Автореферат (786090), страница 6
Текст из файла (страница 6)
выбираются конечные системы соотношений. При этом конечные системы соотношений, получающиесяиз (3.12), (3.15) и (3.17), используются при неупрощенной схеме редукции. В(−)(+)(−)(+)этом случае векторы-функции u ′ , u ′ , φ ′ и φ ′ определяются из граничныхусловий физического содержания на лицевых поверхностях [43, 50]. Анало(−)(+)′гично функции T и T ′ находятся с помощью граничных условий тепловогосодержания второго или третьего рода. Ниже выписаны системы уравненийдля нахождения этих функций. Конечные системы соотношений, получающиеся из (3.13), (3.16) и (3.18), используются при упрощенной схеме редукции.3.5 Представления граничных и начальных условий при НПОТТ.3.5.1 Граничные и начальные условия на лицевых поверхностях.
a) Ки(−)(+)нематические граничные условия на лицевых поверхностях S и S . Этиусловия задаются в виде(−)u(x , x , t)= u (x′ , t),3x =0(+)u(x′ , x3 , t)= u (x′ , t),3′(−)φ (x , x , t)= φ (x′ , t),3x =0(−)(+)φ (x′ , x3 , t)= φ (x′ , t), x′ ∈ S .3′3x =13x =1(−) (+)((+))(−)(+)(−)Здесь u (x′ , t) и φ (x′ , t) u (x′ , t) и φ (x′ , t) — заданные на S ( S ) функции.b) Граничные условия физического содержания на лицевых поверхностях(−)(+)(+)(−)S и S . Пусть P и P — заданные векторы напряжений на лицевых поверхно(+)(−)(+)(−)стях S и S соответственно. Обозначим через n и n орты внешних нормалей(+)(−)(+)(−)к S и S соответственно.
Тогда для n и n при новой параметризации имеем√−−−n = −(1/ g 3 3 )r 3 ,(−)√√−)+− +++++ ( −3n = (1/ g 3 3 )r = (1/ g 3 3 ) r 3 − g +3 g P− rM(+)P Mи искомые граничные условия представляются в виде√++ (+)P,r − g + g − r · P = g 3 3 P,r ·P =−P Mee√√−)−−− +(−)−− (−)++ (+)((+)(−)333 P M33r · µ =− g µ,r − g + g − r · µ = g 3 3 µ , x′ ∈ S ,P Mee(+)(−)(+)(−)µµµµ.,= ,= , P = PP = P333ee x =1ee x =0ee x3 =1ee x =0−3√(−)−− (−)g33(−−3+3 P−M)(+)(3.19)с) Начальные условия кинематического содержания на лицевых поверх(−)(+)ностях S и S .
Эти условия имеют формуu(x , x , t)′(−)3x3 =0, t=0φ (x′ , x3 , t)= u 0 (x ),(−)x3 =0, t=0′= φ 0 (x′ ),(−)∂u(x′ , x3 , t) = v 0 (x′ ),3∂tx =0, t=0′3(−)φ (x , x , t) = ω 0 (x′ ),3∂tx =0, t=025u(x , x , t)= u 0 (x ),φ (x′ , x3 , t)= φ 0 (x′ ),′(+)3x3 =1, t=0(+)∂u(x′ , x3 , t) = v 0 (x′ ),3∂tx =1, t=0′3(−)(−)φ (x , x , t) = ω 0 (x′ ), x′ ∈ S .3∂tx =1, t=0′(+)x3 =1, t=0d) Граничные условия теплового содержания первого рода (условия типа(−)(+)Дирихле) на лицевых поверхностях S и S . В этом случае на поверхностяхзадается температураT (x′ , x3 , t)T (x′ , x3 , t)(−)x3 =0= T (x′ , t),(+)x3 =1(−)= T (x′ , t), x′ ∈ S .e) Граничные условия теплового содержания второго рода (условия типа(−)(+)Неймана) на лицевых поверхностях S и S . При неизотермических процессах на лицевых поверхностях могут быть заданы нормальные составляющие(+)(−)q и q вектора потока тепла q.
В этом случае имеем граничные условия√√−)− +−− (−)++ (+)( −3(+)3 P M33r · q = − g q , r − g+ g − r · q = g 3 3 q ;−3(−)q = q(−)P M, q = q(+)x3 =0x3 =1.(3.20)f ) Граничные условия теплового содержания третьего рода (теплообмен(−)с окружающей средой по закону Ньютона) на лицевых поверхностях S и(+)S . В этом случае граничные условия можно записать следующим образом:√(−))−− (−)((−)r · q = − g 3 3 β Tc − T ,−3((−)−−+r − g+ g − r33 P−M)P M√(+)· q =(+))(−)++ (+)((+)g 3 3 β Tc − T , x′ ∈ S , (3.21)где Tc — заданная температура окружающей среды, β — коэффициент теплоотдачи,β = β(−), β = β(+)x3 =0, T =T(−)x3 =1, T =T(+)x3 =0Tc = Tc (−)x3 =1, Tc = Tc (+)x3 =0x3 =1.g) Начальные условия теплового содержания на лицевых поверхностях(−)(+)S и S .
В случае нестационарной задачи нужно задать и начальные условия:T (x , x , t)′(−)3x3 =0, t=0′= T 0 (x ),T (x , x , t)′(+)3x3 =1, t=0(−)= T 0 (x′ ), x′ ∈ S .3.5.2 Граничные и начальные условия на боковой грани Σ. Для корректной постановки задач в теории тонких тел к любой системе уравнений, кромеприведенных выше граничных и начальных условий на лицевых поверхно(−)стях, следует присоединить те же самые на контуре ∂ S основной базовой(−)поверхности S .26Итак, на боковой грани Σ могут быть заданы условия кинематического содержания (векторы перемещения и вращения) или физического содержания(векторы напряжения и моментного напряжения), или на одной ее части Σ1могут быть заданы условия кинематического содержания, а на другой частиΣ2 — физического содержания; Σ1 ∪ Σ2 = Σ, Σ1 ∩ Σ2 = ∅. При неизотермических процессах на некоторой части боковой грани еще задаются граничныеусловия теплового содержания первого рода (типа Дирихле) или второго рода (типа Неймана), или же третьего рода (теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона).
При этом на одной части боковой грани можнозадать один тип из этих условий, на другой — другой, а на третьей — третий.При рассмотрении нестационарной задачи нужно задать и начальные условиякинематического и теплового содержаний.
Ниже, предполагая, что боковаягрань Σ состоит из линейчатых поверхностей, рассмотрены эти граничныеусловия. При этом, фиксируя некоторые неотрицательные целые числа r иN , получены соответствующие граничные условия в моментах на граничномконтуре основной базовой поверхности. Задание числа N , как было сказано выше, означает, что из каждой получаемой ниже бесконечной системыуравнений рассматривается только совокупность первых N + 1 уравнений.(m)(m)(m)(m)(m)Тогда, очевидно, неизвестными будут моменты P , µ , u , φ , T , m = 0, N ,и, например, для микрополярной теории тонкихeтелe при неизотермическихпроцессах задача будет корректно поставлена, если на граничном контуре(−)(−)∂ S базовой поверхности S заданы 2N + 2 векторных граничных условий(−)(−)кинематического содержания, а на его части ∂ S q ⊆ ∂ S N + 1 граничных(−)условий теплового содержания (в случае первой краевой задачи), или на ∂ Sзаданы 2N + 2 векторных граничных условий физического содержания, а на(−)(−)∂ S q ⊆ ∂ S N + 1 граничных условий теплового содержания (в случае второй(−)краевой задачи), или на одной его части ∂ S 1 могут быть заданы 2N + 2 векторных граничных условий кинематического содержания, на остальной части(−)(−)(−)(−)(−)(−)∂ S 2 (∂ S 1 ∪ ∂ S 2 = ∂ S , ∂ S 1 ∩ ∂ S 2 = ∅) — 2N + 2 векторных граничных(−)(−)условий физического содержания, а на ∂ S q ⊆ ∂ S N + 1 граничных условийтеплового содержания (в случае смешанной краевой задачи).
Заметим, что вслучае нестационарных задач к граничным условиям следует присоединятьначальные условия в моментах, о которых речь пойдет ниже.3.5.3 Кинематические граничные условия в моментах. Пусть на боковой грани Σ заданы кинематические граничные условияu(x′ , x3 , t) = f (x′ , x3 , t),Σφ (x′ , x3 , t) = g(x′ , x3 , t).ΣТогда кинематические граничные условия в моментах относительно ортонормированных смещенных полиномов Чебышева второго рода представляются27в виде(k)∫1(k)∫1u(x′ , t) =(k)u(x′ , x3 , t)Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 = f (x′ , t),0φ (x′ , t) =(3.22)(k)φ (x′ , x3 , t)Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 = g (x′ , t),(−)x′ ∈ ∂ S ,0(k)′(−)′(k)Здесь f (x , t) и g(x , t), k = 0, N — известные векторные поля на ∂ S какмоменты известных векторных полей f (x′ , x3 , t) и g(x′ , x3 , t) соответственно.3.5.4 Граничные условия физического содержания в моментах. До получия этих условий, выведены некоторые геометрические соотношения на(−)(+)боковой грани при НПОТТ.
Введены следующие обозначения: ∂ S , ∂S и ∂ S(−)(+)(∼)(∼)(∼)— граничные контуры поверхностей S , S и S соответственно; m, s и l ,∼ ∈ {−, ∅, +} — единичный вектор нормали к боковой грани, единичный(∼)вектор касательной к контуру ∂ S и единичный вектор тангенциальной нор(∼)(∼)мали к контуру ∂ S в точке M , ∼ ∈ {−, ∅, +}; dΣ — элементарная площадка одной вершиной в точке M с координатами (x1 , x2 , x3 ) и со сторонами(+)dr = dss = rI dxI и hdx3 = r3 dx3 ; d Σ — элементарная площадка с одной(+)(+)вершиной в точке M с координатами (x1 , x2 , 1) и со сторонами d r = r+ dxII(−)и hdx3 = r3 dx3 ; d Σ — элементарная площадка с одной вершиной в точке(−)(−)M с координатами (x1 , x2 , 0) и со сторонами d r = r− dxI и hdx3 = r3 dx3 ;I(−)−1(−)(−)n = |h| h — единичный вектор нормали к поверхности S в точке M .
Имеют место доказуемые легко соотношения(+)(+)(+)(−)(−)(−)(−)a(x′ , x3 ) ≡ b(x′ , x3 ) ϑ −1 ,/√ − −− −− −K LMNIJg ϵM K ϵN L gI gJ dx dxg K L ϵKI ϵLJ dxI dxJ .dΣmI = ϑ d Σ m + = ϑ d Σ m − ,II√′(−)b(x , x ) ≡ dΣ/d Σ =3(3.23)Следовательно, a(x′ , x3 ) можно представить в виде ряда относительно x3a(x′ , x3 ) =∞∑As (x′ )(x3 )s ,As (x′ ) =s=01 ( ∂ sa ).s! ∂(x3 )s x3 =0(3.24)Пусть на боковой грани Σ заданы векторы напряжения P(x′ , x3 , t) и моментного напряжения µ (x′ , x3 , t). Тогда граничные условия в силу формулКоши на боковой грани представляются в видеmI PI (x′ , x3 , t) = P(x′ , x3 , t),mI µ I (x′ , x3 , t) = µ (x′ , x3 , t) на Σ.(3.25)Умножая каждое соотношение из (3.25) на dΣ и учитывая (3.23), находим(−)−mI((−) I )ϑ P = b(x′ , x3 )P(x′ , x3 , t),((−) )µ(x′ , x3 , t) на Σ.m − ϑ µ I = b(x′ , x3 )µ(−)I28(3.26)(−)(−)µI , соотношения (3.26) представятсяВводя обозначения PI = ϑ PI , µ I = ϑµв виде(−)−(−)−m PI = b(x′ , x3 )P(x′ , x3 , .t),µ(x′ , x3 , t),m µ I = b(x′ , x3 )µIна Σ.(3.27)IНайдя моменты от обеих частей соотношений (3.27) относительно системыполиномов Чебышева второго рода, получим искомые граничные условия вмоментах в следующей форме:(−)−(k)−m P I = P(k) (x′ , t),I(k)(−)−m − µ I = µ (k) (x′ , t),(−)k = 0, N ,I∫1(k)−PI =(k)PI Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,−µI =0P(k) =∫1∫10PbÛ ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,(3.28)µ I Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,∫1µ (k) =x′ ∈ ∂ S ,µ bÛ ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 , k = 0, N .00Граничные условия (3.28) применяются при применении уравнений (3.1) и(3.3).Получим теперь граничные условия физического содержания в моментах вдругой форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
