l17 (1274708), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

9.99.4. Расчет переходного процесса классическим метом для цепи с двумянакопителямиЕсли в цепи два накопителя, то характеристическое уравнение имеет видa2 p 2  a1 p  a0  0 . Как правило, решают приведенное характеристическое уравнениеp 2  bp  c  0 .Характерэлектромагнитныххарактеристического уравнения:процессовзависитотвидакорней1) апериодический, если корни вещественные различные, т.е.

дискриминантквадратного уравнения D  b2  4c  0 .Корни (собственные частоты)p1,2 b  D, решение переходного процесса2классическим методом имеет вид:p1tx(t )  xуст (t )  xпрех (t )  xуст (t )  Ae A2e p2t12) периодический (колебательный), если корни комплексно-сопряженные, т.е.дискриминант квадратного уравнения D  b2  4c  0 .Корниp1,2 b  j D2   jсв , где  - коэффициент затухания преходящейсоставляющей, ñâ - угловая частота собственных колебаний, Tсв 2- периодсвсвободных колебаний.

Решение переходного процесса классическим методом имеетвид:x(t )  xуст (t )  xпрех (t )  xуст (t )  Aet sin(свt  )b3) предельный апериодический (критический), если корни p1  p2     , т.е.2дискриминант квадратного уравнения D  b2  4c  0 .Решение переходного процесса классическим методом имеет вид:tx(t )  xуст (t )  xпрех (t )  xуст (t )  Ae A2tet1При расчете переходных процессов в цепи с двумя накопителями необходимо определитьдве постоянные интегрирования. Для этого составляют уравнения для нахождениязначения искомого тока или напряжения в момент t  0 и значения первой производнойискомого тока или напряжения в момент t  0 с использованием независимых начальныхусловий и уравненийконденсатораЗамечание.duCdtt  0ДляdiLdtсвязи для идеальной катушкиt  0uL (0 )и идеальногоLiC (0 ).Cцепейсиндуктивно-связаннымиэлементамидлясоставленияхарактеристического уравнения используется метод главного определителя.

Для цеписоставляют уравнения по методу контурных токов. После формальной замены L  pL иC1pCматрицаконтурныхсопротивленийимеетвидZ( p ) Z11 ( p) Z12 ( p).Z 21 ( p) Z 22 ( p)Определитель матрицы приравнивают к нулю det Z( p)  0 . Выбор контуров присоставлении контурных уравнений целесообразно проводить так, чтобы для каждогонезависимого контура порядок дифференциального уравнения был наименьшим.Рассмотрим несколько примеров расчета переходных токов и напряжений в цепи сдвумя накопителями.Разряд конденсатора на цепь с резистором и катушкойПусть в цепи конденсатор был заряжен до напряжения uC (0 )  U 0 . Исследуемпереходной процесс после замыкания в момент t  0 ключа.1. Независимые начальные условия uC (0 )  uC (0 )  U 0 , i(0 )  i(0 )  0 .2.

Так как источники в цепи отсутствуют, то установившиеся составляющие решенийравны нулю.3. Составим характеристическое уравнение через комплексное входное сопротивлениес заменой jω на р:R11 0 . Характер pL  R  0 или p 2  p LLCpCэлектромагнитных процессов зависит от соотношения параметров R , L и C в2R1 R  выражении для корней характеристического уравнения: p1,2  . 2L 2 L  LCАпериодическим разрядом конденсатора, заряженного до напряжения U 0 , называетсяразряд, при котором напряжение на конденсаторе монотонно спадает от значения U 0 донуля без перезарядки конденсатора. При этом отдаваемая электрическая энергия лишь вмалой доле переходит в энергию магнитного поля катушки, большая ее частьпоглощается в резисторе.

Затем в теплоту переходит и энергия, запасенная в магнитномполе катушки. Периодический разряд конденсатора сопровождается перезарядкойконденсатора. При этом часть энергии поглощается, часть электрической энергиипереходит в магнитную, магнитная – в электрическую, т.е. между накопителямипроисходит обмен энергиями. При отсутствии потерь в цепи возникают незатухающиеэлектромагнитные свободные колебания с угловой частотой 0 2 2 LC . При наличии потерь – затухающие свободные колебания, частота0T0 которых меньше частоты незатухающих свободных колебанийвe1и периодомLCсв  02   2 , гдеR.

За каждый период Tñâ амплитуда переходного тока и напряжения уменьшается2LTсвраз.21 R 4. При апериодическом разряде конденсатора, т.е. при условии или LC 2L R2LCрешениеимеетвид:uC (t )  A1e p1t  A2e p2t ,периодическом разряде конденсатора R  2i(t )  B1e p1t  B2e p2t .ПриLрешение uC (t )  Aet sin(свt  ) ,Ci(t )  Bet sin(свt  ) .

В случае предельно-апериодического разряда при R  2корни p1  p2  LCR  , решение uC (t )  A1e t  A2te t и i(t )  B1e t  B2te t .2L5. Определим из начальных условий постоянные интегрирования. Так как uC (0 )  U 0иduCdt0iC (0 )i(0 )    0 для определения постоянных интегрирования приCCапериодическомA2  разрядерешаемуравнения U 0  A1  A2,0  p1 A1  p2 A2A1 p2U0 ,p2  p1p1U 0 . Для тока i(0 )  0 , напряжение на катушке как зависимоеp2  p1начальное условие найдем по второму закону Кирхгофа.

Для момента t  0U 0  i(0 ) R  uL (0 ) . Следовательно,didt0uL (0 ) U 0. Тогда дляLLB1 иB2 0  B1  B2. При U 0  0 ток в начале переходного процесса возрастает,U 0 L  p1 B1  p2 B2достигает максимального значения, затем уменьшается до нуля.При периодическом разряде для постоянных интегрирования A и  решаемU 0  A sin . Так как0  A sin   св A cos sin  AДлясв 22св св LC , 2  св2 cos   22св1, можно ввести обозначенияLCсв.  LC ,tg  решениипереходногоТогдаU0U0,   arctg св .sin  св LCпостоянныхинтегрированиявтока0  B sin U, постоянные интегрирования   0 , B  0 .U 0св L B sin   св B cos LПри предельно-апериодическом разряде конденсатора постоянные интегрирования U 0  A1находят из уравнений ,0   A1  A20  B1.U 0 L  B1  B2Замечание.

Решение для тока в конденсаторе iC (t )  i(t ) .6. Решение переходного процесса имеет вид:для апериодического разрядаuC (t ) U0U0( p2e p1t  p1e p2t ) , i(t ) (e p1t  e p2t ) ;p2  p1L( p1  p2 )для периодического разрядаuC (t ) U0Uet sin(свt  ) , i(t )  0 et sin(свt ) ;св Lсв LCдля предельно-апериодического разрядаuC (t )  U 0 (1  t )et , i(t ) U 0 tte .LЗамечание.

Критическим сопротивлением RLC - контура называют расчетную величинуRêð  2L. При R  Rкр колебаний не возникает, переходной процесс - апериодический,Cпри R  Rкр возникают затухающие свободные колебания. Скорость затухания колебанийоценивают декрементом колебаний. Декремент колебания – постоянная, зависящая отTсвпараметров элементов RLC - контура и равная   e. Используют такжелогарифмический декремент затухания   ln   Tсв .Включение RLC - контура на постоянное напряжениеРассмотрим электромагнитные процессы, возникающие после замыкания ключа вцепи, в предположении, что uC (0 )  0 .Характеристическое уравнение и вид корней будут такими же, как и в случае разрядаконденсатора на резистор с катушкой. Также и установившаяся составляющая тока будетравна нулю.

Установившееся напряжение на конденсаторе будет равно напряжениюисточника uCуст  U 0 , т.е. для постоянных интегрирования при апериодическом процессе0  U 0  A1  A2, знаки A1 и A2 изменятся на противоположные. Также и в случае 0  p1 A1  p2 A2возникновения свободных колебаний постоянная интегрирования A изменит знак напротивоположный. Для тока решение не изменится, но в отличие от разряда конденсатораiC (t )  i(t ) .Решение переходного процесса имеет вид:для апериодического процессаuC (t )  U 0 U0U0( p2e p1t  p1e p2t ) , i(t ) (e p1t  e p2t ) ;p2  p1L( p1  p2 )для периодического процессаuC (t )  U 0 U0Uet sin(свt  ) , i(t )  0 et sin(свt ) ;св Lсв LCдля предельно-апериодического процессаuC (t )  U 0  U 0 (1  t )et , i(t ) U 0 tte .LЗамечание.

За время переходного процесса часть энергии источника переходит в теплоту,часть запасается в электрическом поле конденсатора:0U00002 U 0idt   (uRi  uLi  uC i)dt   Ri dt   Lidi   CuC duC   Ri dt 2000CU 02.2Подключение RLC - контура к источнику синусоидального напряженияПри подключении RLC - контура к источнику, напряжение которого меняется позакону u(t )  U m sin(t  ) характеристическое уравнение и вид корней такие же, как приподключении источника постоянного напряжения. Для расчета установившихсясоставляющих тока и напряжения на конденсаторе необходимо воспользоватьсякомплексным методом. Пусть установившаяся составляющая тока имеет видiуст (t )  I m sin(t    ) , где I m UmR  (L  1 C )22,   arctg(L  1 C ).RУстановившаяся составляющая напряжения на конденсатореIuC уст (t )  U Cm sin(t      ) , U Cm  m . Полное решение классическим методом2Cнаходится как сумма установившейся и преходящей составляющей.

Наиболее интереснымпредставляется случай комплексно-сопряженных корней, т.е. когда преходящаясоставляющая меняется по периодическому закону. Решение переходного процесса естьсумма двух периодических, амплитуда одного из них затухает по экспоненциальномузакону.1) Под переходным процессом в режиме резонанса понимают случай, если   св(угловая частота синусоидальных колебаний источника совпадает ч угловойчастотой свободных колебаний). При малых потерях, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций