Автореферат (786090), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Выведены граничные условия. Приведены уравнения классической моментной теории оболочек и некоторые уравнения тонких тел. Даны сравнения уравнений различных теорий. Сформулирована гипотеза о жесткости в поперечном направлении тонких тел. Найдены обратные операторы к тензору-оператору уравнений движения теории упругости в перемещениях изотропного однородногоматериала и оператору напряжения, позволяющие расщеплять уравнения играничные условия. Построен обратный оператор к матричному дифференциальному тензору-оператору уравнений движения микрополярной теорииупругости в перемещениях и вращениях как для изотропных однородныхматериалов с центром симметрии, так и для материалов, не обладающихцентром симметрии и получены уравнения по отдельности векторов перемещений и вращений. Например, в случае квазистатики эти уравнения дляматериалов, обладающих центром симметрии, имеют видφ + H∗ = 0; Q∗1 = (b + d)∆,Q∗1 (Q∗2 Q∗4 + 4α2 ∆)u + S∗ = 0, Q∗3 (Q∗2 Q∗4 + 4α2 ∆)φQ∗2 = b∆, Q∗4 = g∆ − l, S∗ = 2αQ∗1 (C·∇)·(ρm) + [EQ∗1 Q∗4 −(dQ∗4 −4α2 )∇∇]·(ρF),≃e(3.47)∗ ∗∗2Q∗3 = (g + m)∆ − l, H∗ = 2αQ∗3 (C·∇)·(ρF)+[EQQ−(mQ−4α)∇∇]·(ρm),2 32≃e∆ = ∇·∇, d = λ + µ − α, l = 4α, b = µ + α, m = γ + δ − β, g = δ + β.Расщепленные уравнения, содержащие уравнения классической теории,получены и для редуцированной среды (при отсутствии объемных нагрузок уравнения редуцированной среды не зависят от свойств материала, чтонаводит на мысль, что эти уравнения могут быть использованы для идентификации материальных констант этой среды).

Построен также обратныйоператор к матричному дифференциальному тензору-оператору напряженияи моментного напряжения в случае редуцированной среды. Выявлены случаи, при которых можно легко обратить оператор напряжения и моментногонапряжения.Из расщепленных уравнений классической и микрополярной теорий упругости получены соответствующие расщепленные уравнения квазистатическойзадачи теории призматических тел постоянной толщины в перемещениях вклассическом случае, а в перемещениях и вращениях в микрополярном. Например, уравнения квазистатической задач микрополярной теории призматических тел постоянной толщины 2h в перемещениях и вращениях при классической параметризации в силу (3.47) представлены в виде38¯ 3 + A∆¯ 2 + h−2 (3∆¯ + 2A)∆∂¯ 2 + h−4 (3∆¯ + A)∂ 4 + h−6 ∂ 6 ]u + S∗∗ = 0,[∆333−22−44−6 6¯ 3 +(B ∆+A)¯¯¯¯¯φ + H∗∗ = 0,[∆∆+h[(3∆+2B)∆+C]∂3 + h (3∆+B)∂3 + h ∂3 ]φ(3.48)H∗4αµS∗∗∗, H =, A=−,S =(λ + 2µ)(µ + α)(δ + β)(γ + 2δ)(µ + α)(δ + β)(µ + α)(δ + β)4α[µ(γ + 2δ) + (µ + α)(δ + β)]16α2 µ¯ = g P Q ∇P ∇Q .B=−, C=, ∆(γ + 2δ)(µ + α)(δ + β)(γ + 2δ)(µ + α)(δ + β)∗∗Применяя к уравнениям (3.48) оператор моментов k-го порядка какойнибудь системы ортогональных полиномов (Лежандра, Чебышева), получимдля микрополярной теории призматических тел постоянной толщины следуюшие уравнения в моментах векторов перемещений и вращений:(k)(k)(k)(k)¯ 3 +(B ∆+A)¯¯ (k)¯¯¯[∆∆]φ +h−2 [(3∆+2B)∆+C]φ ′′ +h−4 (3∆+B)φ IV +h−6 φ V I + H∗∗ = 0,(k)(3.49)(k)(k)¯ 3 +A∆¯ 2 ](k)¯¯ (k)¯[∆u +h−2 (3∆+2A)∆u ′′ +h−4 (3∆+A)u IV +h−6 u V I + S ∗∗ = 0, k ∈ N0 .Далее получены системы уравнений различных приближений (с нулевогопо восьмого порядка) в моментах относительно систем полиномов Лежандраи Чебышева второго рода.

При этом эти уравнения выведены как без учетаграничных условий на лицевых поверхностях, так и с их учетом. Начиная спервого приближения системы уравнений распадаются на две системы. Однаиз них — система относительно моментов четных порядков неизвестной векторной функции, а другая относительно моментов нечетных порядков той жефункций.

На основании найденного обратного оператора к оператору любойиз этих систем для каждого момента неизвестной векторной функции получается уравнение эллиптического типа высокого порядка (порядок системызависит от порядка приближения), характеристические корни которого легконаходятся. Используя метод И.Н.Векуа для решения таких уравнений, можнополучить их аналитическое решение.Выведены расщепленные системы уравнений квазистатической задачи микрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщиныв перемещениях и вращениях и в моментах векторов перемещений и вращений (для этого достаточно входящие в (3.48) и (3.49) буквы снабжать снизуиндексом s, обозначающим номер слоя и менять его от 1 до K, где K — числослоев), из которых, как частный случай, получаются аналогичные системыуравнений классической теории. Получены расщепленные системы уравнений восьмого приближения микрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщины в моментах векторов перемещений и вращений.

Используя метод Векуа, для этих систем, а также для уравненийредуцированной среды можно выписать аналитические решения.Приведены численные решения задач различных приближений о тонкомтеле с двумя малыми размерами и прямоугольной тонкой плоской области39с защемленными краями при различных нагрузках, а также о двухслойнойдвумерной области с защемленными краями.В заключении сформулированы основные результаты диссертации.РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ1.

Предложены различные параметризации областей однослойного и многослойного тонких тел. Создан новый тензорный аппарат для полного описания предложенных параметризаций и введен аппарат дифференциальныхоператоров для теорий тонких тел. Сформулированы фундаментальные теоремы для областей тонких тел при рассмотренных параметризациях;2. Получены некоторые рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра и Чебышева, применяемые при моделировании деформирования тонких тел;3.

Построена теория моментов относительно систем полиномов Лежандраи Чебышева. Даны представления уравнений движения и притока тепла иОС физического и теплового содержаний при рассматриваемых параметризациях, а также в моментах для теории тонких тел. Выведены граничные иначальные условия в моментах;4. На основании развитого метода ортогональных полиномов (Лежандра иЧебышева) построены новые варианты теорий упругих тонких тел при различных параметризациях областей этих тел, среди которых новая параметризация более доступная к экспериментальному изучению;5. Из вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно, а также обобщенных вариационных принципов типа Рейсснера в рамках трехмерной микрополярной теории получены соответствующие вариационные принципы длятеории тонких тел, а из последних выведены соответствующие вариационныепринципы для теории тонких тел в моментах относительно систем полиномовЛежандра и Чебышева.

При этом для микрополярной теории многослойныхтонких тел, как при полном контакте, так и при наличии зон ослабленнойадгезии, получены только обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера, так как из них легко выводятся остальные (Лагранжа, Кастильяно).Доказаны теоремы о минимуме стационарной точки лагранжиана и максимуме стационарной точки кастильяниана, а также теорема о единственностиобобщенного решения краевых задач;6.

Даны постановки связанной и несвязанной динамических задач в моментах для тонких тел. Построены корректирующие слагаемые, позволяющие удовлетворять граничным условиям на лицевых поверхностях. По способу В.В. Понятовского найдены различные выражения для компонент тензора напряжений, которые удовлетворяют граничным условиям. Доказано,что способ В.В.

Понятовского эквивалентен способу разложения всех компо40нент тензора напряжений в ряды по рассматриваемой системе ортогональныхполиномов;7. Исходя из трехмерных уравнений микрополярного деформируемого твердого тела, получены уравнения микрополярных и расширенных микрополярных теорий оболочек, оболочек класса TS и призматических оболочекв контравариантных компонентах тензоров напряжений и моментных напряжений. Выведены граничные условия. Даны сравнения уравнений некоторыхтеорий. Сформулирована кинематическая гипотеза для теории тонких тел;8.

Найдены обратные тензоры-операторы к тензору-оператору уравненийдвижения теории упругости в перемещениях изотропного однородного материала и оператору напряжения, позволяющие расщеплять уравнения играничные условия. Построен обратный оператор к матричному дифференциальному тензору-оператору уравнений движения микрополярной теорииупругости в перемещениях и вращениях как для изотропных однородных материалов с центром симметрии, так и для материалов, не обладающих центром симметрии.

В этих случаях получены уравнения по отдельности векторов перемещений и вращений. Расщепленные уравнения получены и дляредуцированной среды. При отсутствии объемных нагрузок уравнения редуцированной среды не зависят от свойств материала, что наводит на мысль,что эти уравнения могут быть использованы для идентификации материальных констант этой среды. Построен также обратный оператор к матричномудифференциальному тензору-оператору напряжения и моментного напряжения в случае редуцированной среды с кусочно-гладкой плоской границей.Выявлены случаи, для которых легко обратить оператор напряжения и моментного напряжения;9. Из расщепленных уравнений классической и микрополярной теорийупругости получены соответствующие расщепленные уравнения квазистатической задачи теорий призматических тел постоянной толщины в перемещениях в классическом случае, а в перемещениях и вращениях в микрополярном.

Характеристики

Список файлов диссертации