Автореферат (786090), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Выявлены случаи, длякоторых легко обратить оператор напряжения и моментного напряжения;— из расщепленных уравнений классической и микрополярной теорий упругости получены соответствующие расщепленные уравнения квазистатическойзадачи теорий призматических тел постоянной толщины в перемещениях вклассическом случае и в перемещениях и вращениях в микрополярном случае. Из последних систем уравнений в свою очередь выведены уравненияв моментах неизвестных векторов-функций относительно любых систем ортогональных полиномов.
Получены системы уравнений различных приближений (с нулевого по восьмого порядка) в моментах относительно системполиномов Лежандра и Чебышева второго рода. При этом эти уравнения выведены как без учета граничных условий на лицевых поверхностях, так и сучетом этих условий.
Начиная с первого приближения, системы уравненийраспадаются на две системы. Одна из них — система относительно моментов четных порядков неизвестной векторной функции, а другая относительно моментов нечетных порядков той же функций. На основании найденногообратного оператора к оператору любой из этих систем для каждого момента4неизвестной векторной функции получается уравнение эллиптического типавысокого порядка (порядок системы зависит от порядка приближения), характеристические корни которого легко находятся.
Поэтому, используя методИ.Н.Векуа для решения таких уравнений, можно получить их аналитическоерешение;— получены расщепленные уравнения в моментах векторов перемещений ивращений относительно произвольной системы полиномов для микрополярной теории призматических тонких тел с двумя малыми размерами, имеющих поперечное сечение в виде прямоугольника, а также для редуцированнойсреды, содержащие уравнение классической теории;— выведены расщепленные системы уравнений квазистатической задачимикрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщины в перемещениях и вращениях и в моментах векторов перемещений ивращений, из которых, как частный случай, получаются аналогичные системы уравнений классической теории в перемещениях.
Получены расщепленные системы уравнений восьмого приближения микрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщины в моментах векторовперемещений и вращений. Используя метод Векуа, для этих систем, а такжедля уравнений редуцированной среды можно выписать аналитические решения;— приведены численные решения задач различных приближений о тонкомтеле с двумя малыми размерами и прямоугольной тонкой плоской областис защемленными краями при различных нагрузках, а также о двухслойнойдвумерной области с защемленными краями.Обоснованность и достоверность теоретических положений и выводовдиссертации подтверждена строгими математическими выводами, основанными на положениях механики, линейной алгебры, функционального анализа, теории матриц, дифференциальной геометрии и тензорного исчисления икоторые согласуются с имеющимися экспериментальными данными.Теоретическая и практическая значимость работы.
Результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение и могут быть использованыдля решения многих важных практических задач в тех областях техники,в которых применяются тонкие тела. В частности, могут быть использованы в ЦАГИ, ЦИАМ, МГУ, ИТПМ СО РАН, ИПМ РАН, ЦНИИМаш, МАИи в других организациях, занимающихся разработкой и совершенствованиемобразцов автомобильной, ракетной и авиационной техники.На защиту выносится развитие метода ортогональных полиномов в механике тонких микрополярных и классических упругих тел и его применениепри построении различных вариантов теорий однослойных и многослойныхупругих тонких тел, а также аналитические и численые решения некоторыхзадач.5Апробация работы.
Основные результаты, полученные в диссертации,докладывались и обсуждались на международной конференции, посвященной памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В. Саченкова (Казань. 1998 г.), на 16-ой межреспуб. конф. по численным методам решениязадач теории упругости и пластичности (Новосибирск. 1999 г.), на междунар. конф. «Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation» (Киев. 1999 г.), на научно-исследовательских семинарах кафедры механики композитов мех.-мат. факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководствомпроф.
Б.Е. Победри (1998-2013 г.г.), на научно-исследовательском семинарекафедры теории упругости мех.-мат. факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. И.А. Кийко (2009-2013 г.г.), на научноисследовательском семинаре кафедры газовой и волновой динамики мех.-мат.факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., акад. РАНР.И. Нигматулина, на научно-исследовательском семинаре кафедры теориипластичности мех.-мат.
факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН Е.В. Ломакина, акад. РАН И.Г. Горячевой и д.ф.-м.н.,проф. В.М. Александрова, на научно-исследовательском семинаре «Актуальные проблемы геометрии и механики» мех.-мат. факультета МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством д.ф.-м.н. проф. Д.В. Георгиевского, д.ф.-м.н.,М.В. Шамолина, д.ф.-м.н., проф., С.А.
Агафонова (2007–2013 г.г.), на научноисследовательском семинаре «Проблемы механики сплошной среды» в ИПМех им. А.Ю. Ишлинского РАН под руководством д.ф.-м.н. проф. С.В. Нестерова и д.ф.-м.н. проф. Д.В. Георгиевского, на научно-исследовательском семинаре МГТУ им. Н.Э.Баумана под руководством проф. В.С. Зарубина (2010г.), на «Семинаре по МСС им. Л.А.Галина ИПМех РАН» под руководствомпроф.
В.М.Александрова, проф. В.Н.Кукуджанова и проф. А.В. Манжирова (2010 г.), на конференциях «Ломоносовские чтения» , секция механики,МГУ им. М.В. Ломоносова (2003–2014 г.г.), на междисциплинарном семинаре с международным участием «Методы многомастабного моделирования иих приложения» ВЦ РАН под руководством академика РАН Е.И.Моисеева,проф. С.А.Лурье, проф. С.Я.Степанова (2014 г.), на научно-исследовательскийсеминар кафедры № 902 МАИ «Сопротивление материалов.
Динамика и прочность машин» по механике под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В.Тарлаковского, (2014 г.), на «Семинаре по механике прочности и разрушения ИПМехРАН» под руководством член-корр. РАН Р.В. Гольдштейна (2014 г.).Публикация результатов. Результаты диссертации достаточно полноопубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.Структура и объем работы. Диссертация состоит из 6 глав, заключения и списка литературы, включающего 530 наименований. Она изложена на384 страницах. В ней для формул применяются тройная нумерация. Перваяцифра означает номер главы, а вторая и третья – номер раздела и соотноше6ния соответственно.Личный вклад автора. Представленные в работе научные результатыполучены лично автором. Во всех случаях использования результатов другихисследований в работе приведены ссылки на источники информации.Автор выражает искреннюю благодарность за постоянное внимание к работе и ценные советы научному консультанту, профессору Ю.И.Димитриенко,а также профессорам: Б.Е.Победре, В.И.Горбачеву, С.В.Шешенину,Д.В.Георгиевскому и сотрудникам кафедр «Механика композитов» Механикоматематического факультета МГУ им.
М.В.Ломоносова и «Вычислительнаяматематика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э.Баумана за сотрудничество и взаимопонимание.ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИВо введении дан краткий обзор литературы (обзор, включающий 976 наименований, приведен в [50]), обоснована актуальность научных теоретических исследований. Сформулированы: цель работы, ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость.1 В первой главе «О параметризации области тонкого тела трехмерного евклидова пространства» рассмотрена эффективная параметризация области тонкого тела трехмерного евклидова пространства R3 , заключающаяся в использовании, в отличие от классических подходов, двухбазовых поверхностей, называемых условно внутренней и внешней базовымиповерхностями.
Дано векторное параметрическое уравнение области тонкоготела. Разработан новый тензорный аппарат для описания введенных параметризаций. Сформулирована фундаментальная теорема для области тонкого тела при ее новой параметризации [50, 53, 79, 81, 83].1.1 Векторное параметрическое уравнение области тонкого тела. Компоненты переноса и представление единичного тензора второго ранга (ЕТВР).Фундаментальная теорема. Рассматривается область трехмерного евклидо(−)(+)ва пространства, ограниченную двумя лицевыми поверхностями S и S и бо(−)∑ковой поверхностью . В дальнейшем условно лицевую поверхность S будем(+)называть внутренней базовой поверхностью, а S – внешней базовой поверх(−)ностью. Кроме того, поверхность S часто будем называть основной базовойповерхностью.Радиус-вектор произвольной точки области тонкого тела представляетсяв виде(−)(−)(+)r(x′ , x3 ) = r (x′ ) + x3 h(x′ ) = (1 − x3 ) r (x′ ) + x3 r (x′ ),x′ = (x1 , x2 ), ∀x3 ∈ [0, 1], (1.1)где векторные соотношения(−)(−)r = r (x′ ),(+)(+)r = r (x′ ),x′ = (x1 , x2 )7(1.2)являются векторными параметрическими уравнениями базовых поверхно(−)(+)(−)стей S и S соответственно, x′ = (x1 , x2 ) — произвольная точка на S .
Вектор(+)(−)h(x′ ) = r (x′ ) − r (x′ ),x′ = (x1 , x2 ),(1.3)(−)топологически отображающий внутреннюю базовую поверхность S на внеш(+)нюю S , вообще говоря, не является перпендикулярным к базовым поверхностям.(∗)(∗)PДля производных по x от соотношений (1.1) и (1.2) в точках M ∈ S, ∗∈(∗){−, ∅, +} введены соответственно1 обозначения rP ≡ ∂P r = ∂r/(∂xP ), r ∗ = ∂P r ,P(−)∗ ∈ {−, +}. Здесь M — некоторая точка на внутренней базовой поверхно(−)(+)(+)сти S , M — ее образ на внешней базовой поверхности S при отображении(−)(+)h : S → S , а M — точка на эквидистантой поверхности S, определяемой (1.1)при x3 = const.
Следовательно, пары векторов r ∗ , r ∗ , ∗ ∈ {−, ∅, +}, опреде1(∗)2(∗)ленные в точках M ∈ S, ∗ ∈ {−, ∅, +}, образуют двумерные ковариантныеповерхностные базисы, с помощью которых обычным образом определяются∗∗соответствующие контравариантные базисы r , r , ∗ ∈ {−, ∅, +} [84, 89].Дифференцируя (1.1) сперва по xP , а потом по x3 , получим12rP = r − + x3 hP = (1 − x3 )r − + x3 r + , hP ≡ ∂P h; r3 ≡ ∂3 r ≡PPP∂r= h(x′ ), ∀x3 ∈ [0, 1]. (1.4)∂x3На основании третьего соотношения (1.4) можно принять, чтоr− = r3 = r+ ≡ ∂3 r = h(x′ ),33∀x3 ∈ [0, 1].(1.5)В силу (1.5) соотношения (1.4) можно объединить и представить в видеrp (x′ , x3 ) = r−p (x′ ) + x3 hp (x′ ) = (1 − x3 )r−p (x′ ) + x3 r+p (x′ ).(1.6)(∗)(∗)Тройки векторов r ⋆ , r ⋆ , r ⋆ , ∗ ∈ {−, ∅, +}, определенные в точках M ∈ S,1 2 3∗ ∈ {−, ∅, +} образуют трехмерные (пространственные) ковариантные базисы. По этим базисам, можно построить соответствующие им контравариант⋆⋆⋆ные базисы r1 , r2 , r3 , ∗ ∈ {−, ∅, +}.
В самом деле, на основании их определения имеем [84, 89]Зависимость величин от x′ означает их зависимость от x1 и x2 . Применяются обычные правилатензорного исчисления [84, 86, 89]. Прописные и строчные латинские индексы пробегают значения 1,2 и1(∗)(∗)1,2,3 соответственно. ∅ — символ пустого множества. Запись M ∈ S , ∗ ∈ {−, ∅, +} означает, что если ∗ = −,(−)(−)(+)(+)то M ∈ S ; если, ∗ = ∅, то M ∈ S; если ∗ = +, то M ∈ S . Запись rp̃ = gp̃q̆ rq̆ , ∼, ` ∈ {−, ∅, +}, означает,что если, например,∼= ∅,`−= −, то rp = gpq r− , еслиq−∼= +,`= −, то r+ = g+q r− и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
