Автореферат (786090), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Перебирая всеppqзначения, получим все соотношения. Эти соглашения применяются и в дальнейшем.81rk̃ = C k̃p̃q̃ rp̃ × rq̃ ,2∼∈ {−, ∅, +},)(где C k̃p̃q̃ = rk̃ × rp̃ · rq̃ ,(1.7)∈ {−, ∅, +} — контравариантные компоненты∼(∗)(∗)дискриминантных тензоров в точках M ∈ S, ∗ ∈ {−, ∅, +}, соответственно.Введены в рассмотрение следующие матрицы:gp̆q̃ = rp̆ · rq̃ ,gp̆q̃ = rp̆ · rq̃ ,g p̆q̃ = rp̆ · rq̃ , gq̃p̆ = rp̆ · rq̃ ,∈ {−, ∅, +}.`, ∼(1.8)Тогда нетрудно доказать, что между базисными векторами и матрицами(1.8) имеются сохраняющие силу при жонглировании индексами связи:∗rp̆ = gp̆q̃ rq̃ = gp̆q̃ rq̃ ,gp̃q̆ = gp̃n g q̆∗ ,`, ∼n∈ {−, ∅, +}.(1.9)На основании (1.6) из (1.8) получимgpq̆ = rp · rq̆ = (1 − x3 )g−p q̆ + x3 g+p q̆ ,gpqgpq̆ = rp · rq̆ = (1 − x3 )g−q̆ + x3 g+q̆ ,p()pn̆3 2333 2= rp · rq = gpn̆ gq = (1 − x ) g−p −q + x (1 − x ) g−p +q + g+p −q + (x ) g+p +q ,−mg+p +q = g+p m− g+ ,q`Выражения для√g=√( )g det gpq̃ ,∈ {−, +}.√g = (r1 × r2 ) · r3 имеет вид(∼)(∼)(1.10)ϑ≡√(( ) 1(∼)g g −1 = det gpq̃ = det gPQ̃ = ϵIJ ϵKL gIK̃ gJL̃ ,2∼∈ {−, +}, (1.11)где ϵIJ , ϵKL — символы Леви-Чивиты, а√√((∼)g = r1̃ × r2̃ ) · r3̃ ,∼∈ {−, +},√ g = g(−)x3 =0√,(+)g =√ gx3 =1.Нетрудно заметить, что имеет место более общие соотношения, чем (1.11)√√()g det g ,`)(∼()( )= det gp̃q̆ =√1(∼)(`)L̆g=ϑ ≡ det gg g −1 = ϵIJ ϵKL gIK̆˜ g ˜,JP̃P̃2√`)(∼(∼(≈)`)(∼)(`)−1ϑ ≡g g = ϑ −1 , ϑ = 1, `, ∼ ∈ {−, ∅, +}.(∼)(`)Q̆Q̆(1.12)Учитывая (1.12), из второго соотношения (1.11) получим√(=)(∓)( −)(−)g g −1 = (1 − x3 )2 ϑ + x3 (1 − x3 )tr g+I + (x3 )2 ϑ ,J(+)√++)(+)(±)((+)3 233I3 2−1ϑ = g g = (1 − x ) ϑ + x (1 − x )tr g− + (x ) ϑ .(−)ϑ =J9(1.13)Нетрудно доказать, что для rk̆ (1.7) и матриц (1.8) имеем выражения∼1 (`)r = ϑ −1 ϵkpq ϵlmn gp̆m̃ gq̆ñ rl̃ ,2k̆g l̃ k̆ = rk̆ · rl̃ =Из (1.14) при`∼g k̆l̃1 (`)= r · rl̃ = ϑ −1 ϵkpq ϵlmn gp̆m̃ gq̆ñ ,2k̆(∼`)1 −1 kpqϑ ϵ ϵsmn gp̆m̃ gq̆ñ g s̃l̃ ,2∈ {−, +},∼`(1.14)∈ {−, ∅, +}.= ∅ получаем1 (∼)1 (∼)g k = ϑ −1 ϵkpq ϵlmn gpm̃ gqñ , g kl̃ = ϑ −1 ϵkpq ϵsmn gpm̃ gqñ g s̃l̃ ,l̃22∼∈ {−, +}.(1.15)Представление ЕТВР имеет видn̆ m̃E = gm̃r rn̆ ,e∼, `∈ {−, ∅, +},(1.16)сохраняющий силу при жонглировании2 немыми индексами.
Из (1.16) видно,что матрицы (1.8) (см. также (1.14), (1.15)) являются компонентами ЕТВР.Введены следующие определения:Определение 1.1. Рассмотренная выше параметризация, характеризующаяся заданием радиус-вектора произвольной точки в виде (1.1), называетсяновой параметризацией области тонкого тела (НПОТТ) трехмерного евклидова пространства R3 .
При этом она называется регулярной, если внутренняя(−)(+)S и внешняя S поверхности — регулярные поверхности.Определение 1.2. Компоненты gp̃q̆ , ∼, ` ∈ {−, ∅, +}, ∼ ̸= ` и получаемые изних жонглированием индексами их образы, называются компонентами переноса ЕТВР при НПОТТ.Определение 1.3. Компоненты gp̃q̃ , gp̃q̃ , gp̃q̃ ∼ = − (∼ = +), и компонентыпереноса gp̃q̆ , gp̃q̆ , ∼ = +, ` = − (∼ = −, ` = +), называются основными компонентами ЕТВР при НПОТТ, если в качестве основной базовой применяетсявнутренняя (внешняя) базовая поверхность.Компоненты переноса и компоненты ЕТВР, зависящие от поперечной координаты x3 , представлены в виде рядов относительно этой координаты:∞∑g P− =M−k=0(k)−g P 3 = −g +3g P− g Q− =M N−(−A P+ (x3 )k , g 3− = −g +3M∞∑−−−(s)−−−−(s)MN−)(PNN−MNs∑r=0−−(s)−−A(s−r)M (r)N−)N−MMM−MM−−(s)M−−MM(1.17)−QPPPPP+ A+, A + = g− , A + = g− − g+ ,P−−M(s + 1)AP+ g M Q (x3 )s+2 ,P Q s=0−−(s + 1)g QM AP+ (x3 )s ,s=0∞− − ∑3 3MB + + (x3 )s , B P+Q+ =(s)∞∑(s + 1)AP+ g M Q (x3 )s+1 , g 33 = g 3 3 +g + g +Q s=0−−∞∑PQs=0−AP+ (x3 )s+1 , g P Q =P s=0 (s)MMAP+ = g P− − g +(2)M∞∑((0)−−N1N1g N− − g + , .
. . , (n)A P+ = g P− −g P+)((1)−)N1N2N2−1gN− −g +M−)NN. . . g − n−1−g + n−1 .(−MMФундаментальная теорема для области тонкого тела при ее НПОТТ формулируется в виде.2Под жонглированием немыми индексами понимается то, что, если один из индексов опускается, тосоответствующий ему индекс поднимается, и наоборот.10Теорема 1.1. Наличие единичного тензора второго ранга, представленногов виде (1.16), необходимо и достаточно для существования, и притом единственной, с точностью до движения в R3 некоторой регулярной областитонкого тела при ее новой параметризации. При этом число независимыхосновных компонент ЕТВР зависит от типа семейства параметризации.2 Во второй главе «Рекуррентные соотношения для полиномовЛежандра и Чебышева. Моменты тензорных полей и дифференциальных операторов относительно этих систем полиномов» выписаныосновные рекуррентные формулы для полиномов Лежандра и Чебышева первого и второго родов, с помощью которых в свою очередь получены несколькодополнительных соотношений, играющих важную роль при построении различных вариантов теорий тонких тел, как при классической, так и при новой(неклассической) параметризации областей этих тел.
Определены моментытензорных полей, их компонент и некоторых дифференциальных операторов от них в криволинейных координатах. В частности, определены моменты скалярных и тензорных функций, а также их производных и повторныхпроизводных. Кроме того, получены представления и найдены моменты относительно полиномов Чебышева лапласиана, градиента, ротора, повторногоградиента, дивергенции, повторной дивергенции тензора второго ранга, градиента дивергенции. Выведены выражения для моментов k-го порядка произведения двух функций на произвольную степень поперечной координаты.2.1 Основные рекуррентные соотношения для смещенных полиномов Чебышева первого и второго родов. Полиномы Чебышева первого и второго родов на сегменте [-1,1] обозначаются через Tn (x) = cos(n arccos x) и Un (x) =′1/(n+1)Tn+1(x), а смещенные полиномы Чебышева первого и второго родовна [0,1] – через Tn∗ (t) = Tn (2t − 1) и Un (t)∗ = Un (2t − 1) соответственно, где−1 ≤ x ≤ 1, x = 2t − 1, 0 ≤ t ≤ 1, n ∈ N0 , N0 — множество неотрицательныхцелых чисел.
Основные рекуррентные формулы для смещенных полиномовЧебышева первого и второго родов на [0, 1] имеют вид∗∗4tTn∗ (t) = Tn−1(t) + 2Tn∗ (t) + Tn+1(t), n ≥ 1,nn′′∗4tT ∗ n (t) =(t) + 2T ∗ n (t) +Tn−1T ∗ (t),n−1n + 1 n+1n∗(t) +T ∗ ′n (t) = 4nTn−1T ∗ ′ (t), n > 2;n − 2 n−2∗∗(t), n ≥ 1,(t) + 2Un∗ (t) + Un+14tUn∗ (x) = Un−1′′n > 1,(2.1)′∗(t) + Un∗ (t), n ≥ 1,2tUn∗ (x) = 2nUn∗ (t) + Un−1′∗′∗(t) + Un−2(t), n ≥ 2.Un∗ (x) = 4nUn−1Ниже с целью сокращения письма дополнительные рекуррентные соотношения выпишем только для смещенных полиномов Чебышева второго рода.2.2 Дополнительные рекуррентные соотношения для смещенных полиномов Чебышева второго рода. Эти соотношения легко получаются из соот11ветствующих основных рекуррентных соотношений (2.1). Некоторые из нихимеют вид [43, 50]22s ts Uk∗ (t) =2s∑p∗C2sUk−s+p(t),p=0m ∑2s∑∗(t)Un∗ (t) =22s ts Umk − s ≥ 0,k ∈ N0 ,q∗(t),C2sUn−m−s+2p+q(2.2)n − m − s ≥ 0,(2.3)p=0 q=0′Un∗ (t) = 4[(n−1)/2]∑k=0′′Un∗ (t)=24∗(n − 2k)Un−(2k+1)(t) = 4[(n−2)/2]∑k=0= 22[(n−2)/2]∑[(n−1)/2]∑∗(2k + 1 + a) U2k+a(t),n ≥ 1,(2.4)k=0∗(k + 1)(n − k)[n − (2k + 1)]Un−(2k+2)(t) =(2.5)[] ∗(t),(2k + 2 − a) (n + 1)2 − (2k + 2 − a)2 U2k+1−an ≥ 2,k=0(n−s−2)/22s∑ ∑′22s ts Un∗ (t) = 4+4[(n − 2k) −′′22s ts Un∗ (t) = 24+24u∑q−2 ∗C2sUu−q (t) +2s∑]p∗C2sUp−u(t) ,p=un − s = 2l,l ≥ 0, n ≥ 1, s ≥ 0,(n−s−2)/22s∑ ∑(2.6)p∗(k + 1)(n − k)[n − (2k + 1)]C2sUp−r(t)+p=0k=0[(n−2)/2]∑p∗C2sUp−1(t)+q=2k=(n−s+2)/2u = 2k + 1 + s − n,2s∑p=1p=0k=0[(n−1)/2]∑p∗(n − 2k)C2sUp−u(t) + 4sr2s[ ∑]∑q−2 ∗p∗C2sUr−q (t) +C2sUp−r(k + 1)(n − k)[n − (2k + 1)] −(t)q=2k=(n−s)/2r = 2k + 2 + s − n,(2.7)p=rn ≥ 2, n − s = 2l, l ≥ 0, s ≥ 0,[]nЗдесь a = n − 1 − 2 (n − 1)/2 , [x] — целая часть числа x, а Cm— биномиальные коэффициенты.
Следует заметить, что все соотношения (2.2) – (2.7),справедливые, за исключением (2.3), и для системы ортонормированных полиномов Чебышева второго рода {Û ∗k }∞k=0 , можно доказать методом математической индукции. Для системы ортонормированных полиномов (2.3) имеетвид∗22s ts Ûm(t)Ûn∗ (t) = Û0∗m ∑2s∑q∗C2sÛn−m−s+2p+q(t),n − m − s ≥ 0.(2.8)p=0 q=0Приведем еще соотношения, которые применяются при представлении вмоментах уравнений и ОС для неоднородного относительно x3 материала.Они имеют вид [43, 50]∞ ∑2s k−s+q(k) []∑∑ q (n+p)(n+k−s−p+q)C2s fM 22s (x3 )s f g = Û0∗g, k − s ≥ 0, s ≥ 0,n=0 q=0 p=0∞ 2(k+1)[]∑∑ q−1∑ q (n+p)(n−p−1+q)C2k+2 fg , k ≥ 0,M 22(k+1) (x3 )k+1 f g = Û0∗(k)n=0 q=1 p=0[]M 22(k+s) (x3 )k+s f g =)∞( ∑s s−q(n+p)∑∑ q−2 (n+p)(n+s−p−q) 2(k+s)∑ q−s∑ q(n−s−p+q)= Û0∗−C2(k+s) fg +C2(k+s) fg, s ≥ 2, k ≥ 0,(k)n=0(p)M′ (f g) =q=2 p=0∞∑k∑q=s p=0((n+q)f′ (n+k−q)g(n+k−q)+f(n+q)g′)=∞ ∑k ((n) (n+k−2q)(n+k−2q)∑(n) )f′ g + f g′ .n=0 q=0n=0 q=012(2.9)Здесь f (x′ , x3 ), g(x′ , x3 ) ∈ Cm (V ∪ ∂V ), m ≥ 1.2.3 Моменты тензорного поля относительно смещенных полиномов Чебышева второго рода.
Рассматривается некоторое тензорное поле F(x1 , x2 , x3 ),которое зависит от координат x1 , x2 , x3 области тела при ее новой параметризации [1, 18]. С целью сокращения письма часто вместо F(x1 , x2 , x3 ) будемписать F(x′ , x3 ), где x′ = (x1 , x2 ), а x3 ∈ [0, 1]. Кроме того, будем полагать,что рассматриваемые тензорные поля в достаточной степени гладки.
Например, F(x′ , x3 ) ∈ Cm (V ∪ ∂V ), m ≥ 1, где V – область, занимаемая тонкимтелом, а ∂V – ее граница. Тогда тензорное поле F(x′ , x3 ) относительно коор(−)динаты x3 ∈ [0, 1] для каждой фиксированной точки x′ ∈ S можно разлагатьв ряд [92] по системе смещенных ортонормированных полиномов Чебышевавторого рода {Ûk∗ (x3 )}∞k=0F(x′ , x3 ) =∞ (k)∑F (x′ )Ûk∗ (x3 ),(−)x′ ∈ S ,x3 ∈ [0, 1],(2.10)k=0(k)где F(x′ ) называется коэффициентом с номером k при разложении F(x′ , x3 )в ряд по системе полиномов {Ûk∗ (x3 )}∞k=0 .Введено определение момента k-го порядка произвольного поля F(x′ , x3 )относительно системы смещенных ортонормированных полиномов Чебышевавторого рода (аналогично определяется момент k-го порядка любой величиныотносительно произвольной системы полиномов).Определение 2.1.
Моментом k-го порядка какого-нибудь тензорного поляF(x′ , x3 ) относительно полиномов {Ûk∗ (x3 )}∞k=0 , обозначаемым через MÛk∗ (F),называется интегралMÛ ∗ (F) =k∫1F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,k ∈ N0 .(2.11)0√Здесь h (x ) = 2 x3 (1 − x3 ) — весовая функция для системы полиномов{Û ∗k }∞k=0 .В дальнейшем, если специально не будет оговорено, речь пойдет в основном о моментах относительно системы смещенных ортонормированных полиномов Чебышева второго рода. Поэтому с целью сокращения письма вместо∗3(k)MÛ ∗ (F), будем пользоваться обозначением M(F) (конечно, следовало обознаk(k)чение M∗ (F)).Нетрудно доказать, что имеют место предложения.Утверждение 2.1. (Свойство обобщенной линейности) Для любых тензорных полей F(x′ , x3 ) и G(x′ , x3 ) и любых функций α(x′ ) и β(x′ ) справедливосоотношение(k)(k)(k)M[α(x′ )F + β(x′ )G] = α(x′ )M(F) + β(x′ )M(G).13(2.12)(k)Следствие 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
