Автореферат (786090), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Умножая каждое соотношение (3.25) на dΣ и учитывая (3.23),находим−(−)−m g−I PJ = a(x′ , x3 )P(x′ , x3 , t),I J−(−)µ(x′ , x3 , t),m − g−I µ J = a(x′ , x3 )µI J(−)x′ ∈ ∂ S .(3.29)В силу (3.24) и первого соотношения (1.17), из (3.29) получим граничныеусловия приближения порядка r−(−)−I (r)Ja(r) (x′ , x3 ) =r∑−(−)−m g I− PJ = a(r) (x′ , x3 )P,µ,m g I−µ J = a(r) (x′ , x3 )µI (r)JAs (x′ )(x3 )s ,r ∈ N0 ,(−)x′ ∈ ∂ S ,(3.30)r ∈ N0 .s=0Учитывая первые соотношения (1.17) и (3.24) и, приравнивая коэффициентыпри одинаковых степенях x3 в правых и левых частях, из (3.29) будем иметь(−)−−−I−(−)m (s)A+I PJ = A(s) (x′ , x3 )P,−µ,m − (s)A+I µ J = A(s) (x′ , x3 )µIJJs ∈ N0 ,(−)x′ ∈ ∂ S .(3.31)Соотношения (3.29) и (3.31) эквивалентны, а соотношения (3.30) эквивалентны первым r+1 равенствам (3.31). Применяя оператор моментов k-го порядкак (3.30), в силу (2.12) находим−(k)(−)(k)−(k)(−)(k)m − M( g I− PJ ) = M(a(r) P), m − M( g I−µ J ) = M(a(r)µ ), r ∈ N0 , k = 0, N ,II(r) J(r) J(−)x′ ∈ ∂ S .
(3.32)Учитывая (3.31), из (3.32) придем к соотношениям(−)−− (k)−(k)m A+I P J = A(s) P,I (s)J(−)−(k)−(k)m − A+I µ J = A(s) µ ,I (s)J(−)s = 0, r,k = 0, N ,x′ ∈ ∂ S ,(3.33)которые можно еще получить, применяя оператор моментов k-го порядка к(3.31).29Заметим, что на основании (3.31) из (3.32) можно исключить моментыискомых и известных величин, порядок которых превосходит N . Тогда получим соотношения, которые назовем статическими граничными условиями(граничными условиями физического содержания) в моментах приближения(r, N ). Они эквивалентны (3.33), поэтому в качестве статических граничныхусловий в моментах приближения (r, N ) целесообразно рассматривать соотношения (3.33).3.6 Граничные условия теплового содержания в моментах. Рассмотрены граничные условия первого (типа Дирихле), второго (типа Неймана) итретьего (теплообмена с окружающей средой по закону Ньютона) родов3 [90]и из них получены соответствующие граничные условия в моментах.3.6.1 Граничные условия первого рода в моментах.
В этом случае начасти Σq ⊆ Σ боковой грани Σ задается температураT (x′ , x3 , t)Σq= T0 (x′ , x3 , t).Отсюда аналогично (3.22) искомые граничные условия первого рода в моментах будут иметь вид(k)(k)T (x′ , t) = T 0 (x′ , t),(−)k = 0, N ,(−)(3.34)на ∂ S q ⊆ ∂ S ,(k)(−)где T 0 (x′ , t), k = 0, N , — известные моменты на ∂ S q известной функцииT0 (x′ , x3 , t).3.6.2 Граничные условия второго рода в моментах. Нетрудно получитьэти условия. В самом деле, в рассматриваемом случае на части Σq ⊆ Σ боковой грани Σ выполняется условиеm · q(x′ , x3 , t)Σq= q0 (x′ , x3 , t).Отсюда, не останавливаясь на выводе, аналогично (3.28) получим граничныеусловия в форме−(−) (k)I−m q (x′ , t) = q0 (x′ , t),(k)(−)k = 0, N ,I(−)на ∂ S q ⊆ ∂ S ,(3.35)−∫1∫1(k)q I (x′ , t) = q I Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 , q0 (x′ , t) = q0 b(x′ , x3 )Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,(k)0(−)k = 0, N , q I = ϑ q I .0В другой форме подобно (3.33) будем иметь(−)−−−(k)(k)m A+I q J (x′ , t) = A(s) q 0 (x′ , t),I (s)J(−)s = 0, r,k = 0, N ,(−)x′ ∈ ∂ Sq ⊆ ∂ S .(3.36)Соотношения (3.36) назовем граничными условиями теплового содержаниявторого рода в моментах приближения (r, N ).303.6.3 Граничные условия третьего рода в моментах.
В рассматриваемом случае граничные условия представляются в видеm · q(x′ , x3 , t)Σq= β(Tc − T ).(3.37)ΣqТогда искомые граничные условия аналогично (3.35) имеют вид( (k)m q (x′ , t) = β Tc − T (k) ),−(−) (k)I−(−)k = 0, N ,ITc (x′ , t) =(k)∫1Tc b(x′ , x3 )Û ∗k (x3 )dx3 ,T (k) (x′ , t) =0(−)на ∂ S q ⊆ ∂ S ,∫1(3.38)T (x′ , x3 )b(x′ , x3 )Û ∗k (x3 )dx3 ,k = 0, N .0Аналогично (3.33) и (3.36) и в этом случае граничные условия можно записать в форме−(−)−−(k)(k)(k)m A+I q J (x′ , t) = A(s) β( T c − T ),I (s)J(−)s = 0, r,k = 0, N ,(−)x′ ∈ ∂ Sq ⊆ ∂ S .(3.39)Соотношения (3.39) назовем граничными условиями теплового содержаниятретьего рода в моментах приближения (r, N ).Заметим, что при получении (3.38) и (3.39) предполагалось, что коэффициент теплоотдачи β не зависит от x3 .
Если β зависит от x3 , то для нахождения момента k-го порядка правой части (3.37) надо использовать первоесоотношение (2.9) при s = 0.3.7 Начальные условия в моментах. При рассмотрении нестационарныхзадач в некоторый момент времени t = t0 должны быть заданы начальныеусловия. Пусть для нестационарной (динамической) задачи микрополярнойМДТТ начальные условия представлены в видеu(x′ , x3 , t)= u0 (x′ , x3 ),t=t0′3φ (x , x , t)= φ 0 (x′ , x3 ),t=t0∂u = v(x′ , x3 ),∂t t=t0φ ∂φ= ω (x′ , x3 ),∂t t=t0(3.40)а для нестационарной задачи теплопроводности начальное условие представлено в формеT (x′ , x3 , t)= T 0 (x′ , x3 ).(3.41)t=t0В силу (3.40) для искомых начальных условий в моментах будем иметьu(x , t)(k)′t=t0φ (x′ , t)(k)t=t0(k)′= u 0 (x ),(k)= φ 0 (x′ ),(k)(k)∂ u = v (x′ ),∂t t=t0(k)(k)∂ φ = ω (x′ ),∂t t=t0(3.42)(−)k = 0, N ,наS.Из (3.41) для нестационарной задачи теплопроводности получим начальныеусловия в моментахT (x′ , t)(k)(k)= T 0 (x′ ) k = 0, N ,(−)наS.t=t031(3.43)(−)(+)(−)(+)3.8 Определение векторов-функций u ′ , u ′ , φ ′ , φ ′ и функций T ′ , T ′ .Пусть тензоры напряжений и моментных напряжений (приближенной задачи, о которой речь пойдет ниже) представляются соответственно формулами(−)(+)N (k)∑µ (0) (x′ , x3 ) =µ (0) (x′ )Ûk∗ (x3 )k=0 eeN (k)∑P(0) (x′ , x3 ) =P(0) (x′ )Ûk∗ (x3 ),ek=0 e(3.44)Тогда граничные условия физического содержания на лицевых поверхностях (3.19) в силу (3.44) можно записать в форме√−− (−)r · P (0) = − g 3 3 P,e√− (−)−− (−)3r · µ (0) = − g 3 3 µ ,e− (−)3−−+−−+−(+)−(+)√++ (+)(r − g + g − r )· P (0) = g 3 3 P,P Me√33 PM(r − g + g − r )· µ (0) =P Me33 PM++ (+)g33′(−)(3.45)µ, x ∈ S.Учитывая значения на концах сегмента [0,1] полиномов Чебышева второго√√рода Ûk∗ (0) = (−1)k (2/ π)(k + 1), Ûk∗ (0) = (2/ π)(k + 1) из (3.44) получимN(k)2 ∑(−1)k (k + 1)P(0) ,P (0) = P(0) =√π k=0eee x3 =0N(−)(k)2 ∑µ(0) =√µ (0) =µ(−1)k (k + 1) µ (0) ,π k=0e x3 =0ee(−)N(k)2 ∑=√(k + 1)P(0) ,P (0) = P(0) π k=0ee x3 =1eN(+)(k)2 ∑µ(0) =√µ (0) =µ(k + 1) µ (0) .π k=0e x3 =1ee(+)С помощью (3.12), (3.14), (3.45) и последних формул простыми выкладками приходим к искомым уравнениям [43, 50](+)(+)(−)(−)(+)(+)(−)(−)′′′′′′′′C(0,N) · u + C(0,N ) · u + A(0,N ) · φ + A(0,N ) · φeeee(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)(−)′′′′′′′′′′′′C(0,N) · u + C(0,N ) · u + A(0,N ) · φ + A(0,N ) · φeeee(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)(−)′′′′′′′′B(0,N ) · u + B(0,N ) · u + D(0,N ) · φ + D(0,N)· φeeee(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)(−)′′′′′′′′′′φ ′ + D(0,Nφ′B(0,N) · u + B(0,N ) · u + D(0,N ) ·)·eeee(−)= A (0,N ) ,(+)= A (0,N ) ,(−)= B (0,N ) ,(+)= B (0,N ) .Здесь введены следующие обозначения:( − − − − − ) (−)−−3· 3·3·M ·3· 3·′3′C(0,N=bC−gC,C=−aC,(N)(N)+)(0,N )Meeeee[( − − − − − ) − + ( − − − − − )](+)′′=aC 3· 3·−g 3+ C 3·M · −g +3 g P− CK· 3·−g 3+ CK·M · ,C(0,N(N ))MeMeP K eee( − − − + − − ) (k) −(−)−− (k)(k) −K· 3·3· 3·m (k)mm·m·3 P′′µ(0,N ) ,, P(0,N ) = r · P(0,N ) , µ(0,NC(0,N )= −b(N ) C −g + g − C) =r ·PKeeeee[ √π√ −− (−) ∑]N(−)(k)−− −−2 −m· n·mnk3·33A (0,N )=−= r · A ⊗r E,g P+ (−1) (k+1)P(0,N ) , A2eeek=0√ √ (+) N)((k)−− + (k) −(+)− −−2 −∑π +3 +3K·3 P3·Bm·n· = rm · D ⊗rn E,A (0,N )=g P− (k+1) P(0,N)−g + g − P(0,N ) ,2P Keeek=0√√)((k)−N− + (k) −(+)− −−2 −π +3 +3 (+) ∑K·3 P3·A (0,N )=Bm·n· = rm · D ⊗rn E,P−ggg P− (k+1) P(0,N+ − (0,N ) ,)2P Keeek=0[ √π√ −− (−) ∑]N(−)− −−2 −(k)−3·B (0,N )=−Cm·n· = rm · C ⊗rn E,g 3 3 µ + (−1)k (k+1) µ(0,N) ,2eeek=0(+)32(3.46)√ √((k)−)N− + (k) −− −−2 −π +3 +3 (+) ∑3·3 PK·B (0,N )=g µ − (k+1) µ(0,N−ggµDm·n· = rm · D ⊗rn E,+ − (0,N ) ,)2P Keeek=0NN∑∑1a(N ) = 2 (k + 1)2 = (N +1)(N +2)(2N +3), b(N ) = 2 (−1)k (k + 1)2 .3k=0k=0(+)(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)′′′′′′′′′′′′′Выражения для A(0,N, A(0,N, A(0,N, A(0,N( B(0,N, B(0,N, B(0,N, B(0,N) и D(0,N,)))))))))eeeeee(+) e (−) e (+)e(−)(+)(−)(−)′′′′′′′′′′′D(0,N, D(0,N, D(0,Nполучаются из выражений для C(0,N, C(0,N, C(0,N, C(0,N)))))))eeeeeeeзаменой буквы C на буквы A (B) и D соответственно.Соотношения (3.46) — алгебраическая система из двенадцати уравнений(+)(−)(+)(−)относительно двенадцати неизвестных u ′ , u ′ , φ ′ и φ ′ (четырех векторов).(+)(−)(+)(−)Разрешая эту систему, получим векторы u ′ , u ′ , φ ′ и φ ′ , выраженные при(m)(m)(m)(m)(m)помощи моментов u , ∂I u , φ , ∂Iφ , ϑ , m = 0, N и граничных условий физического содержания на лицевых поверхностях.
Если учесть полученные выражения для искомых векторов в первых N + 1 соотношениях (3.12), найдемОС (систему законов Гука) в моментах для нулевого приближения тензоров напряжений и моментных напряжений (аналогично получаются ОС для(k)(k)любого приближения этих тензоров). При этом P(0) и µ(0) представляют ли(m)e(k)e(m)(m)(m) (m)нейные формы относительно u , ∂I u , φ , ∂Iφ и ϑ , m = 0, N . Подставляя P(0)e(k)и µ(0) в (3.44), получим приближенные выражения для тензоров напряженийeи моментныхнапряжений, удовлетворяющие граничным условиям на лице(m)(m)(m)вых поверхностях для любых векторных полей u , φ и скалярных полей ϑ ;m = 0, N , являющихся моментами искомых векторных полей u, φ и скаляр(k)(k)ного поля ϑ.
Следуя И.Н.Векуа, выражения для P(0) и µ(0) , согласованные сeeкраевыми условиями на лицевых поверхностях, назовемнормированнымимоментами k-го порядка полей тензоров напряжений и моментных напряженийнулевого приближения (аналогично определяются нормированные моментыk-го порядка полей тензоров напряжений и моментных напряжений любогоприближения).(+)Аналогично (3.46) получаются уравнения для определения функций T ′ и(−)T ′ [81, 83]. С целью сокращения письма их выписывать не будем.Следует заметить, что при упрощенной схеме редукции к конечной системе уравнений, как и выше, в качестве системы уравнений (движения, притока тепла) рассматривается система уравнений (движения, притока тепла) вмоментах приближения (r,N), где r и N — некоторые фиксированные неотрицательные целые числа, а затем в законах Гука и теплопроводности Фурьев моментах приближения порядка r полагается, что(k)u = 0,(k)φ = 0,(k)(k)ϑ =0 иT = 0,если k > N.33Далее отметим, что при упрощенной схеме редукции для каждого приближенного решения краевой задачи, аналогично тому как это делается в [85] дляклассического варианта теории с применением полиномов Лежандра, строится корректирующее слагаемое, обеспечивающее выполнение граничных условий на лицевых поверхностях [50, 81–83].Из изложенного выше видно, что трехмерные законы Гука и теплопроводности Фурье в теории тонких тел заменяются соответствующими бесконечными системами законов в моментах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
