Автореферат (786090), страница 8
Текст из файла (страница 8)
При этом каждый закон содержит бесконечное число слагаемых. Поэтому аналогично системам уравнений движенияи притока тепла в моментах следует их редуцировать к конечным системамзаконов в моментах, каждый закон которых будет содержать конечное числослагаемых. Редукция производится следующим образом: фиксируем некоторые (в частности, те же самые числа, что при редукции систем уравнений)неотрицательные целые числа r и N , а затем из бесконечной системы законов в моментах приближения r выбираем совокупность первых N +1 законови получаем систему ОС в нормированных моментах тензоров напряжений имоментных напряжений приближения порядка r. При упрощенной схеме редукции из бесконечной системы законов в моментах приближения порядкаr выбираем совокупность первых N + 1 законов, в каждом законе которойпренебрегаем моментами искомых величин, порядок которых больше N .
Вэтой связи целесообразно вводить определения.Определение 3.2. Совокупность законов Гука (теплопроводности Фурье) вмоментах, которая состоит из первых N + 1 законов соответствующей бесконечной системы законов Гука (теплопроводности Фурье) в нормированныхмоментах тензоров напряжений и моментных напряжений порядка r, назовемсистемой законов Гука (теплопроводности Фурье) в нормированных моментах тензоров напряжений и моментных напряжений (вектора потока тепла)приближения (r,N).Определение 3.3.
Совокупность законов Гука (теплопроводности Фурье) вмоментах, которая состоит из первых N + 1 законов соответствующей бесконечной системы законов Гука (теплопроводности Фурье) в моментах порядкаr и каждый закон которой не содержит моментов искомых величин, порядоккоторых больше N , назовем системой законов Гука (теплопроводности Фурье) в моментах приближения (r,N).3.9 Классификация и постановка задач в теории тонких тел. Классификация и постановка задач как в микрополярной, так и в классическойтеории тонких тел осуществляются так же, как в МДТТ [90].В отличие от МДТТ в рассматриваемом случае как для однородного, так идля неоднородного тела рассматриваются приближенные ОС, системы уравнений движения и уравнений теплопроводности в моментах.
При этом и гра34ничные условия ставятся на части граничного контура базовой поверхностив моментах.Для граничных условий и соответствующих краевых задач в микрополярной теории принимается такая классификация.(−)Определение 3.4. Если на граничном контуре ∂ S заданы только моменты векторов перемещения и вращения (кинематические граничные условия)(3.22), то такие условия называются граничными условиями первого рода, азадача МДТТТ, использующая эти условия — первой краевой задачей.(−)Определение 3.5.
Если на граничном контуре ∂ S заданы только граничные условия физического содержания в моментах (3.33), то такие граничныеусловия называются граничными условиями второго рода, а соответствующая задача МДТТТ — второй краевой задачей.(−)Определение 3.6. Если на одной части граничного контура ∂ S 1 заданы(−)кинематические граничные условия (3.22), а на остальной его части ∂ S 2(−)(−)(−)— граничные условия физического содержания (3.33), ∂ S 1 ∪ ∂ S 2 = ∂ S ,(−)(−)∂ S 1 ∩∂ S 2 = ∅, то такие граничные условия называются смешанными граничными условиями, а задача МДТТТ, использующая их — смешанной краевойзадачей.Следует заметить, что в случае динамических задач в некоторый моментвремени t = t0 должны быть заданы и начальные условия в моментах (3.42).Если тонкое тело не ограничено, то должны быть заданы условия на бесконечности в моментах. Заметим также, что исключая из приведенных вышеопределений характеристики микрополярной теории, получим соответствующие определения для классической МДТТТ.3.9.1 Постановки задач микрополярной теории термо-упругости тонких тел в моментах.
Рассматриваются постановки связанной и несвязанной динамических задач в моментах приближения (r, N ) микрополярной теории термо-упругости тонких тел (ТУТТ), а также нестационарной температурной задачи в моментах приближения (r, N ) и обсуждаются вопросы получения из них некоторых других частных случаев постановок задач.Постановка связанной динамической задачи в моментах приближения (r, N )микрополярной теории ТУТТ включает в себя:1) систему уравнений движения в моментах приближения (r, N ) микрополярной МДТТТ;2) систему уравнений притока тепла в моментах приближения (r,N)микрополярной ТМДТТТ;3) систему ОС в нормированных моментах тензоров напряжений и моментных напряжений приближения (r, N ) микрополярной теории ТУТТ или35систему ОС в моментах приближения (r, N ) микрополярной теории ТУТТпри упрощенной схеме редукции;4) систему законов теплопроводности Фурье в нормированных моментахвектора потока тепла приближения (r, N ) или систему законов теплопроводности Фурье в моментах приближения (r, N ) при упрощенной схеме редукции;5) в зависимости от типа краевых задач одну из следующих систем граничных условий в моментах:5a) систему кинематических граничных условий в моментах приближенияN (3.22) для первой краевой задачи и какую-нибудь систему из трех родовсистем граничных условий теплового содержания в моментах (3.34), (3.36)или (3.39);5b) систему статических граничных условий в моментах приближения (r, N )микрополярной МДТТТ (3.33) для второй краевой задачи и какую-нибудьсистему из трех родов систем граничных условий теплового содержания вмоментах (3.34), (3.36) или (3.39);5c) систему кинематических граничных условий в моментах приближенияN (3.22) на одной части граничного контура и систему статических граничных условий в моментах приближения (r, N ) микрополярной МДТТТ (3.33)на другой (остальной) части граничного контура для смешанной краевой задачи и какую-нибудь систему из трех родов систем граничных условий теплового содержания в моментах (3.34), (3.36) или (3.39);6) системы начальных условий кинематического (3.42) и теплового (3.43)содержаний в моментах приближения N .Если в систему уравнений притока тепла в моментах приближения (r, N )(k)не входят механические характеристики (моменты тензоров напряжений P и(k)eмоментных напряжений µ ), то динамическая задача в моментах приближения (r, N ) микрополярнойeтеории ТУТТ разделяется на две задачи: нестационарную температурную задачу в моментах приближения (r, N ), решением которой определяется температурное поле, в дальнейшем считающееся известным и динамическую задачу в моментах приближения (r, N ) микрополярнойтеории ТУТТ при неизотермических процессах с известным температурнымполем.
Постанивки этих задач приведены в диссертации, а также в [50,81–83]при различных параметризациях для различных тонких тел. Здесь с цельюсокращения письма их не приводим.Задачи при неизотермических процессах, которые разделяются на температурную задачу и задачу ТМДТТ с известным температурным полем,называются несвязанными задачами ТМДТТ [90].Таким образом, даны формулировки постановок связанной и несвязаннойдинамических задач в моментах приближения (r, N ) микрополярной теорииТУТТ, а также нестационарной температурной задачи в моментах приближе36ния (r, N ). Из этих постановок задач нетрудно получить постановки соответствующих статических и квазистатических задач, а также, придавая различные значения r и N , постановки задач в моментах желаемых приближений.Кроме того, можно получить постановки задач при изотермических процессах. Наконец, если во всех приведенных и упомянутых выше постановкахзадач пренебречь моментами моментных напряжений и вектора внутреннеговращения, то получатся соответствующие постановки задач в моментах приближения (r, N ) классических теорий ТУТТ и УТТ.
Постановки задач микрополярной теории для произвольного анизотропного материала при классической параметризации и параметризации посредством произвольной базовой поверхности области тонкого тела с применением полиномов Лежандрарассмотрены также в [34] и [53] соответственно (см. также [81–83]).В четвертой главе «Применение метода ортогональных полиномов втеории многослойных тонких конструкций» рассмотрена эффективная параметризация многослойной трехмерной тонкой области, заключающаяся в использовании в отличие от классических подходов нескольких базовых поверхностей.
Здесь дополнительно введены в рассмотрение компоненты контактаединичного тензора второго ранга. Получены различные варианты системыуравнений движения в моментах относительно систем полиномов Лежандраи Чебышева. Выписаны межслойные условия при различных связях соседних слоев многослойного тела. Даны постановки задач.
Далее аналогичномногослойной трехмерной тонкой области [66] и работе [5, 7] рассматривается параметризация многослойной плоской криволинейной области на основенескольких базовых кривых [51]. Далее получены системы уравнений, ОС,статические граничные условия приближения (0,N) для классического упругого материала, а также кинематические граничные условия и начальныеусловия приближения N . Выписаны межслойные контактные условия.В пятой главе «Вариационные принципы микрополярной теории тонкихтел при применении метода ортогональных полиномов» выведены необходимые интегральные соотношения для формулировок вариационных принципов, приведены вариационные принципы виртуальной работы и дополнительной виртуальной работы как для непрерывных, так и для разрывных полей.
Сформулированы вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно, атакже обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера для трехмерноймикрополярной теории, из которых получены соответствующие вариационные принципы для теории тонких тел, а из последних выведены аналогичныевариационные принципы для теории тонких тел в моментах относительно полиномов Лежандра и Чебышева. Для микрополярной теории многослойныхтонких тел как при полном контакте, так и при наличии зон ослабленной адгезии получены только обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера,так как из них легко выводятся остальные (Лагранжа, Кастильяно).37В шестой главе «Варианты уравнений микрополярных теорий оболочеки пластин, аналитические решения в теориях тонких тел, примеры решениязадач» из трехмерных уравнений микрополярного твердого тела полученыуравнения микрополярных и расширенных микрополярных теорий оболочек,оболочек класса TS и призматических оболочек в контравариантных компонентах тензоров напряжений и моментных напряжений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
