Автореферат (786090), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Оператор моментов M, k ∈ N0 — линейный оператор.Утверждение 2.2. Момент k-го порядка тензорного поля F(x′ , x3 ) относительно системы полиномов {Ûk∗ (x3 )}∞k=0 равен коэффициенту с номером kпри разложении F (x′ , x3 ) относительно x3 по этой системе полиномов, т.е.∫1(k)M(F) =(k)F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 = F (x′ ),k ∈ N0 .(2.13)02.4 Моменты производных ∂i F(x′ , x3 ), ∂i ∂j F(x′ , x3 ) и ∂ip ∂jq F(x′ , x3 ) относительно смещенных полиномов Чебышева второго рода. В силу определения (2.11), утверждения (2.13) и рекуррентного соотношения (2.4) доказывается справедливость теоремыТеорема 2.2.(k)M(∂i F) =∫1∂i F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 = 0(k)∂I F (x′ ), i = I,(2.14)(k)F ′ (x′ ),i = 3,где введено обозначение(k)F ′ (x′ ) = 22 (k + 1)∞ (k+2p+1)∞(p)∑∑F (x′ ) = 2(k + 1) [1 − (−1)k+p ] F(x′ ),p=0k ∈ N0 ,p=kназываемое в дальнейшем оператором «штрих».Последнее соотношение можно записать в удобной форме[(k)F ′ (x′ ) = 2(k + 1)N (∑](p)(+)(−))1 − (−1)k+p F(x′ ) + F ′ (x′ ) − (−1)k F ′ (x′ ) ,p=k(+)F ′ (x′ ) =∞∑(p)F(x′ ),(−)F ′ (x′ ) =∞∑(2.15)(p)(−1)p F(x′ ).p=N +1p=N +1Нетрудно видеть, для оператора «штрих» имеет место утверждение.Утверждение 2.3.
(Свойство обобщенной линейности) Для любых тензорныхполей F(x′ , x3 ) и G(x′ , x3 ) и любых функций α(x′ ) и β(x′ ) имеем((k)′α(x )F + β(x′ )G)′(k)(k)= α(x′ ) F ′ + β(x′ )G′ .Следствие 2.3. Оператор «штрих» — линейный оператор.Теорема 2.4.)(m)((k),F (n) = F (n−m)(k)(2.16)n ≥ m,(k)(k)(k)где F (p) означает, что оператор «штрих» применяется p раз, а F (0) = F.На основании определения (2.11), утверждения (2.13), теоремы (2.14) ирекуррентного соотношения (2.5) доказывается теорема.14Теорема 2.5.(k)M(∂i ∂j F) =∫1′∂i ∂j F(x , x3)Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx30(k)∂I ∂J F , i = I, j = J,(k)= ∂I F ′ ,(2.17)i = I, j = 3,(k)F ′′ ,(k)i = j = 3,где F ′ определяется с помощью (2.14), а(k)F ′′ = 24 (k + 1)∞∑(k+2p+2)(p + 1)(k + p + 2)(x′ ) =Fp=0= 2(k + 1)∞∑(p+2)[1 + (−1)k+p ](p − k + 2)(k + p + 4) F (x′ ).p=kЗаметим, что последняя формула аналогично (2.15) можно представить вформе[(k)F ′′ (x′ ) = 2(k + 1)(+)′′′F (x ) =∞∑N∑](p)(+)(−))(p−k)(k+p+2) 1+(−1)k+p F(x′ )+ F ′′ (x′ )+(−1)k F ′′ (x′ ) ,(p=k(p)′(−)′′′(p−k)(k +p +2) F(x ), F (x ) =p=N +1∞∑(p)(2.18)′(−1) (p−k)(k +p +2) F(x ).pp=N +1Применяя последовательно оператор «штрих», легко доказываются формулы(k)′′′F (x′ ) = 26 (k + 1)(k)FIV′8∞∑(k+2p+3)2Cp+2(k + p + 2)(k + p + 3) F (x′ ),p=0∞∑(x ) = 2 (k + 1)(k+2p+4)3Cp+3(k(2.19)′+ p + 2)(k + p + 3)(k + p + 4) F (x ),p=0Здесь N — множество натуральных чисел, а Cnm — биномиальные коэффициенты.
При необходимости аналогично (2.19) можно получить выраженияи для производных более высокого порядка [81–83].Более общая теорема, чем (2.17) и (2.16) формулируется в видеТеорема 2.6.(k)M(∂ip ∂jq F) =∫10(k)∂Ip ∂Jq F (x′ ), (k)∂ip ∂jq F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 = ∂ p F (q) (x′ ), Ii = I, j = J,i = I, j = 3,(2.20)(k)F (p+q) (x′ ), i = j = 3, p, q ∈ N0 .2.5 Моменты некоторых выражений относительно смещенных полиномов Чебышева второго рода. Найдены моменты k-го порядка выражений (x3 )s F, (x3 )s ∂3m F, Ps (x3 )F и Ps (x3 )∂3m F, где Ps (x3 ) — полином степениs ∈ N0 .
С помощью рекуррентных соотношений (2.2) можно доказать, что∑для Ps (x3 ) = sn=0 cn (x3 )s имеют место теоремы:15Теорема 2.7.ss ∑2n(k) [(k)(k−n+p)] ∑∑pM Ps (x3 )∂3m F = cn M[(x3 )n ∂3m F] =2−2n cn C2nF (m) , k ≥ s ≥ 0,n=0n=0 p=0[]M Ps (x3 )∂3m F =k ∑2n∑(k)(k−n+p)p2−2n cn C2nF(m)+ ck+12(k+1)∑n=0 p=0+s∑cn [−n−k∑p=1(n−k−q)q−22−2n C2nF(m)+q=2n=k+22n∑(p−1)p2−2(k+1) C2(k+1)F(k−n+p)p2−2n C2nF(m)(m)+(2.21)], s ≥ k + 2, k ≥ 0,p=n−kТеорема 2.8.(k) [] M Ps (x3 )∂ip ∂jq F = (k) []∂Ip ∂Jq M Ps (x3 )F ,i = I, j = J,(k){ []}(q)∂Ip M Ps (x3 )F, i = I, j = 3,(k){ []}(p+q)M Ps (x3 )F, i = j = 3, k, s, p, q ∈ N0 .(2.22)Конечно, в (2.22) вместо Ps (x3 ) можно рассматривать любую функцию от x3 .Укажем еще, что для повторных ковариантных производных от компоненттензора второго ранга справедлива теорема.Теорема 2.9.(k) ()m n3 s p̃·∇∇M(x)P, t = T, l = L,TL·q̆(k){()}(k) [] ∇m M (x3 )s P p̃· (n) , t = T, l = 3,n p̃·T·q̆M (x3 )s ∇m∇Ptl·q̆ =(k) ({)}(m+n)p̃·M (x3 )s P ·q̆, t = l = 3,∼ ` ∈ {−, ∅, +},k, s, n, m ∈ N0 .(2.23)p̃·0 p̃·Здесь ∇mt = ∇| t ∇t{z.
. . ∇}t , а ∇t P ·q̆ = P ·q̆ . Следовательно, теорема (2.23)mсправедлива для любого тензора и его компонент.2.6 Представления и момент k-го порядка градиента и повторного градиента от тензора. В силу определения градиента (набла-оператора) от тензора при НПОТТ имеем(∼)∇F = rp̃ ∂p F = rp̃ ∇p F,Отсюда при∼(2.24)∈ {−, ∅, +}.= ∅, учитывая соотношения∼−rP = g P− rM ,M−−−−−−−r3 = g 3− rM + r 3 = r 3 − gP3 rP = r 3 − gP3 g P− rM ,MMполучаемые из первой формулы (1.14) и вводя дифференциальный оператор−Np = ∂p − gp3 ∂3 ,−N = rp Np = rP NP = rM g P− NP ,N3 = 0Mнаходим искомое представление градиента в виде [43, 50]−−−−gradF = ∇F = NF + r 3 ∂3 F = rP NP F + r 3 ∂3 F = rM g P− NP F + r 3 ∂3 F.M16(2.25)Применяя к (2.25) набла-оператор ∇, получим выражение для повторногоградиента тензора [43, 50]−−−−−−−−−−M 3 P3 3 2∇∇F = rM rN g P− g Qr g − N P ∂3 F + r 3 r N g Q− ∇3 NQ F + r r ∂3 F =− NP NQ F + rM NQ= r r g − g − [∇P ∇Q −M N PM NM−(gP3 ∇3 ∇Q−−gQ3 ∇P ∇3 )+−−+N−gP3 gQ3 ∇3 ∇3 ]F+−−−(2.26)−3 3+[rM r 3 g P− NP ∇3 + r 3 rN g Q− ∇3 NQ + r r ∇3 ∇3 ]F.M−gP3ЗдесьN−−PP(−)= x g + (см.
вторую формулу (1.10), а g + = (1/h)∂P h при h ⊥ S , где3 33h — толщина тонкого тела. Для того, чтобы найти моменты k-го порядка от(2.25) и (2.26) следует использовать представления компонент ЕТВР (1.17),утверждения (2.12), теорему (2.23) и соотношения (2.21) при соответствующих значениях s, m, n. Выпишем здесь, например, момент k-го порядка от(2.25). Будем иметь [43, 50]−− 2k+2−{ ∑2sk ∑(p−u)(k)(p−1)∑ −2(k+1) pp2−2s (s)AP+ C2s∇P F + (k+1)A P+2C2k+2 ∇P F +M(∇F) = rMMM p=1es=0 p=0− ( ∑∞2su(p−u))(u−q)∑∑pq−2+C2s∇P F −2−2s (s)AP+ − C2s∇P F +Mq=2s=k+22s+2− [ k−1∑ ∑ −2(s+1)3−g +2+2(k)M(AP+ −(s)s=k+12k+2∑−(p−v)pAP+ C2s+2F′ + A P+(s)Ps=0 p=0∞∑ −2(s+1)p=u−−v∑Mq=2(v−q)q−2F′ +C2s+2M p=12s+2∑(p−1)(2.27)pF′ +2−2(k+1) C2k+2)]}(p−v)pF′C2s+2− (k)+ r 3 F ′ (x′ ),p=vu = s−k, v = u+1, k ∈ N0 ;Заметим, что почти во всех соотношениях механики деформируемого твердого тела (МДТТ) при НПОТТ участвует выражение вида g P− NP F, моментMk-го порядка которого имеет форму(k)M(g P− NP F) =M+∞∑−2−2s A + −(s)Mq=2s=k+22s+2− [ k−1∑ ∑ −2(s+1)3P2s=k+1(u−q)q−2C2s∇P F +2s∑+M p=1(p−1)p2−2(k+1) C2k+2∇P F +)pC2s∇P F −(p−u)p=u−P(p−v)′q=2−F + (k)A+(v−q)− ( ∑vq−22−2(s+1) (s)AP+ − C2s+2F′ +MP(k+1)MpA + C2s+2(s)Ms=0 p=0∞∑(s)2k+2∑−(p−u)p2−2s AP+ C2s∇P F + As=0 p=0− ( ∑uP−g ++k ∑2s∑P2k+2∑−2(k+1)2pC2k+2M p=12s+2)]∑ p (p−v)C2s+2 F′ ,p=v(2.28)(p−1)′F +u = s − k, v = u + 1, k ∈ N0 .Нетрудно получить моменты k-го порядка и для выражений g P− g Q− NP NQ F,M Ng Q− ∇3 NQ F и g P− NP ∂3 F.
Они даны в диссертации (см. еще [50]). Здесь с цельюNMсокращения письма их выписывать не будем.Имея представления операторов градиента (2.25), повторного градиента(2.26) и моментов k-го порядка от них (см., например, (2.27)), не доставляет17труда из них получить соответствующие представления для дивергенции, лапласиана, повторной дивергенции и других дифференциальных операторов,упомянутых вначале этого раздела [50].3 В третьей главе «Представления основных уравнений и определяющих соотношений для теории тонких тел. Граничные и начальные условия. Постановки задач» приведены различные представления уравнений и определяющих соотношений (ОС) физического содержания МДТТ как для классической, так и для микрополярной (среды Коссера) теории тонких тел при новой параметризации области тонкого тела, атакже уравнения притока тепла и закона теплопроводности Фурье (ОС теплового содержания).
Получены трехмерные постановки задач при НПОТТ.Даны постановки связанной и несвязанной динамических задач в моментахприближения (r, N ) для тел с одним малым размером микрополярной термомеханики деформируемого твердого тонкого тела (ТМДТТТ), нестационарной температурной задачи в моментах аналогичных приближений микрополярной ТМДТТТ, а также классическая и новая постановки задач в тензорах напряжений и моментных напряжений. Рассмотрены частные случаипостановок задач. Построены корректирующие слагаемые, обеспечивающиевыполнение граничных условий на лицевых поверхностях при постановкахизотермических задач в перемещениях и вращениях, а также при постановках задач в тензорах напряжений и моментных напряжений.3.1 Различные представления уравнений движения и притока тепламеханики деформируемого твердого тела при НПОТТ. Из уравнений движения трехмерной теории получены их представления в виде( √(−)) √(−) (−)(−)(−)(−)1/ g ∂P ( g ϑ PP ) + ∂3 ( ϑ P3 ) + ρ ϑ F = ρ ϑ ∂t2 u,( √(−)) √(−) (−)(−)(−)(−)2 (−)1/ g ∂P ( g ϑ µ P ) + ∂3 ( ϑ µ 3 ) + C⊗( ϑ P) + ρ ϑ m = ϑ J ·∂t2φ ;≃ee−−g P− NP PM + ∂3 P 3 + ρF = ρ∂t2 u,M−−(−)(−)−(−)M−A − NP µMM−(−)2(−)(−)(3.2)−AP− ≡ g P− + x3 aP+ ,+ ϑ ∂3µ + C⊗( ϑ P) + ρ ϑ m =≃e32g P− NP µ M + ∂3µ 3 + C⊗P + ρm = J ·∂t2φ ;≃MeeAP− NP PM + ϑ ∂3 P 3 + ρ ϑ F = ρ ϑ ∂t2 u,P−(3.1)MM(−)ϑ J ·∂t2φ ,eM−−−IMM(3.3)a + ≡ (g+I − 1)g P− − g P+ .PMДля уравнения притока тепла имеем представление−−−g P− NP q M − ∂3 q 3 + ρq − TM2d 2µ) + W ∗ = ρcp ∂t T.(a ⊗P + d ⊗µdt e e e e(3.4)В (3.1) – (3.4) имеем следующие обозначения: P ̸= PT — тензор напряжений, µ ̸= µ T — тензор моментных напряжений,ePp̃ =e rp̃ · P, µ p̃ = rp̃ · µ ,ee∅}, eC — дискриминантный тензор, q — вектор внешнегоe∼ ∈ {−,потока≃−−тепла, q p = q · r p , q — массовый приток тепла, T — температура, a, de e18— тензоры теплового расширения, W ∗ — функция рассеивания, ρ — плот2ность среды, cp — теплоемкость при постоянном давлении, ⊗ — внутреннее2-произведение [47, 50, 59, 79, 84].Приведем и уравнения движения в перемещениях и вращениях− −−−−−[ M]M3 P33 2M N g P− g QNN+Mg(N∇+∇N)+M∇3 · u+P QP 33 P−−M NMfff−(− −[ −LM)]PMN P+2α Cg − NP φ− − ∇3 φ − r− + C g − NP φ − r− −M3(MLN 3M−−)−b rM g P− NP + r 3 ∇3 ϑ + ρF = ρM∂ 2u,∂t2(3.5)−−− −−−][ M33 2M3 P(N∇+∇N)+L∇3 · φ +NN+LgL N g P− g QP 33 PP Q−−MM Neee− −−(])[ −LM∂ 2φφ + ρm = J · 2 ,+2α Cg P− NP u− − ∇3 u − r− + C M N g P− NP u − r− − 4αφ3N 3MLMMe ∂t− −− −−где введены следующие обозначения: b = αt (3λ + 2µ), C M N = C M N 3 ,()1M = (λ + µ − α) CII + CIII + (µ + α)CI ,eeef 2()1L = (γ + δ − β) CII + CIII + (δ + β)CI ,eeee 2−−2−−Mmn = M ⊗rm rn ,ff−−2 − −mnL = L ⊗rm rn .eeЗдесь λ, µ, α, γ, δ и β — материальные константы упругого изотропного микрополярного материала.3.2 Представления законов Гука и теплопроводности Фурье при НПОТТ.В линейной микрополярной теории упругости закон Гука при неизотермических процессах в силу обобщенного принципа Дюгамеля–Неймана [87, 88, 90,91] можно представить в виде22κ − aϑ),P = C ⊗(γγ − aϑ) + A ⊗(κee e ee e e22κ − dϑ),µ = B ⊗(γγ − aϑ) + D ⊗(κe e ee e e e(3.6)φ — тензор деформаций вмикрополярной теории [87], κ = ∇φφгде γ = ∇u−C·φ≃ee— тензор кручения-изгиба, C, A, D, B — материальные тензоры четвертогоe e e eранга, ϑ — перепад температуры.Учитывая выражение для γ , (3.6), а также представление градиента (2.25),Λ · ∇T (ΛΛ — тензор теплопроиз (3.6) и теплопроводности Фурье q = −Λeводности) получены искомые представления закона eГука (ОС физического содержания) и закона теплопроводности Фурье (ОС теплового содержания) [43, 50, 81, 83]−−−−2−−2M· P3·M· P3·φ − bϑ,·g − NP φ + A·∂3φ − C ⊗C·φ·g − NP u + C·∂3 u + AP=C≃≃≃≃MMe ≃ee−−M· P3·M· P3·φ − β ϑ,·g − NP φ + D·∂3φ − B ⊗C·φ·g − NP u + B·∂3 u + Dµ =B≃≃≃≃MMe ≃ee−−−−2 −2 −2 −2 −m·m·m·m·mmmm= B ⊗r E,= D ⊗r E, B= A ⊗r E, D= C ⊗r E, AC≃eee ≃e 2 e ≃ 2 ee2e2≃b = C ⊗a + A ⊗d, β = D ⊗d + B ⊗a;e e −e e e e− e e e e−−ΛM g P− NP T − Λ 3 ∂3 T, Λ m =ΛΛ ·rm .q = −ΛMe19(3.7)На основании представления компонент переноса (1.17) ЕТВР заключаем,что уравнения движения (3.2), уравнение притока тепла (3.4) и ОС физического и теплового содержаний (3.7) содержат бесконечное множество слагаемых и ими пользоваться на практике не целесообразно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
