Lek7 (1274699)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4.2 Комплексный метод расчета, векторные диаграммыКомплексный(символический)методпредставленияпериодическихсинусоидальных процессов в виде комплексных чисел был предложен американскиминженером Штейнмецом в 1893 году. Он предложил представлять синусоидальноизменяющиеся величины, характеризуемые тремя параметрами: амплитудой, угловойчастотой и фазным углом, векторами на комплексной плоскости с двумя параметрами:модулем вектора и аргументом (фазным углом). При этом математические операции сизменяющимися по синусоидальному закону токами и напряжениями заменяютсяматематическими операциями над векторами (комплексными числами), что существенноупростило расчеты цепей переменного тока.Расположим вектор длиной (модулем) М в координатной плоскости X0Y под углом к оси X, как показано на рисунке.

Из курса математики известно, что при вращениивектора против часовой стрелки с угловой скоростью  его координаты меняются позакону x(t )  M cos(t  ) иy(t )  Msin(t  ) . При t=0x(0)  M cos  ,y(0)  M sin  .Поместим вектор на комплексную плоскость, образованную вещественной (Real) имнимой (Jmage) осями. Начальный угол  определим по отношению к действительнойоси на комплексной плоскости.

Координату вектора на вещественной оси обозначим a, намнимой оси b. Вектор на комплексной плоскости – комплексное число M  a  jb , где j– мнимая единица, определяемая как единичный вектор на мнимой оси. Единичныйвектор на действительной оси принято обозначать за 1. Запись комплексного числа ввиде M  a  jb соответствует алгебраической форме записи (Rec), где a  Re  M  ,b  Im M  .

Полярная форма записи (Pol) M  Me j , где М – модуль, eповорота. По формуле Эйлера ej cos   j sin  . При вращенииj– операторвектора –комплексного числа М против часовой стрелки с угловой скоростью  координатыменяются по закону a  Re M   M cos(t  ) , b=Im M   M sin(t  ) .Для прямоугольного треугольника с гипотенузой М икатетами a и b выполняются соотношения:M 2  a 2  b2 , M  a 2  b 2a  M  cos  , b  M  sin  , tg  M sin  b .M cos  aЭти соотношения определяют правила перехода из полярной в алгебраическуюформу записи комплексного числа и наоборот ( PolRec ).Комплексная амплитуда тока (напряжения, ЭДС), комплексы действующегозначения тока (напряжения, ЭДС).

Векторные диаграммыМгновенному значению тока i  I m sin(t  i ) с амплитудой I m и начальной фазойi в любойфиксированный момент времени t соответствуеткомплексное число,изображаемое вектором, длина которого равна амплитуде I m , образующим угол t  iс вещественной осью (комплексная амплитуда тока). Аналогично определяюткомплекснуюамплитудунапряжениядлясинусоидальногонапряженияu  U m sin(t  u ) с амплитудой U m и начальной фазой u . Комплексная амплитудатока (напряжения, ЭДС) - вектор на комплексной плоскости, изображенный в выбранноммасштабе [А/см] ([В/см]), одинаковым по обеим осям1. При вращении этого векторапротив часовой стрелки значения координат вектора по мнимой оси (Jmage) будутменяться по синусоидальному закону.

Для i(t )  I m sin t ( i  0 ):Положительный отсчет фаз происходит от действительной оси против часовойстрелки. Отрицательный – по часовой:1Это обязательное требование при изображении векторов на комплексной плоскости, построениивекторных диаграмм.Переменному току (напряжению, ЭДС), изменяющемуся во времени посинусоидальному закону, можно поставить в соответствие комплексное число.Комплексные числа Im  I meji, U m  U meju, Em  Emejeназывают комплекснымиамплитудами соответственно тока, напряжения и ЭДС, а комплексные числа I Im,2EUm, E  m – комплексными действующими значениями тока, напряжения и22ЭДС. Введенные комплексы Im , U m , Em ( I , U , E ) однозначно описывают переменныеUi(t), u(t), e(t) (существует взаимно-однозначное соответствие).

Каждому комплексу Im ,U m , Em ( I , U , E ) соответствует мгновенное значение синусоидального тока,напряжения и ЭДС: амплитуда равна длине (модулю) комплексной амплитуды или в2 раз больше длины (модуля) комплекса действующего значения, а начальная фазыравна углу комплексной амплитуды и комплекса действующего значения.Поскольку все синусоидальные токи, напряжения, ЭДС имеют одинаковую частоту ивращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью , то взаимноерасположение этих векторов в любой момент времени остается неизменным, в любоймомент времени между векторами угол   u  i . Поэтому можно разместить двавектора - комплексные напряжения и ток (комплексные амплитуды напряжения и тока) наодной комплексной плоскости и получить векторную диаграмму, отражающую взаимноерасположение этих векторов.

Масштаб для тока и напряжения должен быть выбран таким,чтобы векторная диаграмма была понятна и удобна для восприятия.Пример 12.а) Мгновенные значения напряжения и тока: u(t )  7,07sin(628t  17,5) В,i(t )  0,112sin 628t А. Записать соответствующие комплексы амплитудного значения токаи напряжения, комплексы действующих значений. Построить на комплексной плоскости вмасштабе векторную диаграмму комплексных напряжения и тока.Комплексы амплитудного значения напряжения (комплексная амплитуданапряжения) U m  7,0717,5 В, комплекс амплитудного значения тока (комплекснаяамплитудаUтока)Im  0,1120А.Комплексыдействующихзначений7,0717,50,1120 517,5 В, I  0,07950 А.1, 411, 41Векторная диаграмма имеет вид:б) Мгновенныезначениянапряженияитокаu(t )  7,07sin(628t  34,7)В,i(t )  0,182sin 628t А.

Записать соответствующие комплексы амплитудного значения токаи напряжения, комплексы действующих значений. Построить на комплексной плоскости вмасштабе векторную диаграмму комплексных напряжения и тока.Комплексы амплитудного значения напряжения (комплексная амплитуданапряжения) U m  7,07  34,7 В, комплекс амплитудного значения тока (комплекснаяамплитудаUтока)Im  0,1820А.Комплексы7,07  34,70,1820 5  34,7 В, I  0,1290 А.1, 411, 41Векторная диаграмма имеет вид:действующихзначенийФормы записи комплексной амплитуды и комплексов действующего значения тока.1. Показательная или полярная:Im  I me ji , I  Ie ji или Im  I mi , I  I i .2.

Алгебраическая или декартовая форма записи:Im  a  jb  Re Im   jIm Im   I m cos i  jI m sin i ,I  a  jb  Re I   jIm I   I cos i  jI sin i .Re   – действительная часть комплексной амплитуды или действующего значения(координата на вещественной оси), Im   – мнимая часть комплексной амплитуды илидействующего значения (координата на мнимой оси). Аналогичные формы записииспользуют для комплексной амплитуды и комплексов действующего значениянапряжения, ЭДС.Математические операции над комплексными числамиСложение (вычитание) проводится в алгебраической форме записи:Умножение (деление) проводится в показательной (полярной) форме записи:Im1  Im 2  (a1  a2 )  j (b1  b2 )Im1  Im 2  I m1e j1  I m 2e j2  I m1  I m 2e j ( 12 )Im1 I m1e j1 I m1 j ( 12 )eI m 2 I m 2 e j 2 I m 2Пример 13.Даны комплексные числаM 1 и M 2 .

Провести математические операции надкомплексными числами.M1  5  30  5cos30  j3sin 30  4,33  j 2,5M11a1b1M 2  4 120  4cos(120)  j 4sin(120)  2  j (3,464)  2  j3,4642M2a2b2а) сложение комплексных чиселM 1  M 2  (4,33  j 2,5)  (2  j (3, 464)) a1b1a2b2 (4,33  (2))  j (2,5  (3, 464))  2,33  j (0,964)  2,52 22, 4a1a2b1b2a a1  a2bb1 b2a 2 b 2arctgbaНа векторной диаграмме эта операция соответствует нахождению векторной суммыкомплексных чисел:Сумма комплексных чисел(векторов)построенапо"правилу параллелограмма"б) вычитание комплексных чиселM 1  M 2  (4,33  j 2,5)  (2  j (3, 464)) a1b1a2b2 (4,33  (2))  j (2,5  (3, 464))  6,33  j 5,964  8,7  43,3a1a2b1a a1  a2b2b b1 b2a 2 b 2arctgbaНа векторной диаграмме эта операция соответствует нахождению векторной разностикомплексных чисел, при необходимости вектор - результат вычитания - переносится вначало координат:Разность комплексных чисел(векторов) построена по "правилутреугольника".

Вектор M1  M 2перенесен в начало координат.Такжеможноопределитьрезультирующийвекторкаксумму векторов M1  (M 2 )в) умножение комплексных чиселM1  M 2  ( 5  30)  ( 4 120)  20 90   j 20M11M22M1M 21 2г) деление комплексных чисел( 5  30)M1M11 1, 25 150  1,083  j 0,625M 2 ( 4  120)1 2M12M2M2Мнимая единица – единичный вектор по мнимой оси в показательной форме записиj  1 j 90  190 ,тогда j  1 j ( 90)  1  90 .Длямнимойединицы( j )2  ( j )  ( j )  1 j ( 90) 1 j ( 90)  1 j ( 180)  1 , 1   j .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций