Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786394), страница 7

Файл №786394 Диссертация (Теоретические и экспериментальные исследования динамики и управления некоторых систем с качением) 7 страницаДиссертация (786394) страница 72019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Поэтому интересным представляется поиск интегрируемых случаевсистемы (2.19), (2.20) и её частных решений. Отметим, что в общем случаесвободное движение, описываемое неголономной системой (2.19), (2.20), может иметь достаточно сложный характер, и включать как элементы гамильтонового, так и диссипативного поведения. В частоности, в системе могутнаблюдаться как простые, так и сложные притягивающие (отталкивающие)множества, включая странные аттракторы различных типов. Подобное поведение для более простых систем с неголономными связями было указано вработах [68, 80–86].З АМЕЧАНИЕ . Уравнение движения для вектора M не зависит от управляющих воздействий иимеет видṀ = M × ω − mg(rm × γ).(2.24)Выразив Ω в зависимости от ω и M из уравнения (2.22) и подставив в уравнения движения можно получить замкнутую систему в переменных ω, M , γ.

Однако, получающееся уравнение для ω̇ слишкомгромоздко, поэтому мы не будем его здесь приводить. Отметим также, что в случае отсутствия силытяжести вектор M сохраняется в абсолютном пространстве, и по-видимому является обобщением сохраняющегося вектора кинетического момента относительно точки контакта в более простых задачахо качении сферических тел по плоскости [42–45].2.3.

Частные решенияНайдем далее неподвижные точки системы (2.19), (2.20), являющиеся еёнаиболее простыми частными решениями. Прежде чем, искать неподвижные45точки системы докажем простое утверждение о характере движения сфероробота в абсолютном пространстве, соответствующего неподвижным точкамприведенной системы.Утверждение.

Пусть ω 0 , Ω0 , γ 0 неподвижная точка приведённой системы (2.19, 2.20), тогда в абсолютном пространстве ей соответствует движение по траектории с постоянным радиусом кривизныp2221 = v0 ω0 − (ω0 , v0 ) ,ρv0 2(2.25)гдеv0 = R0 Ω0 × γ0 .(2.26)Доказательство. Отметим сначала, что из условия непроскальзывания(2.3) следует, что при постоянстве векторов Ω, γ скорость сфероробота (2.26)в проекциях на оси подвижной системы координат является постоянной.Выразим скорость сфероробота V в проекциях на оси неподвижной системы координат OXY Z и её производную через проекции на оси подвижнойсистемы координат V = QT v , V̇ = QT (v̇ + ω × v). Подставив полученныесоотношения в выражение для вычисления радиуса кривизны (первое равенство выражения (1.23)) с учётом (2.26), получим выражение (2.25) для радиусакривизны траектории.З АМЕЧАНИЕ . Аналогичное утверждение справедливо для произвольных систем описывающихкачение сферических тел по плоскости.

Изменится лишь зависимость скорости v0 от переменныхприведённой системы. В частности, для систем без внутренних механизмов типа шара со смещённымцентром масс угловые скорости ω и Ω совпадают, следовательно v = −R0 γ̇, то есть шар стоит наместе (возможно вращаясь вокруг вертикали).2.3.1. Неподвижные точки приведённой системыНайдем неподвижные точки приведённой системы (2.19), (2.20) для свободного движения, которые соответствуют стационарным движениям сферо46робота в абсолютном пространстве.

Подставив Ω̇ = 0, ω̇ = 0, K = 0 в уравнения (2.20) получим систему алгебраических уравнений для определения данных неподвижных точек(Iω + Jns (Ω − ω) + mR0 (rm , γ)Ω) × ω−(mR0 (γ, ω)Ω − mgγ) × rm = 0(2.27)¢¡(m + m0 )R0 2 γ × (Ω × ω) + mR0 ω × (ω × rm ) × γ − I0 ω × Ω = 0γ×ω =0Система (2.27) имеет следующие решения.1. Два трёхпараметрических семейства неподвижных точек.rm.(2.28)|rm |Данному решению соответствуют такие движения сфероробота, при которыхω = 0, Ω = Ω0 , γ = ±центр масс платформы располагается в наинизшей (наивысшей) возможнойточке, её ориентация не изменяется со временем, сферическая оболочка вращается с постоянной угловой скоростью Ω0 , а центр сфероробота либо остаётся на месте (при Ω0 k γ), либо движется прямолинейно (при Ω0 ∦ γ).Отметим, что так как неголономная связь (2.4) является неудерживающей, торешение со знаком "+" нереализуемо на практике.2.

Двухпараметрическое семейство неподвижных точек, задаваемое соотношениямиω = ωγ, Ω = ωC1 γ − ωmR0r ,J0 mA−1 b + rm × (A−1 rm × A−1 b)γ=−,1 − (rm , A−1 rm )гдеJJA = 2 0 2 (I + (C1 − 1)Jns − C2 ) , b = 2 0 2m R0m R047µ(2.29)¶mg R0Jns rm ,mR0 C1 − 2 −J0ωJ0 = I0 + (m + m0 )R0 2 , а C1 , C2 и ω являются параметрами семейства, два изкоторых можно считать независимыми, а третий вычисляется из условияγ 2 = 1. Данные параметры можно выразить через значения интегралов движения Mγ , E, подставив (2.29) в соответствующие уравнения.

Дальнейшее изучение неподвижных точек может быть направлено на исследование разрешимости получающейся системы уравнений и определения областей существования решений (2.28), (2.29) в пространстве первых интегралов. Данный вопросдостаточно сложный, требует отдельного рассмотрения и выходит за рамкинастоящего исследования. Отметим, что в абсолютной системе координат решения (2.29) соответствуют качению сфероробота по окружности радиусаmR0 p 2ρ=rm − (rm , γ)2 ,J0(2.30)где γ выражается из второго уравнения(2.29).2.3.2. Устойчивость движения по прямойРассмотрим вопрос об устойчивости частного решения (2.28). Для этоголинеаризуем систему (2.19), (2.20) вблизи данного решения и получим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентамивидаAż = Bz,(2.31)где z = (ω1 , ω2 , ω3 , Ω1 − Ω01 , Ω2 − Ω02 , Ω3 − Ω03 , γ1 − γ01 , γ2 − γ02 , γ3 − γ03 ) отклонение от рассматриваемого решения, постоянные матрицы A и B имеютблочнодиагональный видI + Jss − Jns − JsnJns − Jss + mR0 ((γ 0 , rm ) − γ 0 ⊗ rm ) 02 2,A=(γ−γ⊗γ)0J−J+mR((r,γ)−r⊗γ)I+J+(m+m)Rsnss0mm0ss000000000E(2.32)48b − mR0 |rm |(Ωe 0 (γ 0 ⊗ γ 0 ) + (Ω0 , γ 0 )eΩγ00 mg|rm |eγ0,e 0 − (m + m0 )R2 (Ωe 0 (γ 0 ⊗ γ 0 ) + (Ω0 , γ 0 )eB=−IΩγ0000−eγ000(2.33)e0 и Ωb определены следующимгде E - единичная матрица 3x3, матрицы γe0 , Ωобразомe 0 = εijk Ω0 , Ωb ij = εijk (Jns Ω0 )k ,γe0ij = εijk γ0k , Ωijka εijk - символ Леви-Чивиты.Для решения вопроса об устойчивости рассматриваемого решения необходимо найти корни характеристического уравнения системы (2.31)det(µA − B) = 0.(2.34)В общем случае уравнение (2.34) имеет сложный вид, поэтому здесь (идалее при проведении численных расчетов) мы ограничимся исследованиемустойчивости при заданных параметрах системы, соответствующих экспериментальному образцу сфероробота, рассмотренному в главе 1:R0 = 0.15, Rw = 0.07, rm = (0, 0, 0.08), m0 = 0.8,I0 = 0.012, m = 2.5, I = diag(0.016, 0.016, 0.023),0 0.0001767857 −0.0002500127TJns = Jsn =  0.0002500127 0.0001767857,0000.00035357144.3 · 10−130 0.001136479Jss =  4.3 · 10−130.001136479−1.414213562 · 10−130−1.414213562 · 10−130.000757653(2.35).Кроме того ограничимся рассмотрением случая, когда отсутствует прокручивание сферической оболочки в точке контакта с плоскостью, то есть будем49полагать (Ω, γ) = 0.

В этом случае семейство решений (2.28) можно параметризовать следующим образомω 0 = (0, 0, 0), Ω0 = (−Ω0 sin(δ), Ω0 cos(δ), 0), γ 0 = (0, 0, 1).Здесь Ω0 =vR0(2.36)- задаёт угловую скорость вращения сферической оболочки прикачении сфероробота по прямой со скоростью v, а угол δ (как и выше) задаётнаправление движения относительно оси OX.После подстановки значений парметров в уравнение (2.34) с учётом выбранной параметризации (2.36) получим характеристическое уравнение видаµ5 · (µ2 + 204.2205)(µ2 + 0.00829 · Ω20 + 204.2205) = 0(2.37)Как видно из (2.37), собственные числа характеристического уравнения независят от угла δ, т.е. от направления движения. Кроме того, они не имеютположительной вещественной части вне зависимости от величины Ω0 . Этопозволяет говорить об отсутствии экспоненциальной неустойчивости данногорешения.

Наличие нулевых собственных чисел говорит от том, что для решения вопроса об устойчивости в полной нелинейной постановке необходимопровести разложение системы (2.19) до более высоких порядков.З АМЕЧАНИЕ . Отметим, что для рассматриваемой конструкции сфероробота решение (2.29) вырождается и представляет собой вращение сфероробота на месте, когда сферическая оболочка и внутренняя подвижная платформа вращаются вокруг вертикали с постоянными, но разными, угловымискоростями Ω0 и ω 0 . В связи с этим исследование устойчивости данных решений не представляетпрактического интереса.2.4.

Управление вдоль заданной траекторииРассмотрим теперь задачу управления рассматриваемой системой в следующей постановке:Необходимо определить управляющее воздействие K(t), реализующеедвижение по заданной траектории x(t), y(t) при t ∈ [0, T ], с заранее задан50ной зависимостью от времени проекций угловой скорости сферической оболочки на вертикаль Ωγ (t), при известных начальных ориентации α(0), β(0),γ(0), и угловой скорости платформы ω(0).Разобьём решение данной задачи на несколько этапов.1. Представим угловую скорость Ω в следующем видеΩ = Ωα (t)α + Ωβ (t)β + Ωγ (t)γ,(2.38)где Ωγ (t) известная функция времени, а Ωα (t), Ωβ (t) выражаются с помощьюуравнения связи (2.3) и первого из кинематических уравнений (2.2) следующим образомΩα (t) =ẋ(t)ẏ(t)Ωβ (t) =,R0R0(2.39)тогдаΩ̇ = Ω̇α (t)α + Ωα (t)α̇ + Ω̇β (t)β + Ωβ (t)β̇ + Ω̇γ (t)γ + Ωγ (t)γ̇.(2.40)2.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее