Главная » Просмотр файлов » Автореферат

Автореферат (786090), страница 4

Файл №786090 Автореферат (Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел) 4 страницаАвтореферат (786090) страница 42019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Оператор моментов M, k ∈ N0 — линейный оператор.Утверждение 2.2. Момент k-го порядка тензорного поля F(x′ , x3 ) относительно системы полиномов {Ûk∗ (x3 )}∞k=0 равен коэффициенту с номером kпри разложении F (x′ , x3 ) относительно x3 по этой системе полиномов, т.е.∫1(k)M(F) =(k)F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 = F (x′ ),k ∈ N0 .(2.13)02.4 Моменты производных ∂i F(x′ , x3 ), ∂i ∂j F(x′ , x3 ) и ∂ip ∂jq F(x′ , x3 ) относительно смещенных полиномов Чебышева второго рода. В силу определения (2.11), утверждения (2.13) и рекуррентного соотношения (2.4) доказывается справедливость теоремыТеорема 2.2.(k)M(∂i F) =∫1∂i F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 = 0(k)∂I F (x′ ), i = I,(2.14)(k)F ′ (x′ ),i = 3,где введено обозначение(k)F ′ (x′ ) = 22 (k + 1)∞ (k+2p+1)∞(p)∑∑F (x′ ) = 2(k + 1) [1 − (−1)k+p ] F(x′ ),p=0k ∈ N0 ,p=kназываемое в дальнейшем оператором «штрих».Последнее соотношение можно записать в удобной форме[(k)F ′ (x′ ) = 2(k + 1)N (∑](p)(+)(−))1 − (−1)k+p F(x′ ) + F ′ (x′ ) − (−1)k F ′ (x′ ) ,p=k(+)F ′ (x′ ) =∞∑(p)F(x′ ),(−)F ′ (x′ ) =∞∑(2.15)(p)(−1)p F(x′ ).p=N +1p=N +1Нетрудно видеть, для оператора «штрих» имеет место утверждение.Утверждение 2.3.

(Свойство обобщенной линейности) Для любых тензорныхполей F(x′ , x3 ) и G(x′ , x3 ) и любых функций α(x′ ) и β(x′ ) имеем((k)′α(x )F + β(x′ )G)′(k)(k)= α(x′ ) F ′ + β(x′ )G′ .Следствие 2.3. Оператор «штрих» — линейный оператор.Теорема 2.4.)(m)((k),F (n) = F (n−m)(k)(2.16)n ≥ m,(k)(k)(k)где F (p) означает, что оператор «штрих» применяется p раз, а F (0) = F.На основании определения (2.11), утверждения (2.13), теоремы (2.14) ирекуррентного соотношения (2.5) доказывается теорема.14Теорема 2.5.(k)M(∂i ∂j F) =∫1′∂i ∂j F(x , x3)Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx30(k)∂I ∂J F , i = I, j = J,(k)=  ∂I F ′ ,(2.17)i = I, j = 3,(k)F ′′ ,(k)i = j = 3,где F ′ определяется с помощью (2.14), а(k)F ′′ = 24 (k + 1)∞∑(k+2p+2)(p + 1)(k + p + 2)(x′ ) =Fp=0= 2(k + 1)∞∑(p+2)[1 + (−1)k+p ](p − k + 2)(k + p + 4) F (x′ ).p=kЗаметим, что последняя формула аналогично (2.15) можно представить вформе[(k)F ′′ (x′ ) = 2(k + 1)(+)′′′F (x ) =∞∑N∑](p)(+)(−))(p−k)(k+p+2) 1+(−1)k+p F(x′ )+ F ′′ (x′ )+(−1)k F ′′ (x′ ) ,(p=k(p)′(−)′′′(p−k)(k +p +2) F(x ), F (x ) =p=N +1∞∑(p)(2.18)′(−1) (p−k)(k +p +2) F(x ).pp=N +1Применяя последовательно оператор «штрих», легко доказываются формулы(k)′′′F (x′ ) = 26 (k + 1)(k)FIV′8∞∑(k+2p+3)2Cp+2(k + p + 2)(k + p + 3) F (x′ ),p=0∞∑(x ) = 2 (k + 1)(k+2p+4)3Cp+3(k(2.19)′+ p + 2)(k + p + 3)(k + p + 4) F (x ),p=0Здесь N — множество натуральных чисел, а Cnm — биномиальные коэффициенты.

При необходимости аналогично (2.19) можно получить выраженияи для производных более высокого порядка [81–83].Более общая теорема, чем (2.17) и (2.16) формулируется в видеТеорема 2.6.(k)M(∂ip ∂jq F) =∫10(k)∂Ip ∂Jq F (x′ ), (k)∂ip ∂jq F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 =  ∂ p F (q) (x′ ), Ii = I, j = J,i = I, j = 3,(2.20)(k)F (p+q) (x′ ), i = j = 3, p, q ∈ N0 .2.5 Моменты некоторых выражений относительно смещенных полиномов Чебышева второго рода. Найдены моменты k-го порядка выражений (x3 )s F, (x3 )s ∂3m F, Ps (x3 )F и Ps (x3 )∂3m F, где Ps (x3 ) — полином степениs ∈ N0 .

С помощью рекуррентных соотношений (2.2) можно доказать, что∑для Ps (x3 ) = sn=0 cn (x3 )s имеют место теоремы:15Теорема 2.7.ss ∑2n(k) [(k)(k−n+p)] ∑∑pM Ps (x3 )∂3m F = cn M[(x3 )n ∂3m F] =2−2n cn C2nF (m) , k ≥ s ≥ 0,n=0n=0 p=0[]M Ps (x3 )∂3m F =k ∑2n∑(k)(k−n+p)p2−2n cn C2nF(m)+ ck+12(k+1)∑n=0 p=0+s∑cn [−n−k∑p=1(n−k−q)q−22−2n C2nF(m)+q=2n=k+22n∑(p−1)p2−2(k+1) C2(k+1)F(k−n+p)p2−2n C2nF(m)(m)+(2.21)], s ≥ k + 2, k ≥ 0,p=n−kТеорема 2.8.(k) [] M Ps (x3 )∂ip ∂jq F = (k) []∂Ip ∂Jq M Ps (x3 )F ,i = I, j = J,(k){ []}(q)∂Ip M Ps (x3 )F, i = I, j = 3,(k){ []}(p+q)M Ps (x3 )F, i = j = 3, k, s, p, q ∈ N0 .(2.22)Конечно, в (2.22) вместо Ps (x3 ) можно рассматривать любую функцию от x3 .Укажем еще, что для повторных ковариантных производных от компоненттензора второго ранга справедлива теорема.Теорема 2.9.(k) ()m n3 s p̃·∇∇M(x)P, t = T, l = L,TL·q̆(k){()}(k) []  ∇m M (x3 )s P p̃· (n) , t = T, l = 3,n p̃·T·q̆M (x3 )s ∇m∇Ptl·q̆ =(k) ({)}(m+n)p̃·M (x3 )s P ·q̆, t = l = 3,∼ ` ∈ {−, ∅, +},k, s, n, m ∈ N0 .(2.23)p̃·0 p̃·Здесь ∇mt = ∇| t ∇t{z.

. . ∇}t , а ∇t P ·q̆ = P ·q̆ . Следовательно, теорема (2.23)mсправедлива для любого тензора и его компонент.2.6 Представления и момент k-го порядка градиента и повторного градиента от тензора. В силу определения градиента (набла-оператора) от тензора при НПОТТ имеем(∼)∇F = rp̃ ∂p F = rp̃ ∇p F,Отсюда при∼(2.24)∈ {−, ∅, +}.= ∅, учитывая соотношения∼−rP = g P− rM ,M−−−−−−−r3 = g 3− rM + r 3 = r 3 − gP3 rP = r 3 − gP3 g P− rM ,MMполучаемые из первой формулы (1.14) и вводя дифференциальный оператор−Np = ∂p − gp3 ∂3 ,−N = rp Np = rP NP = rM g P− NP ,N3 = 0Mнаходим искомое представление градиента в виде [43, 50]−−−−gradF = ∇F = NF + r 3 ∂3 F = rP NP F + r 3 ∂3 F = rM g P− NP F + r 3 ∂3 F.M16(2.25)Применяя к (2.25) набла-оператор ∇, получим выражение для повторногоградиента тензора [43, 50]−−−−−−−−−−M 3 P3 3 2∇∇F = rM rN g P− g Qr g − N P ∂3 F + r 3 r N g Q− ∇3 NQ F + r r ∂3 F =− NP NQ F + rM NQ= r r g − g − [∇P ∇Q −M N PM NM−(gP3 ∇3 ∇Q−−gQ3 ∇P ∇3 )+−−+N−gP3 gQ3 ∇3 ∇3 ]F+−−−(2.26)−3 3+[rM r 3 g P− NP ∇3 + r 3 rN g Q− ∇3 NQ + r r ∇3 ∇3 ]F.M−gP3ЗдесьN−−PP(−)= x g + (см.

вторую формулу (1.10), а g + = (1/h)∂P h при h ⊥ S , где3 33h — толщина тонкого тела. Для того, чтобы найти моменты k-го порядка от(2.25) и (2.26) следует использовать представления компонент ЕТВР (1.17),утверждения (2.12), теорему (2.23) и соотношения (2.21) при соответствующих значениях s, m, n. Выпишем здесь, например, момент k-го порядка от(2.25). Будем иметь [43, 50]−− 2k+2−{ ∑2sk ∑(p−u)(k)(p−1)∑ −2(k+1) pp2−2s (s)AP+ C2s∇P F + (k+1)A P+2C2k+2 ∇P F +M(∇F) = rMMM p=1es=0 p=0− ( ∑∞2su(p−u))(u−q)∑∑pq−2+C2s∇P F −2−2s (s)AP+ − C2s∇P F +Mq=2s=k+22s+2− [ k−1∑ ∑ −2(s+1)3−g +2+2(k)M(AP+ −(s)s=k+12k+2∑−(p−v)pAP+ C2s+2F′ + A P+(s)Ps=0 p=0∞∑ −2(s+1)p=u−−v∑Mq=2(v−q)q−2F′ +C2s+2M p=12s+2∑(p−1)(2.27)pF′ +2−2(k+1) C2k+2)]}(p−v)pF′C2s+2− (k)+ r 3 F ′ (x′ ),p=vu = s−k, v = u+1, k ∈ N0 ;Заметим, что почти во всех соотношениях механики деформируемого твердого тела (МДТТ) при НПОТТ участвует выражение вида g P− NP F, моментMk-го порядка которого имеет форму(k)M(g P− NP F) =M+∞∑−2−2s A + −(s)Mq=2s=k+22s+2− [ k−1∑ ∑ −2(s+1)3P2s=k+1(u−q)q−2C2s∇P F +2s∑+M p=1(p−1)p2−2(k+1) C2k+2∇P F +)pC2s∇P F −(p−u)p=u−P(p−v)′q=2−F + (k)A+(v−q)− ( ∑vq−22−2(s+1) (s)AP+ − C2s+2F′ +MP(k+1)MpA + C2s+2(s)Ms=0 p=0∞∑(s)2k+2∑−(p−u)p2−2s AP+ C2s∇P F + As=0 p=0− ( ∑uP−g ++k ∑2s∑P2k+2∑−2(k+1)2pC2k+2M p=12s+2)]∑ p (p−v)C2s+2 F′ ,p=v(2.28)(p−1)′F +u = s − k, v = u + 1, k ∈ N0 .Нетрудно получить моменты k-го порядка и для выражений g P− g Q− NP NQ F,M Ng Q− ∇3 NQ F и g P− NP ∂3 F.

Они даны в диссертации (см. еще [50]). Здесь с цельюNMсокращения письма их выписывать не будем.Имея представления операторов градиента (2.25), повторного градиента(2.26) и моментов k-го порядка от них (см., например, (2.27)), не доставляет17труда из них получить соответствующие представления для дивергенции, лапласиана, повторной дивергенции и других дифференциальных операторов,упомянутых вначале этого раздела [50].3 В третьей главе «Представления основных уравнений и определяющих соотношений для теории тонких тел. Граничные и начальные условия. Постановки задач» приведены различные представления уравнений и определяющих соотношений (ОС) физического содержания МДТТ как для классической, так и для микрополярной (среды Коссера) теории тонких тел при новой параметризации области тонкого тела, атакже уравнения притока тепла и закона теплопроводности Фурье (ОС теплового содержания).

Получены трехмерные постановки задач при НПОТТ.Даны постановки связанной и несвязанной динамических задач в моментахприближения (r, N ) для тел с одним малым размером микрополярной термомеханики деформируемого твердого тонкого тела (ТМДТТТ), нестационарной температурной задачи в моментах аналогичных приближений микрополярной ТМДТТТ, а также классическая и новая постановки задач в тензорах напряжений и моментных напряжений. Рассмотрены частные случаипостановок задач. Построены корректирующие слагаемые, обеспечивающиевыполнение граничных условий на лицевых поверхностях при постановкахизотермических задач в перемещениях и вращениях, а также при постановках задач в тензорах напряжений и моментных напряжений.3.1 Различные представления уравнений движения и притока тепламеханики деформируемого твердого тела при НПОТТ. Из уравнений движения трехмерной теории получены их представления в виде( √(−)) √(−) (−)(−)(−)(−)1/ g ∂P ( g ϑ PP ) + ∂3 ( ϑ P3 ) + ρ ϑ F = ρ ϑ ∂t2 u,( √(−)) √(−) (−)(−)(−)(−)2 (−)1/ g ∂P ( g ϑ µ P ) + ∂3 ( ϑ µ 3 ) + C⊗( ϑ P) + ρ ϑ m = ϑ J ·∂t2φ ;≃ee−−g P− NP PM + ∂3 P 3 + ρF = ρ∂t2 u,M−−(−)(−)−(−)M−A − NP µMM−(−)2(−)(−)(3.2)−AP− ≡ g P− + x3 aP+ ,+ ϑ ∂3µ + C⊗( ϑ P) + ρ ϑ m =≃e32g P− NP µ M + ∂3µ 3 + C⊗P + ρm = J ·∂t2φ ;≃MeeAP− NP PM + ϑ ∂3 P 3 + ρ ϑ F = ρ ϑ ∂t2 u,P−(3.1)MM(−)ϑ J ·∂t2φ ,eM−−−IMM(3.3)a + ≡ (g+I − 1)g P− − g P+ .PMДля уравнения притока тепла имеем представление−−−g P− NP q M − ∂3 q 3 + ρq − TM2d 2µ) + W ∗ = ρcp ∂t T.(a ⊗P + d ⊗µdt e e e e(3.4)В (3.1) – (3.4) имеем следующие обозначения: P ̸= PT — тензор напряжений, µ ̸= µ T — тензор моментных напряжений,ePp̃ =e rp̃ · P, µ p̃ = rp̃ · µ ,ee∅}, eC — дискриминантный тензор, q — вектор внешнегоe∼ ∈ {−,потока≃−−тепла, q p = q · r p , q — массовый приток тепла, T — температура, a, de e18— тензоры теплового расширения, W ∗ — функция рассеивания, ρ — плот2ность среды, cp — теплоемкость при постоянном давлении, ⊗ — внутреннее2-произведение [47, 50, 59, 79, 84].Приведем и уравнения движения в перемещениях и вращениях− −−−−−[ M]M3 P33 2M N g P− g QNN+Mg(N∇+∇N)+M∇3 · u+P QP 33 P−−M NMfff−(− −[ −LM)]PMN P+2α Cg − NP φ− − ∇3 φ − r− + C g − NP φ − r− −M3(MLN 3M−−)−b rM g P− NP + r 3 ∇3 ϑ + ρF = ρM∂ 2u,∂t2(3.5)−−− −−−][ M33 2M3 P(N∇+∇N)+L∇3 · φ +NN+LgL N g P− g QP 33 PP Q−−MM Neee− −−(])[ −LM∂ 2φφ + ρm = J · 2 ,+2α Cg P− NP u− − ∇3 u − r− + C M N g P− NP u − r− − 4αφ3N 3MLMMe ∂t− −− −−где введены следующие обозначения: b = αt (3λ + 2µ), C M N = C M N 3 ,()1M = (λ + µ − α) CII + CIII + (µ + α)CI ,eeef 2()1L = (γ + δ − β) CII + CIII + (δ + β)CI ,eeee 2−−2−−Mmn = M ⊗rm rn ,ff−−2 − −mnL = L ⊗rm rn .eeЗдесь λ, µ, α, γ, δ и β — материальные константы упругого изотропного микрополярного материала.3.2 Представления законов Гука и теплопроводности Фурье при НПОТТ.В линейной микрополярной теории упругости закон Гука при неизотермических процессах в силу обобщенного принципа Дюгамеля–Неймана [87, 88, 90,91] можно представить в виде22κ − aϑ),P = C ⊗(γγ − aϑ) + A ⊗(κee e ee e e22κ − dϑ),µ = B ⊗(γγ − aϑ) + D ⊗(κe e ee e e e(3.6)φ — тензор деформаций вмикрополярной теории [87], κ = ∇φφгде γ = ∇u−C·φ≃ee— тензор кручения-изгиба, C, A, D, B — материальные тензоры четвертогоe e e eранга, ϑ — перепад температуры.Учитывая выражение для γ , (3.6), а также представление градиента (2.25),Λ · ∇T (ΛΛ — тензор теплопроиз (3.6) и теплопроводности Фурье q = −Λeводности) получены искомые представления закона eГука (ОС физического содержания) и закона теплопроводности Фурье (ОС теплового содержания) [43, 50, 81, 83]−−−−2−−2M· P3·M· P3·φ − bϑ,·g − NP φ + A·∂3φ − C ⊗C·φ·g − NP u + C·∂3 u + AP=C≃≃≃≃MMe ≃ee−−M· P3·M· P3·φ − β ϑ,·g − NP φ + D·∂3φ − B ⊗C·φ·g − NP u + B·∂3 u + Dµ =B≃≃≃≃MMe ≃ee−−−−2 −2 −2 −2 −m·m·m·m·mmmm= B ⊗r E,= D ⊗r E, B= A ⊗r E, D= C ⊗r E, AC≃eee ≃e 2 e ≃ 2 ee2e2≃b = C ⊗a + A ⊗d, β = D ⊗d + B ⊗a;e e −e e e e− e e e e−−ΛM g P− NP T − Λ 3 ∂3 T, Λ m =ΛΛ ·rm .q = −ΛMe19(3.7)На основании представления компонент переноса (1.17) ЕТВР заключаем,что уравнения движения (3.2), уравнение притока тепла (3.4) и ОС физического и теплового содержаний (3.7) содержат бесконечное множество слагаемых и ими пользоваться на практике не целесообразно.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее