Главная » Просмотр файлов » Автореферат

Автореферат (786090), страница 7

Файл №786090 Автореферат (Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел) 7 страницаАвтореферат (786090) страница 72019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Умножая каждое соотношение (3.25) на dΣ и учитывая (3.23),находим−(−)−m g−I PJ = a(x′ , x3 )P(x′ , x3 , t),I J−(−)µ(x′ , x3 , t),m − g−I µ J = a(x′ , x3 )µI J(−)x′ ∈ ∂ S .(3.29)В силу (3.24) и первого соотношения (1.17), из (3.29) получим граничныеусловия приближения порядка r−(−)−I (r)Ja(r) (x′ , x3 ) =r∑−(−)−m g I− PJ = a(r) (x′ , x3 )P,µ,m g I−µ J = a(r) (x′ , x3 )µI (r)JAs (x′ )(x3 )s ,r ∈ N0 ,(−)x′ ∈ ∂ S ,(3.30)r ∈ N0 .s=0Учитывая первые соотношения (1.17) и (3.24) и, приравнивая коэффициентыпри одинаковых степенях x3 в правых и левых частях, из (3.29) будем иметь(−)−−−I−(−)m (s)A+I PJ = A(s) (x′ , x3 )P,−µ,m − (s)A+I µ J = A(s) (x′ , x3 )µIJJs ∈ N0 ,(−)x′ ∈ ∂ S .(3.31)Соотношения (3.29) и (3.31) эквивалентны, а соотношения (3.30) эквивалентны первым r+1 равенствам (3.31). Применяя оператор моментов k-го порядкак (3.30), в силу (2.12) находим−(k)(−)(k)−(k)(−)(k)m − M( g I− PJ ) = M(a(r) P), m − M( g I−µ J ) = M(a(r)µ ), r ∈ N0 , k = 0, N ,II(r) J(r) J(−)x′ ∈ ∂ S .

(3.32)Учитывая (3.31), из (3.32) придем к соотношениям(−)−− (k)−(k)m A+I P J = A(s) P,I (s)J(−)−(k)−(k)m − A+I µ J = A(s) µ ,I (s)J(−)s = 0, r,k = 0, N ,x′ ∈ ∂ S ,(3.33)которые можно еще получить, применяя оператор моментов k-го порядка к(3.31).29Заметим, что на основании (3.31) из (3.32) можно исключить моментыискомых и известных величин, порядок которых превосходит N . Тогда получим соотношения, которые назовем статическими граничными условиями(граничными условиями физического содержания) в моментах приближения(r, N ). Они эквивалентны (3.33), поэтому в качестве статических граничныхусловий в моментах приближения (r, N ) целесообразно рассматривать соотношения (3.33).3.6 Граничные условия теплового содержания в моментах. Рассмотрены граничные условия первого (типа Дирихле), второго (типа Неймана) итретьего (теплообмена с окружающей средой по закону Ньютона) родов3 [90]и из них получены соответствующие граничные условия в моментах.3.6.1 Граничные условия первого рода в моментах.

В этом случае начасти Σq ⊆ Σ боковой грани Σ задается температураT (x′ , x3 , t)Σq= T0 (x′ , x3 , t).Отсюда аналогично (3.22) искомые граничные условия первого рода в моментах будут иметь вид(k)(k)T (x′ , t) = T 0 (x′ , t),(−)k = 0, N ,(−)(3.34)на ∂ S q ⊆ ∂ S ,(k)(−)где T 0 (x′ , t), k = 0, N , — известные моменты на ∂ S q известной функцииT0 (x′ , x3 , t).3.6.2 Граничные условия второго рода в моментах. Нетрудно получитьэти условия. В самом деле, в рассматриваемом случае на части Σq ⊆ Σ боковой грани Σ выполняется условиеm · q(x′ , x3 , t)Σq= q0 (x′ , x3 , t).Отсюда, не останавливаясь на выводе, аналогично (3.28) получим граничныеусловия в форме−(−) (k)I−m q (x′ , t) = q0 (x′ , t),(k)(−)k = 0, N ,I(−)на ∂ S q ⊆ ∂ S ,(3.35)−∫1∫1(k)q I (x′ , t) = q I Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 , q0 (x′ , t) = q0 b(x′ , x3 )Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,(k)0(−)k = 0, N , q I = ϑ q I .0В другой форме подобно (3.33) будем иметь(−)−−−(k)(k)m A+I q J (x′ , t) = A(s) q 0 (x′ , t),I (s)J(−)s = 0, r,k = 0, N ,(−)x′ ∈ ∂ Sq ⊆ ∂ S .(3.36)Соотношения (3.36) назовем граничными условиями теплового содержаниявторого рода в моментах приближения (r, N ).303.6.3 Граничные условия третьего рода в моментах.

В рассматриваемом случае граничные условия представляются в видеm · q(x′ , x3 , t)Σq= β(Tc − T ).(3.37)ΣqТогда искомые граничные условия аналогично (3.35) имеют вид( (k)m q (x′ , t) = β Tc − T (k) ),−(−) (k)I−(−)k = 0, N ,ITc (x′ , t) =(k)∫1Tc b(x′ , x3 )Û ∗k (x3 )dx3 ,T (k) (x′ , t) =0(−)на ∂ S q ⊆ ∂ S ,∫1(3.38)T (x′ , x3 )b(x′ , x3 )Û ∗k (x3 )dx3 ,k = 0, N .0Аналогично (3.33) и (3.36) и в этом случае граничные условия можно записать в форме−(−)−−(k)(k)(k)m A+I q J (x′ , t) = A(s) β( T c − T ),I (s)J(−)s = 0, r,k = 0, N ,(−)x′ ∈ ∂ Sq ⊆ ∂ S .(3.39)Соотношения (3.39) назовем граничными условиями теплового содержаниятретьего рода в моментах приближения (r, N ).Заметим, что при получении (3.38) и (3.39) предполагалось, что коэффициент теплоотдачи β не зависит от x3 .

Если β зависит от x3 , то для нахождения момента k-го порядка правой части (3.37) надо использовать первоесоотношение (2.9) при s = 0.3.7 Начальные условия в моментах. При рассмотрении нестационарныхзадач в некоторый момент времени t = t0 должны быть заданы начальныеусловия. Пусть для нестационарной (динамической) задачи микрополярнойМДТТ начальные условия представлены в видеu(x′ , x3 , t)= u0 (x′ , x3 ),t=t0′3φ (x , x , t)= φ 0 (x′ , x3 ),t=t0∂u = v(x′ , x3 ),∂t t=t0φ ∂φ= ω (x′ , x3 ),∂t t=t0(3.40)а для нестационарной задачи теплопроводности начальное условие представлено в формеT (x′ , x3 , t)= T 0 (x′ , x3 ).(3.41)t=t0В силу (3.40) для искомых начальных условий в моментах будем иметьu(x , t)(k)′t=t0φ (x′ , t)(k)t=t0(k)′= u 0 (x ),(k)= φ 0 (x′ ),(k)(k)∂ u = v (x′ ),∂t t=t0(k)(k)∂ φ = ω (x′ ),∂t t=t0(3.42)(−)k = 0, N ,наS.Из (3.41) для нестационарной задачи теплопроводности получим начальныеусловия в моментахT (x′ , t)(k)(k)= T 0 (x′ ) k = 0, N ,(−)наS.t=t031(3.43)(−)(+)(−)(+)3.8 Определение векторов-функций u ′ , u ′ , φ ′ , φ ′ и функций T ′ , T ′ .Пусть тензоры напряжений и моментных напряжений (приближенной задачи, о которой речь пойдет ниже) представляются соответственно формулами(−)(+)N (k)∑µ (0) (x′ , x3 ) =µ (0) (x′ )Ûk∗ (x3 )k=0 eeN (k)∑P(0) (x′ , x3 ) =P(0) (x′ )Ûk∗ (x3 ),ek=0 e(3.44)Тогда граничные условия физического содержания на лицевых поверхностях (3.19) в силу (3.44) можно записать в форме√−− (−)r · P (0) = − g 3 3 P,e√− (−)−− (−)3r · µ (0) = − g 3 3 µ ,e− (−)3−−+−−+−(+)−(+)√++ (+)(r − g + g − r )· P (0) = g 3 3 P,P Me√33 PM(r − g + g − r )· µ (0) =P Me33 PM++ (+)g33′(−)(3.45)µ, x ∈ S.Учитывая значения на концах сегмента [0,1] полиномов Чебышева второго√√рода Ûk∗ (0) = (−1)k (2/ π)(k + 1), Ûk∗ (0) = (2/ π)(k + 1) из (3.44) получимN(k)2 ∑(−1)k (k + 1)P(0) ,P (0) = P(0) =√π k=0eee x3 =0N(−)(k)2 ∑µ(0) =√µ (0) =µ(−1)k (k + 1) µ (0) ,π k=0e x3 =0ee(−)N(k)2 ∑=√(k + 1)P(0) ,P (0) = P(0) π k=0ee x3 =1eN(+)(k)2 ∑µ(0) =√µ (0) =µ(k + 1) µ (0) .π k=0e x3 =1ee(+)С помощью (3.12), (3.14), (3.45) и последних формул простыми выкладками приходим к искомым уравнениям [43, 50](+)(+)(−)(−)(+)(+)(−)(−)′′′′′′′′C(0,N) · u + C(0,N ) · u + A(0,N ) · φ + A(0,N ) · φeeee(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)(−)′′′′′′′′′′′′C(0,N) · u + C(0,N ) · u + A(0,N ) · φ + A(0,N ) · φeeee(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)(−)′′′′′′′′B(0,N ) · u + B(0,N ) · u + D(0,N ) · φ + D(0,N)· φeeee(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)(−)′′′′′′′′′′φ ′ + D(0,Nφ′B(0,N) · u + B(0,N ) · u + D(0,N ) ·)·eeee(−)= A (0,N ) ,(+)= A (0,N ) ,(−)= B (0,N ) ,(+)= B (0,N ) .Здесь введены следующие обозначения:( − − − − − ) (−)−−3· 3·3·M ·3· 3·′3′C(0,N=bC−gC,C=−aC,(N)(N)+)(0,N )Meeeee[( − − − − − ) − + ( − − − − − )](+)′′=aC 3· 3·−g 3+ C 3·M · −g +3 g P− CK· 3·−g 3+ CK·M · ,C(0,N(N ))MeMeP K eee( − − − + − − ) (k) −(−)−− (k)(k) −K· 3·3· 3·m (k)mm·m·3 P′′µ(0,N ) ,, P(0,N ) = r · P(0,N ) , µ(0,NC(0,N )= −b(N ) C −g + g − C) =r ·PKeeeee[ √π√ −− (−) ∑]N(−)(k)−− −−2 −m· n·mnk3·33A (0,N )=−= r · A ⊗r E,g P+ (−1) (k+1)P(0,N ) , A2eeek=0√ √ (+) N)((k)−− + (k) −(+)− −−2 −∑π +3 +3K·3 P3·Bm·n· = rm · D ⊗rn E,A (0,N )=g P− (k+1) P(0,N)−g + g − P(0,N ) ,2P Keeek=0√√)((k)−N− + (k) −(+)− −−2 −π +3 +3 (+) ∑K·3 P3·A (0,N )=Bm·n· = rm · D ⊗rn E,P−ggg P− (k+1) P(0,N+ − (0,N ) ,)2P Keeek=0[ √π√ −− (−) ∑]N(−)− −−2 −(k)−3·B (0,N )=−Cm·n· = rm · C ⊗rn E,g 3 3 µ + (−1)k (k+1) µ(0,N) ,2eeek=0(+)32(3.46)√ √((k)−)N− + (k) −− −−2 −π +3 +3 (+) ∑3·3 PK·B (0,N )=g µ − (k+1) µ(0,N−ggµDm·n· = rm · D ⊗rn E,+ − (0,N ) ,)2P Keeek=0NN∑∑1a(N ) = 2 (k + 1)2 = (N +1)(N +2)(2N +3), b(N ) = 2 (−1)k (k + 1)2 .3k=0k=0(+)(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)′′′′′′′′′′′′′Выражения для A(0,N, A(0,N, A(0,N, A(0,N( B(0,N, B(0,N, B(0,N, B(0,N) и D(0,N,)))))))))eeeeee(+) e (−) e (+)e(−)(+)(−)(−)′′′′′′′′′′′D(0,N, D(0,N, D(0,Nполучаются из выражений для C(0,N, C(0,N, C(0,N, C(0,N)))))))eeeeeeeзаменой буквы C на буквы A (B) и D соответственно.Соотношения (3.46) — алгебраическая система из двенадцати уравнений(+)(−)(+)(−)относительно двенадцати неизвестных u ′ , u ′ , φ ′ и φ ′ (четырех векторов).(+)(−)(+)(−)Разрешая эту систему, получим векторы u ′ , u ′ , φ ′ и φ ′ , выраженные при(m)(m)(m)(m)(m)помощи моментов u , ∂I u , φ , ∂Iφ , ϑ , m = 0, N и граничных условий физического содержания на лицевых поверхностях.

Если учесть полученные выражения для искомых векторов в первых N + 1 соотношениях (3.12), найдемОС (систему законов Гука) в моментах для нулевого приближения тензоров напряжений и моментных напряжений (аналогично получаются ОС для(k)(k)любого приближения этих тензоров). При этом P(0) и µ(0) представляют ли(m)e(k)e(m)(m)(m) (m)нейные формы относительно u , ∂I u , φ , ∂Iφ и ϑ , m = 0, N . Подставляя P(0)e(k)и µ(0) в (3.44), получим приближенные выражения для тензоров напряженийeи моментныхнапряжений, удовлетворяющие граничным условиям на лице(m)(m)(m)вых поверхностях для любых векторных полей u , φ и скалярных полей ϑ ;m = 0, N , являющихся моментами искомых векторных полей u, φ и скаляр(k)(k)ного поля ϑ.

Следуя И.Н.Векуа, выражения для P(0) и µ(0) , согласованные сeeкраевыми условиями на лицевых поверхностях, назовемнормированнымимоментами k-го порядка полей тензоров напряжений и моментных напряженийнулевого приближения (аналогично определяются нормированные моментыk-го порядка полей тензоров напряжений и моментных напряжений любогоприближения).(+)Аналогично (3.46) получаются уравнения для определения функций T ′ и(−)T ′ [81, 83]. С целью сокращения письма их выписывать не будем.Следует заметить, что при упрощенной схеме редукции к конечной системе уравнений, как и выше, в качестве системы уравнений (движения, притока тепла) рассматривается система уравнений (движения, притока тепла) вмоментах приближения (r,N), где r и N — некоторые фиксированные неотрицательные целые числа, а затем в законах Гука и теплопроводности Фурьев моментах приближения порядка r полагается, что(k)u = 0,(k)φ = 0,(k)(k)ϑ =0 иT = 0,если k > N.33Далее отметим, что при упрощенной схеме редукции для каждого приближенного решения краевой задачи, аналогично тому как это делается в [85] дляклассического варианта теории с применением полиномов Лежандра, строится корректирующее слагаемое, обеспечивающее выполнение граничных условий на лицевых поверхностях [50, 81–83].Из изложенного выше видно, что трехмерные законы Гука и теплопроводности Фурье в теории тонких тел заменяются соответствующими бесконечными системами законов в моментах.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее