Диссертация (786394), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Результаты полученные в указанных работах полезны на этапе проектированияподобных систем, а также необходимы для разработки алгоритмов управления. Кратко опишем исследования выполненные в самое последнее время.Исследование движения по прямой сферического робота с внутренним маятником по не горизонтальным поверхностям представлены в работе [76].Авторами проведено численное моделировании для спуска сферического робота в кратер и по наклонной плоскости. Исследование устойчивости и вопросы стабилизации данной модели сферического робота с учётом рекуперацииэнергии при торможении приведены в работах [73, 77].

Алгоритм управлениясферороботом подобной конструкции при движение по наклонной плоскости,а также его динамическая стабилизация представлены также в работе [79].В [74, 75] А. Хартл и П. Маззолени провели численное моделирование динамики сферического ровера, приводящегося в движение силой ветра, в томчисле и по неровным поверхностям. В [78] предложена оригинальная конструкция смещения центра масс сферического робота, приведены кинематическая модель, результаты численного моделирования и экспериментальныхисследований. Конструкция сфероробота с двумя внутренними маятникамипредставлена в работе [71].

Помимо уравнений динамики, авторы исследуютнелинейную обратную связь, обсуждаются результаты многочисленных экспериментов. Результаты исследований, представленные в указанных работах,демонстрируют существенное расхождение теории с результатами экспериментальных исследований. Данное обстоятельство подчеркивает сложность иактуальность продолжения работ в направлении развития алгоритмов управления сферическими роботами.36Наиболее близкими по содержанию отечественными работами, посвящёнными исследованию динамики и анализу устойчивости высокоманевренныхмобильных роботов, являются работы Зобовой А.А.

[37, 38] и МатыненкоЮ.Г. [8, 9, 39]. В данных работах исследуется динамика омниколесных (роликонесущих) мобильных роботов, перемещающихся по горизонтальной плоскости. Стоит отметить, что работы Татаринова Я.В., Зобовой А.А. посвященызаписи уравнений движения мобильных роботов, как неголономных систем влаконичной форме, предложенной Татариновым Я.В. в 2003 году, и затрагивают только свободное движение системы. В работах Ю.Г. Мартыненко приведены как кинематические так и динамические уравнения движения в формематричных уравнений Маджи, для свободного движения найден первый интеграл, проведен анализ движения при постоянных управляющих воздействиях,исследована устойчивость прямолинейного движения омниколесного робота.В целом динамические модели, в виду их сложности, крайне редко используются для управления мобильными роботами.

Однако, исследование динамических уравнений движения (особенно, когда количество управляющихвоздействий меньше степени подвижности системы), позволяет найти частные решения, обеспечивающие определение управляющих воздействий дляустойчивого движения. Или наоборот, показать их неустойчивость.Далее рассмотрим вывод уравнений динамики для сфероробота с внутренней омниколесной платформой, описанного в главе 1, и проведем исследование полученных решений, с точки зрения их последующей реализации напрактике.372.2. Динамические уравнения движения сфероробота с внутреннейомниколесной платформойДля описания движения сфероробота рассмотрим три системы координат.Первая OXY Z - неподвижная, с ортами α, β, γ, вторая Cx0 y 0 z 0 - подвижная,жёстко связанная со сферической оболочкой, с ортами ξ, η, ζ, и третья Cxyz подвижная жёстко связанная с омниколесной платформой с ортами e1 , e2 , e3(см.

рис. 7 ). При этом начало координат обеих подвижных систем совпадаетс центром сферической оболочки (т. C). Конструкцию подвижной платформы будем описывать следующими постоянными (в системе координат Cxyz)векторами: ri - радиус-векторы центров омниколес, ni - единичные векторы, направленные вдоль осей вращения омниколес, αi - единичные векторы,задающие направления осей вращения роликов каждого колеса в точках контакта с оболочкой, и rm - положение центра масс подвижной платформы сомниколесами.Рис. 7.

Схема мобильного сфероробота.Положение системы будем задавать координатами центра сферической38оболочки в неподвижной системе координат r = (x, y, 0), углами поворотакаждого из колес χ = (χ1 , χ2 , χ3 ), и двумя матрицами, задающими ориентацию в пространстве платформы и сферической оболочкиξ η ζα β γ 1 1 1 1 1 1Q =  α2 β2 γ2  , S =  ξ2 η2 ζ2 ξ3 η3 ζ3α3 β3 γ3(2.1)Здесь и далее (если не оговаривается иное) все вектора записаны в проекциях на оси системы координат Cxyz жёстко связанной с платформой.

Такимобразом конфигурационное пространство рассматриваемой системы представляет собой произведение R2 × T3 × SO(3) × SO(3).В данных координатах движение сферической оболочки и платформы описывается следующими кинематическими соотношениями [65]bb Q, Ṡ = (ωb − Ω)S,ṙ = QT v, Q̇ = ω(2.2)где v — скорость центра сферы (в проекциях на оси системы Cxyz), а матрицы0ω3 −ω20Ω3 −Ω2bb =ω,Ω=ω1 Ω1  −ω3 0 −Ω3 0.ω2 −ω1 0Ω2 −Ω1 0выражаются через компоненты абсолютных угловых скоростей подвижнойплатформы ω и сферической оболочки Ω. При этом величины ω, Ω и v являются квазискоростями, а их связь с обобщенными скоростями задана соотношениями (2.2).Будем считать, что при движении отсутствует проскальзывание в точкахконтакта сферической оболочки с плоскостью и омниколесами.

Это приводитк наложению неголономных связей на рассматриваемую систему. Непроскальзыванию сферической оболочки относительно плоскости соответствует связь39F = v − R0 Ω × γ = 0,(2.3)а непроскальзыванию колес относительно сферической оболочки получим извыражения (1.3)Gi = χ̇i +R0(ω − Ω, (ri × αi )) = 0.(ni × ri ), αi rИли приняв si = ri × αiGi = χ̇i +R0(ω − Ω, si ) = 0.(si , ni )Rw(2.4)Для вывода уравнений движения найдем векторные поля µi , λi , ϑi ,i = 1..3, в базисе которых квазискорости vi , ωi , Ωi являются компонентамискорости рассматриваемой системы.

Для этого запишем производную произвольной функции по времени с учетом (2.2)µ¶µ¶µ¶∂f∂f∂ff˙ =, ṙ + Tr Q̇T+ Tr ṠT=∂r∂Q∂S(2.5)= vi µi + ωi ϑi + Ωi λi ,где векторные поля:µi = Qij ∂ , λi = εijk (ξj ∂ + ηj ∂ + ζj ∂ ),∂rj∂ξk∂ηk∂ζkϑi = εijk (αj ∂ + βj ∂ + γj ∂ ) − εijk (ξj ∂ + ηj ∂ + ζj ∂ ),∂αk∂βk∂γk∂ξk∂ηk∂ζk(2.6)a εijk - символ Леви-Чивиты. Здесь индексы принимают значения i, j, k = 1..3,и проводится суммирование по повторяющимся индексам.

Коммутаторы векторных полей (2.6) имеют вид[µi , µj ] =[µi , λj ] = 0,[µi , ϑj ] = −εijk · µk , [λi , λj ] = εijk · λk ,[ϑi , ϑj ] = εijk · ϑk , [ϑi , λj ] = −εijk · λk .40(2.7)Уравнения динамики в квазискоростях с неопределёнными множителямиЛагранжаd ( ∂L ) = X ck w ∂L + ν i (L) + X λ ∂Fj , i = 1, .., s.jri rdt ∂wi∂wk∂wi(2.8)jr,kгде w = (ω1 , ω2 , ω3 , Ω1 , Ω2 , Ω3 , v1 , v2 , v3 ) - вектор квазискоростей, Fj неголономные связи,ν = (ϑ1 , ϑ2 , ϑ3 , λ1 , λ2 , λ3 , µ1 , µ2 , µ3 ) - соответствующие им векторныеполя (2.6), а структурные константы ckri определяются из коммутаторов векторных полей[ν i , ν j ] = ckij ν k , i, j, k = 1..9(2.9)Представив векторные поля (2.6) и структурные константы определяемые коммутатором (2.7) в (2.8) и объединив их с уравнениями движения колес, получимddtµ¶¶T∂L = ∂L × ω + ∂L × v + ∂L × γ + ∂Gλ̃,∂ω∂ω∂v∂γ∂ωµµµ¶¶T¶T∂Fd ∂L = ∂L × ω + ∂Gλ̃ +λ,dt ∂Ω∂Ω∂Ω∂Ωµµ ¶¶Td ∂L = ∂L × ω + ∂Fλ,dt ∂v∂v∂vµµ ¶¶Td ∂L = ∂L + ∂Gλ̃ + K.dt ∂ χ̇∂χ∂ χ̇µ(2.10)e = (λe1 , λe2 , λe3 ) неопреЗдесь L — функция Лагранжа, λ = (λ1 , λ2 , λ3 ) и λделённые множители Лагранжа, K = (K1 , K2 , K3 ) - вектор управляющих моментов, где Ki - момент сил, приложенный к оси i-го колеса, а F и G - неголономные связи (2.3), (2.4).

Кинетическую энергию рассматриваемой системыможно представить в виде суммы трёх слагаемых: кинетической энергии сферической оболочки T0 , кинетической энергии платформы Tp и кинетическойэнергии колес TiT = T0 + Tp +3Xi=141Ti .(2.11)Кинетическая энергия сферической оболочки и подвижной платформы имеютвид:T0 = 1 m0 v 2 + 1 I0 Ω2 ,22Tp = 1 mp v 2 + 1 (ω, Ip ω) + mp (v, ω × rp )22(2.12)(2.13)где m0 и I0 - масса и центральный тензор инерции сферической оболочки, mpи Ip - масса подвижной платформы и её тензор инерции относительно центрасферы, а rp - радиус—вектор из центра сферы в центр масс платформы (безомниколес).Кинетическая энергия каждого из колес имеет видTi = 1 mi v 2 + mi (v, ω × ri ) + 1 (ω, Ii ω) + j(ω, ni )χ̇i + 1 j χ̇i 2222(2.14)где mi и Ii - масса i-го колеса и его тензор инерции относительно точки C,а j — осевой момент инерции колес.

Общую кинетическую энергию системыможно представить в видеT = 1 (m + m0 )v 2 + 1 I0 Ω2 + 1 (ω, Iω) + m(v, ω × rm )+22233XX1+j χ̇i (ω, ni ) +j χ̇2i ,2i=1гдеm = mp +rm =P3i=1 mimp rp +P3m(2.15)i=1- масса подвижной платформы с омниколесами,i=1 mi ri- радиус-вектор центра масс подвижной платформыс омниколесами,I = Ip +P3i=1 Ii- тензор инерции подвижной платформы с омниколесамиотносительно центра сферы.В выбранных обозначениях потенциальная энергия рассматриваемой системы может быть представлена в видеU = mg(rm , γ),42(2.16)где g — ускорение свободного падения.

Определив функцию ЛагранжаL = T −U с помощью соотношений (2.15) и (2.16), и подставив её в уравнения(2.10), получимIω̇ + m(rm × v̇) +3Xj χ̈i ni + ω × (Iω + m(rm × v) +i=1+mv × (rm × ω) =3Xj χ̇i ni )+i=13Xki si λi − mg(rm × γ),i=1e−I0 Ω̇ + ω × I0 Ω = −(R0 γ) × λ3Xki si λi ,(2.17)i=1e(m + m0 )v̇ + m(ω̇ × rm ) + ω × ((m0 + m)v + m(ω × rm )) = λ,j χ̈i + j(ω̇, ni ) = λi + Ki ,где ki =R0.Rw (si , ni )Из последних двух уравнений (2.17) и производной повремени уравнений связи (2.4) найдем неопределённые множителиλi = jki (Ω̇ − ω̇, si ) + j(ω̇, ni ) − Ki , i = 1..3,e = (m + m0 )v̇ + m(ω̇ × rm ) + ω × ((m0 + m)v + m(ω × rm )).λ(2.18)Подставив их в уравнения движения и исключив χ̇i и v с помощью уравнений связей (2.3), (2.4) получим43(I + Jss − Jns − Jsn )ω̇ + (Jns − Jss + mR0 ((γ, rm ) − γ ⊗ rm ))Ω̇ =−3Xki si Ki − ω × Iω + (Jns (Ω − ω)) × ω−i=1−mR0 rm × (γ × (Ω × ω)) − mg(rm × γ)(Jsn − Jss + mR0 ((rm , γ) − rm ⊗ γ))ω̇+(2.19)+(I0 + Jss + (m + m0 )R0 2 (γ 2 − γ ⊗ γ))Ω̇ =−(m + m0 )R0 2 γ × (γ × (Ω × ω)) − mR0 (γ × (ω × (ω × rm )))−−I0 ω × Ω +3Xki si Kii=1PPгде введены обозначения Jss = 3i=1 jki 2 (si ⊗ si ), Jsn = 3i=1 jki (si ⊗ ni ),PJns = 3i=1 jki (ni ⊗ si ), а тензорное произведение векторов a, b определяетсяследующим образом:a ⊗ b = kai bj k.Вместе с уравнением Пуассона (одним из уравнений (2.2))γ̇ = γ × ω(2.20)уравнения (2.19) образуют замкнутую приведённую систему уравнений.Данная система допускает два первых интеграла движенияγ 2 = 1, (M , γ) = Mγ = const,(2.21)где вектор M имеет видM = (I − Jns + mR0 ((γ, rm ) − rm ⊗ γ))ω+2(2.22)(I0 + Jns + mR0 ((γ, rm ) − γ ⊗ rm ) + (m + m0 )R0 (1 − γ ⊗ γ))Ω.В случае свободного движения (K = 0) к интегралам (2.21) добавляетсяинтеграл энергии, который после подстановки в (2.15) уравнений связи (2.3),44(2.4) принимает видE = 1 (m + m0 )R02 (Ω × γ)2 + 1 I0 Ω2 + 1 (ω, Iω) + mR0 (Ω × γ, ω × rm )+222+(Ω − ω, Jsn ω) + 1 (Ω − ω, Jss (Ω − ω)) + mg(rm , γ).2(2.23)Таким образом, даже для свободного движения фазовый поток в девятимерном пространстве (ω, Ω, γ) расслаивается на шестимерные уровни интегралов (2.21), (2.23), и в общем случае, по видимому, является неинтегрируемым.

Характеристики

Список файлов диссертации