0 mA−1 b + rm × (A−1 rm × A−1 b)γ=−,1 − (rm , A−1 rm )гдеJJA = 2 0 2 (I + (C1 − 1)Jns − C2 ) , b = 2 0 2m R0m R047µ(2.29)¶mg R0Jns rm ,mR0 C1 − 2 −J0ωJ0 = I0 + (m + m0 )R0 2 , а C1 , C2 и ω являются параметрами семейства, два изкоторых можно считать независимыми, а третий вычисляется из условияγ 2 = 1. Данные параметры можно выразить через значения интегралов движения Mγ , E, подставив (2.29) в соответствующие уравнения.
Дальнейшее изучение неподвижных точек может быть направлено на исследование разрешимости получающейся системы уравнений и определения областей существования решений (2.28), (2.29) в пространстве первых интегралов. Данный вопросдостаточно сложный, требует отдельного рассмотрения и выходит за рамкинастоящего исследования. Отметим, что в абсолютной системе координат решения (2.29) соответствуют качению сфероробота по окружности радиусаmR0 p 2ρ=rm − (rm , γ)2 ,J0(2.30)где γ выражается из второго уравнения(2.29).2.3.2. Устойчивость движения по прямойРассмотрим вопрос об устойчивости частного решения (2.28). Для этоголинеаризуем систему (2.19), (2.20) вблизи данного решения и получим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентамивидаAż = Bz,(2.31)где z = (ω1 , ω2 , ω3 , Ω1 − Ω01 , Ω2 − Ω02 , Ω3 − Ω03 , γ1 − γ01 , γ2 − γ02 , γ3 − γ03 ) отклонение от рассматриваемого решения, постоянные матрицы A и B имеютблочнодиагональный видI + Jss − Jns − JsnJns − Jss + mR0 ((γ 0 , rm ) − γ 0 ⊗ rm ) 02 2,A=(γ−γ⊗γ)0J−J+mR((r,γ)−r⊗γ)I+J+(m+m)Rsnss0mm0ss000000000E(2.32)48b − mR0 |rm |(Ωe 0 (γ 0 ⊗ γ 0 ) + (Ω0 , γ 0 )eΩγ00 mg|rm |eγ0,e 0 − (m + m0 )R2 (Ωe 0 (γ 0 ⊗ γ 0 ) + (Ω0 , γ 0 )eB=−IΩγ0000−eγ000(2.33)e0 и Ωb определены следующимгде E - единичная матрица 3x3, матрицы γe0 , Ωобразомe 0 = εijk Ω0 , Ωb ij = εijk (Jns Ω0 )k ,γe0ij = εijk γ0k , Ωijka εijk - символ Леви-Чивиты.Для решения вопроса об устойчивости рассматриваемого решения необходимо найти корни характеристического уравнения системы (2.31)det(µA − B) = 0.(2.34)В общем случае уравнение (2.34) имеет сложный вид, поэтому здесь (идалее при проведении численных расчетов) мы ограничимся исследованиемустойчивости при заданных параметрах системы, соответствующих экспериментальному образцу сфероробота, рассмотренному в главе 1:R0 = 0.15, Rw = 0.07, rm = (0, 0, 0.08), m0 = 0.8,I0 = 0.012, m = 2.5, I = diag(0.016, 0.016, 0.023),0 0.0001767857 −0.0002500127TJns = Jsn = 0.0002500127 0.0001767857,0000.00035357144.3 · 10−130 0.001136479Jss = 4.3 · 10−130.001136479−1.414213562 · 10−130−1.414213562 · 10−130.000757653(2.35).Кроме того ограничимся рассмотрением случая, когда отсутствует прокручивание сферической оболочки в точке контакта с плоскостью, то есть будем49полагать (Ω, γ) = 0.
В этом случае семейство решений (2.28) можно параметризовать следующим образомω 0 = (0, 0, 0), Ω0 = (−Ω0 sin(δ), Ω0 cos(δ), 0), γ 0 = (0, 0, 1).Здесь Ω0 =vR0(2.36)- задаёт угловую скорость вращения сферической оболочки прикачении сфероробота по прямой со скоростью v, а угол δ (как и выше) задаётнаправление движения относительно оси OX.После подстановки значений парметров в уравнение (2.34) с учётом выбранной параметризации (2.36) получим характеристическое уравнение видаµ5 · (µ2 + 204.2205)(µ2 + 0.00829 · Ω20 + 204.2205) = 0(2.37)Как видно из (2.37), собственные числа характеристического уравнения независят от угла δ, т.е. от направления движения. Кроме того, они не имеютположительной вещественной части вне зависимости от величины Ω0 . Этопозволяет говорить об отсутствии экспоненциальной неустойчивости данногорешения.
Наличие нулевых собственных чисел говорит от том, что для решения вопроса об устойчивости в полной нелинейной постановке необходимопровести разложение системы (2.19) до более высоких порядков.З АМЕЧАНИЕ . Отметим, что для рассматриваемой конструкции сфероробота решение (2.29) вырождается и представляет собой вращение сфероробота на месте, когда сферическая оболочка и внутренняя подвижная платформа вращаются вокруг вертикали с постоянными, но разными, угловымискоростями Ω0 и ω 0 . В связи с этим исследование устойчивости данных решений не представляетпрактического интереса.2.4.
Управление вдоль заданной траекторииРассмотрим теперь задачу управления рассматриваемой системой в следующей постановке:Необходимо определить управляющее воздействие K(t), реализующеедвижение по заданной траектории x(t), y(t) при t ∈ [0, T ], с заранее задан50ной зависимостью от времени проекций угловой скорости сферической оболочки на вертикаль Ωγ (t), при известных начальных ориентации α(0), β(0),γ(0), и угловой скорости платформы ω(0).Разобьём решение данной задачи на несколько этапов.1. Представим угловую скорость Ω в следующем видеΩ = Ωα (t)α + Ωβ (t)β + Ωγ (t)γ,(2.38)где Ωγ (t) известная функция времени, а Ωα (t), Ωβ (t) выражаются с помощьюуравнения связи (2.3) и первого из кинематических уравнений (2.2) следующим образомΩα (t) =ẋ(t)ẏ(t)Ωβ (t) =,R0R0(2.39)тогдаΩ̇ = Ω̇α (t)α + Ωα (t)α̇ + Ω̇β (t)β + Ωβ (t)β̇ + Ω̇γ (t)γ + Ωγ (t)γ̇.(2.40)2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
