Автореферат (786090), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Следует рассматривать приближенные соотношения. В этой связи введены определения.Определение 3.1. Соотношения, которые получается из уравнения движения (3.2), уравнения притока тепла (3.4) и ОС физического и тепловогосодержаний (3.7), если в разложении g P− сохранены первые r + 1 членов,Mназываются соответственно уравнениями движения, уравнением притокатепла и ОС физического и теплового содержаний приближения порядка r(r ∈ N0 ).Вводя обозначение g P− =(r)Mr∑k=0−AP+ (x3 )k , из любого соотношения, содержаще(k)MPго g − , соответствующее соотношение приближения порядка r получим, еслиMв нем g P− заменить на g P− , а в левых частях (3.7) P, µ и q — на P(r) , µ (r) и(r)MMe e ee eq(r) соответственно.e Далее уравнения и ОС представлены в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева.
Ниже обсуждается, как получить уравнениядвижения и ОС в моментах приближения порядка r и приближения (r,N).Однако с целью сокращения письма они выписаны в моментах относительносистемы полиномов Чебышева второго рода только для приближений (0,N)и (1,N).Следует заметить, что в автореферате с целью сокращения письма в основном речь идет о НПОТТ и полиномах Чебышева второго рода, в диссертации же, конечно, рассмотрены полиномы Лежандра и Чебышева первогорода, а также приведены некоторые соотношения при других параметризациях [81–83].Для получения искомых уравнений и ОС приближения порядка r (см.
[43,50,81–83]) можно использовать соотношение такого же приближения, котороеполучается из (2.28) простыми выкладками, если в левой части g P− заменитьMна g P− , а в правой части предел суммы ∞ заменить на r. Если при этом(r)Mучесть (2.15), то будем иметь(k)M( g P− NP F) =(r)M+−m−k∑A P+ −m=k+2{(m)M3k∑Pm=0−g +(m=0 p=0r∑−k+12m∑ ∑p=2−PA+(m)−(k−m+p)pA P+ 2−2m C2m∂P F +(m)M(m−k−p)p−22−2m C2m∂P F +2m+2∑2m∑)(k−m+p)p2−2m C2m∂P F−p=m−kN∑M p=0 q=l−12−(2m+1)pC2m+2l20(l+q1+(−1))(q)F(x′ ) ++r∑−PA+m=k+1+(m)m+k+1∑M[ m−k−1 N()(q)∑ ∑ −(2m+1) m−k−1−pp+q−2C2m+2(p + 1) 1−(−1)F(x′ )+N∑p=02−(2m+1)p=m+1−k q=p{(3r∑Pm=k+1−−g +q=pm+1−k+pC2m+2(p(p+q+ 1) 1− (−1)]})(q)′F(x ) −) (−) [ k−r∑∑′PaF+(2k−m+1)A+A(m,k)++(m)(m)−PMMm=0(3.8)m=k+1] (+) }A + b(m,k) F ′ ,(m)−PMl ≡ k − m + p, N ≥ r + k + 1, k ≥ 0, r ≥ 0;[ m−k−1∑ m−k−1−pa(m,k) = 2−(2m+1) −C2m+2(p + 1)(−1)p+1 +p=0b(m,k) = 2[−(2m+1)m−k−1∑−m+k+1∑]m+1−k+pC2m+2(p + 1)(−1)p+1 ,p=m+1−km−k−1−pC2m+2(p + 1) +p=0]m+1−k+pC2m+2(p + 1) , m ≥ k + 1.m+k+1∑p=m+1−kПодобно (3.8) можно получить моменты k-го порядка для выраженийg P− g Q− NP NQ F, g Q− ∇3 NQ F и g P− NP ∂3 F [50].
В силу (2.15) видно, что, так(r)M (r)N(r)M(r)Nкак k ∈ N0 , то число соотношений (3.8) бесконечно и каждое соотношение прификсированном k содержит бесконечное множество слагаемых. Следовательно, получаемые с помощью (3.8) искомые соотношения также будут обладатьаналогичными свойствами. Такими соотношениями на практике пользоваться не целесообразно, поэтому следует их редуцировать к конечным соотношениям с конечным числом слагаемых. Существует в основном три схемыредукции: упрощенная, неупрощенная [85], а также частично упрощеннаясхема в случае тонких тел с двумя малыми размерами.
Они заключаютсяв следующем: наряду с r (у Векуа И.Н. r = 0) фиксируем и N ∈ N0 и принеупрощенной схеме редукции из бесконечных систем соотношений (уравнений, ОС и др.) с нормированными моментами выбираем совокупность первыхN + 1 соотношений при h = const, а если h ̸= const, то выбираем совокупность первых N + 1 соотношений и кроме того, в каждом из них моментамиискомых величин, порядок которых превосходит N , пренебрегаем. При упрощенной схеме редукции из бесконечных систем соотношений (уравнений, ОСи др.) с ненормированными моментами рассматриваем первые N + 1 соотношений и кроме того, в каждом из них моментами искомых величин, порядоккоторых превосходит N , пренебрегаем.
При частично упрощенной схеме вслучае тонких тел с двумя малыми размерами по одной координате применяется неупрощенная схема, а по другой упрощенная.Из (3.8) при r = 0 и r = 1 будем иметь(k)(k)(k)−([(k)M( g J− NJ F) =M(NI F) =∇I F − g+3 k F + 2(k + 1)(0) IIN (p)(k)(+)∑F − F + F′)], k ≥ 0,p=k−−(k)(k)(k)(k)(k+1))1 − ((k−1)M( g J− NJ F) =M[(g−J + x3 A+J )NP F] =∇I F + A+J ∇J F + 2 F + F −4 I(1) III(∑N (p)− { − [ (k)(k)(+) )]J3F − F + F′ +−g+ g− k F + 2(k + 1)JI21p=k(3.9)(∑N (p)(k−1)(k)(k+1)(+) )]}1 −[+ A+J (k − 1) F − 4(k + 2) F − (k + 3) F + 8(k + 1)F + F′, k ≥ 0.4 Ip=k3.3 Уравнения движения микрополярной теории тонких тел в моментах относительно системы полиномов Чебышева второго рода приближений (0,N) и (1,N). На основании первого и второго соотношений (3.9) и теоремы (2.14) из уравнений нулевого и первого приближений, получаемых из(3.2) при замене g P− на g P− и g P− соответственно, найдем системы уравненийM(0)M(1)Mдвижения нулевого и первого приближений в моментах относительно системыполиномов Чебышева второго рода, откуда в свою очередь пренебрежениеммоментами искомых величин, порядок которых больше N , получим системууравнений микрополярной теории тонких тел приближений (0, N ) и (1, N )](p)− } (k){ (k)− − [ (k)−(∑N (p)− (k)− )]N[∑(k)IIk+pI3I∇I P −g + k P +2(k+1)P −P+2(k+1) 1− (−1)P 3 +ρ F = ρ∂t2 u,Pp=kp=k{}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗P + ρm = J ·∂t2 φ , k = 0, N ;≃ee−)(k)−(k)−(k+1)− )((k−1)−1( −∇I P I + g −J − g +J ∇J P I + 2P I + P I −4 II− )[N (p)−− { − [ (k)−(k−1)−(k)− )](∑1( −−g +3 g −I k P J + 2(k + 1)P J − P J + g −I − g +I (k − 1) P J −4 JJIJp=kN (p)− )]}(k)−(k+1)−(∑PJ+−4(k + 2)P J − (k + 3) P J + 8(k + 1)(3.10)(3.11)p=k+2(k + 1)N[∑(p)− ](k)(k)(1 − (−1)k+p )P 3 + ρ F = ρ ∂t2 u,p=k{}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗P + ρm = J · ∂t2 φ ,we{e}k = 0, N .Здесь запись вида P ⇒ µ означает, что выражения в этих фигурныхскобках получается из выражения в фигурных скобках предыдущего соотношения, если букву P заменить на букву µ .
Аналогичная запись применяетсяи в дальнейшем.Аналогично (3.10) и (3.11) системы уравнений притока тепла микрополярной теории тонких тел в моментах приближений (0, N ) и (1, N ) представляются соответственно в форме](p)−(∑−−N[N (p)− (k)− )]−[∑(k)(k)q I − q I − 2(k + 1) 1− (−1)k+p q 3 +−∇I q I + g+3 k q I + 2(k + 1)Ip=k(k)d(2(k)2(k))p=k(k)(k)a ⊗ P +d ⊗ µ + W ∗ = ρcp ∂t T , k = 0, N ;dt e e e e−−−−N (p)− (k)− )]−{ −[(∑1 −J ((k−1)−I(k)(k)(k+1) )(k)IIqJ− q J +−∇I q − A+ NJ q +2 q + q I +g+3 g−I k q J +2(k + 1)4 IJIp=k−−−−[−N(∑1(k−1)(k)(k+1)(p) )]}+ A+I (k − 1) q J −4(k + 2) q J −(k + 3) q J + 8(k + 1)−qJ4 Jp=k(k)( 2 (k)N [−]2 (k) ) (k)∑ddT(p)(k)1−(−1)k+p q 3 +ρ q −T0−2(k + 1)a ⊗ P(1) + d ⊗ µ (1) + W ∗ = ρcp, k = 0, N .dt e edte ep=k+ρ q − T022Следовательно, с помощью (3.8) и теоремы (2.14) из уравнений движенияи притока тепла приближения порядка r, получим системы уравнений движения и притока тепла в моментах приближения порядка r, из которых пренебрежением моментами искомых величин, порядок которых больше N , найдемсоответствующие системы уравнений приближения (r,N) микрополярной теории тонких тел.
В дальнейшем, считая эти системы известными [50], будемна них ссылаться при рассмотрении постановок задач.3.4 Определяющие соотношения микрополярной теории упругости в моментах относительно системы ортонормированных полиномов Чебышевавторого рода. Подобно системам уравнений движения и притока тепла в моментах приближения порядка r и приближения (r,N) ОС в моментах тех жеприближений получены из (3.7) с помощью (3.8) и теоремы (2.14) как дляоднородного относительно x3 , так и для неоднородного материала [50].
Приэтом рассмотрены различные случаи в зависимости от значений порядковприближения r и операторов моментов k. Следует отметить, что формы записей ОС во всех рассмотренных случаях одинаковы [50]. ОС в моментахвыведены также из их других представлений, в зависимости от представлений соответствующих уравнений. Ниже выписаны только системы законовГука и теплопроводности Фурье микрополярной теории тонких тел в моментах нулевого и первого приближений.3.4.1 Системы законов Гука микрополярной теории тонких тел в моментах нулевого и первого приближений.
В силу первого соотношения (3.9)и теоремы (2.14) из ОС нулевого приближения, получаемых из первых двухформул (3.7), если в них g P− заменить на g P− , находим следующую системуM(0)Mзаконов Гука в моментах нулевого приближения:(k)−(k)−(+)(−)−(+)−(−)3·3·3·3·P(0) = P(0,N ) + C· u′ + C· u′ + A·φ′ + A· φ ′,≃ (0,k)≃ (k)≃ (0,k)≃ (k)ee−−−−(k)(k)(+)(+)3·3· (−)′3·3· (−)′· u′ + Bµ (0) = µ (0,N ) + B·u +D·φ′ + D· φ , k ∈ N0 ;≃ (0,k)≃ (k)≃ (0,k)≃ (k)ee(∑)]}− {N (p)− [(k)(k)(k)(k)M·′3′′′P(0,N ) = C· ∇M u(x ) − g + k u(x ) + 2(k + 1)u(x ) − u(x )+≃Mep=k]− ∑N [3·k+p (p) ′+2(k + 1)C·1 − (−1)u(x )+≃p=k)]}[(∑{−N (p)−(k)(k)(k)M·′′′′3φ (x ) − φ (x )+· ∇M φ (x ) − g + k φ (x ) + 2(k + 1)+A≃(k)µ (0,N )e−3·+2(k + 1)D·≃N [∑Mp=k](k)2(k)3·k+p (p) ′′+2(k + 1)A·1−(−1)φ(x)−C⊗C·φ(x)−bϑ,≃e ≃ep=k)]}(∑− {N (p)− [ (k)(k)(k)M·′′′′3φφφφ(x ) − (x )+· ∇M (x ) − g + k (x ) + 2(k + 1)=D≃−N [∑(3.12)M](p)1 − (−1)k+p φ (x′ )+p=kp=k(∑)]}{ (k)N (p)− [(k)(k)M·′′′′3ku(x)+2(k+1)u(x)−u(x)+·∇u(x)−g+B+M≃−Mp=k23(3.13)−3·+2(k + 1)B·≃](p)N [(k)2∑(k)′1 − (−1)k+p u(x′ ) − B ⊗C·φ(x)−βϑ (x′ ), k ∈ N0 .≃ep=keЗдесь введены обозначения−2−−−−3·C= 2(k + 1)C ⊗(r 3 − g 3+ rM )E,≃ (0,k)Mee2−3·C= 2(k + 1)(−1)k+1 C ⊗r 3 E, k ∈ N0 .≃ (k)ee−−−−−(3.14)−3·33·3·3·3·Подобные соотношения для A,A,B,B, и D,Dполучим из≃ (0,k)≃ (k)≃ (0,k)≃ (k)≃ (0,k)≃ (k)(3.14), если C заменить на A, B и D соответственно.
Кроме того, аналогичнопоследним двум формулам (2.15) имеем(+)u ′ (x′ ) =∞∑(p)(−)u(x′ ), u ′ (x′ ) =∞∑(p)(−1)p u(x′ ),φ ′ (x′ ) =∞∑(p)(−)φ (x′ ), φ ′ (x′ ) =p=N +1p=N +1p=N +1(+)∞∑(p)(−1)p φ (x′ ).p=N +1Аналогично (3.12) и (3.13) получается система законов Гука микрополярной теории тонких тел в моментах первого приближения [50, 81, 83]. С цельюсокрашения письма их выписывать не будем.3.4.2 Системы законов теплопроводности Фурье микрополярной теории тонких тел в моментах нулевого и первого приближений.
Нетруднополучить системы законов теплопроводности Фурье в моментах нулевого ипервого приближений. В самом деле, аналогично (3.12) из закона теплопроводности нулевого приближения (см. (3.7)), теоремы (2.15) и первого соотношения (3.9) находим систему законов теплопроводности Фурье в моментахнулевого приближения(k)(k)−−(+)(−)Λ3(0,k) T ′ +ΛΛ3(k) T ′ ;q (0) = q (0,N ) +Λ(3.15)(∑](p)−{N (p) (k))]}N [− [ (k)−∑(k)ΛM ∂M T −g 3+ k T +2(k+1)Λ3q (0,N ) = −ΛT −T−2(k+1)Λ1−(−1)k+p T , (3.16)(k)M−p=k−−−p=k−−Λ ·(r 3 − g 3+ rM ), Λ3(k) = 2(k + 1)(−1)kΛ ·r 3 ,Λ3(0,k) = −2(k + 1)ΛMee∞ (p)∞(−)(p)(+)∑∑′′ ′p′′ ′(−1) T (x ).T (x ), T (x ) =T (x ) =p=N +1p=N +1Далее из закона теплопроводности Фурье первого приближения получимсистему законов теплопроводности Фурье в моментах первого приближенияв форме(k)(k)−(+)−(−)Λ3(k) T ′ ;Λ3(1,k) T ′ +Λq (1) = q (1,N ) +Λ(3.17)−{N (p) (k)))(k)(∑1 − ((k−1) (k) (k+1)) − [ − ( (k)ΛM ∂M T + AP+ ∂P T +2 T + T −g +3 g P− k T +2(k + 1)q (1,N ) = −ΛT −T +4 MMPp=kN (p))]}(k−1)(k)(k+1)∑1 P− (+ A + (k − 1) T −4(k + 2) T −(k + 3) T +8(k + 1)T−(3.18)4 Mp=k](p) −−−]N [− ∑[ − − −Λ · r 3 −g +3 (g P− +AP+ )rM , k ∈ N0 .Λ3−2(k + 1)Λ1− (−1)k+p T , Λ3(1,k) = −2(k + 1)ΛP MMep=k(k)24Следует отметить, что, фиксируя N , из (3.12), (3.13), (3.15) – (3.18) рассматриваются первые N + 1 соотношений, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
