Lek7 (1274699), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Умножение на мнимуюединицу j означает изменение угла на 90 , т.е. поворот вектора против часовойстрелке на 90 , умножение на  j означает изменение угла на 90 , т.е. поворотвектора по часовой стрелке на угол 90 . Умножение на j означает поворот вектора на2180 .Закон Ома в комплексной форме.Компонентные уравнения резистивного, емкостного и индуктивного элементов вкомплексной области описываются алгебраическим уравнением для комплексных токов инапряжений:U ZI,гдеZ - комплексное сопротивление участка [Ом]. Комплексное сопротивлениеZ  Ze j  Z cos   j Z sin   R  jX , где   u  i . При активно-индуктивномXRхарактереучасткаZ  R  jX L(   0 ),приактивно-емкостномхарактереZ  R  jX C (   0 ).КомплекснаяпроводимостьY1 Y cos()  jY sin()  Y cos   jY sin ZGB[См].

При активно-индуктивном характере участка Y  G  jBL , при активно-емкостномY  G  jBC . Для идеальных элементов Z  R (для резистивного элемента), Z   jX C(для емкостного элемента), Z  jX L (для индуктивного элемента). Компонентныеуравнения представляют собой запись закона Ома в комплексной форме длярезистивного, емкостного и индуктивного элементов. На векторной диаграмме эта связьвыражается взаимным расположением векторов напряжения и тока: на резисторе векторасонаправлены, на реактивных элементах вектор тока перпендикулярен векторунапряжения: на катушке вектор тока отстает от напряжения, на конденсаторе вектор токаопережает вектор напряжения.

Связь комплексных токов и напряжений на идеальныхэлементах, включая источники, отражена в Таблице 3.Таблица 3Временная областьизображениеКомплексная областьуравнениеu  R iiC  CduCdtuL  LdiLdtизображениеуравнениеU  R IU C   jX C  ICXC 1CU L  jX L  I LX L  LueU EiJI JвекторнаядиаграммаСоставляют комплексную схему замещения цепи и математическое описание всех ееэлементов в комплексной области. Используя уравнения Кирхгофа в комплексной формеIj0 иjUjj 0 (  Em   Z n In ) можно получить полное математическоеmnописание цепи в комплексной форме.4.3 Двухполюсник в цепи синусоидального токаЦепь синусоидального тока, содержащая активное и индуктивноесопротивление (RL - цепь)Рассмотрим цепь синусоидального тока, содержащую реальную индуктивнуюкатушку (обмотку). Электромагнитные процессы определяются изменением энергии вмагнитном поле катушки (электромагнитная индукция) и необратимым преобразованиемэнергии в проводах катушки (нагрев, выделение теплоты).

Процесс преобразованияэлектрической энергии в теплоту характеризуется активной мощностью P , изменениеэнергии в магнитном поле - реактивной мощностью Q . В схеме замещения реальнаякатушка представляется резистором (R - сопротивление катушки) и реактивнымэлементом (L - индуктивность катушки). Деление реальной катушки на два элемента расчетный прием, конструктивно их выделить нельзя.Уравнение Кирхгофа R  i (t )  Ldi u (t )dtПусть к катушке приложено синусоидальное напряжение с частотой   2f ,амплитудой U m и начальной фазой u : u(t )  U m sin(t  u ) . Ток в катушкесинусоидальныйIm UmR 2  (L)2i(t )  I m sin(t  i )тойжечастотысамплитудой, сдвиг фаз между напряжением и током   u  i  arctgL, токRотстает от напряжения на угол 0     2 .В комплексной форме для комплексов действующих значений уравнениеКирхгофа и комплексная схема замещения имеют видU  R  I  j L  I  ( R  jX L )  I  Z  I .XLПолноекомплексноесопротивлениеZ  R  j L  R 2  (L)2 Re Z Im Z (комплексный импеданс), модуль комплексного сопротивления(импеданс),реактивноеиндуктивноесопротивлениеZZ  R 2  (L)2X L  L(реактанс).Попоказаниям приборов (ваттметра, вольтметра и амперметра) можно определить параметрыпоследовательной схемы замещения реальной катушки.Векторная диаграмма показывает взаимное расположение комплексов напряженияи тока, соответствующее сдвигу фаз на временной диаграмме:Пример 13.Показание ваттметра P  0,379 Вт, вольтметра U  5 В,миллиамперметра I  79,5 мА.

Определить параметры схемы замещения катушки.Записать мгновенные значения напряжения и тока в катушке, приняв i  0 . Частотасинусоидального источника f  100 Гц.U5ПолноесопротивлениеОм.Z  62,89I 0,0795Эквивалентное активное сопротивление двухполюсникаP0,379R 2  59,96 Ом.I0,07952Эквивалентное реактивное сопротивление двухполюсникаX L  Z 2  R 2  359,95  18,97 Ом.Эквивалентная индуктивностьLX L 18,97 0,03022f628Гн.P 0,379 0,9535 ,S 0,3975  arccos(0,9535)  17,5 . Так как ток отстает от напряжения (напряжение опережает ток)Полная мощность S  U  I  5  0,0795  0,3975 ВА.

Тогда cos    u  i  0 .Мгновенныезначениянапряженияитокавкатушке:u(t )  5 2 sin(628t  17,5)  7,07sin(628t  17,5) В,i(t )  0,0795 2 sin 628t  0,112sin 628t А (кривые мгновенных значений см. Пример 11.а).Параметры схемы замещения катушки можно определить через комплексныенапряжения и ток. Пусть i  0 , тогда u  17,5 . Комплексные напряжение и токдвухполюсника U  517,5 В, I  0,07950 А.Комплексные напряжениеи токВекторная диаграммаU  517,5 В,I  0,07950 АКомплексное сопротивление двухполюсника Z U 62,893 17,5  59,98  j 18,91IRXLZОм.

Это параметры последовательной схемы замещения.Используя рассчитанное комплексное сопротивление, можно определить1комплексную проводимость участка: Y   0,0159 17,5  0,0152  j 0,00478 См иZYGBLперейти к параллельной схеме замещения реальной катушки: Rпарал X парал 1 65,96 Ом,GX1 208,77 Ом, Lпарал  парал  332, 4 мГн.BLПоказания приборовПоследовательная схемазамещенияПараллельная схемазамещенияТреугольник напряжений соответствует комплексной последовательной схемезамещения и векторной сумме U  U а  U р . Проекция вектора напряжения U на вектортока называется активной составляющей вектора напряжения и обозначается U а .Проекция вектора напряжения U на направление, перпендикулярное вектору токаназывается реактивной составляющей вектора напряжения и обозначается U р .Последовательнаясхема замещенияТреугольник напряженийUа  R  I U р  X L  IТреугольник сопротивлений - прямоугольный треугольник с катетами, длиныкоторых пропорциональны значениям R , X и гипотенузой, длина которойпропорциональна значению Z .

Треугольник сопротивлений подобен треугольникунапряжений.Из треугольника сопротивлений коэффициент мощностиcos  RRZR2  X 2Так как реактивные сопротивления зависят от частоты, то полное сопротивление икоэффициент мощности также зависят от частоты:Z ()  R  j (L  1 C ) , Z ()  R 2  (L  1 C )2 ,X ( )cos  RR 2  (L  1 C )2.Треугольник токов соответствует параллельной схеме замещения и векторнойсумме I  Iа  I р . Проекция вектора тока I на вектор напряжения называется активнойсоставляющей вектора тока и обозначается Iа .

Проекция вектора тока Iнаправление, перпендикулярное вектору напряжениясоставляющей вектора тока и обозначается I р .называетсянареактивнойПараллельная схемазамещения,Треугольник токовI а  G U I р  BL UАктивнаямощностьучасткаможетбытьопределенапоформуламP  S cos   UI cos   U а  I  U  I а или P  I 2 R  U 2G . Реактивная мощностьучастка Q  S sin   UI sin   U р  I  U  I р или Q  I X L  U BL .22Треугольник проводимостей - прямоугольный треугольник с катетами, длиныкоторых пропорциональны значениям G , B и гипотенузой, длина которойпропорциональна значению Y .

Треугольник проводимостей подобен треугольнику токов.Пример 14. Электродвигатель с номинальными значениями Uном = 127 В, Pном = 2кВт и cos ном  0,8 включается в сеть с напряжением U = 220 В. Найти сопротивлениерезистора R, при котором двигатель будет работать в номинальном режиме, параметрыRД и X Д последовательной схемы замещения двигателя, а также полную, активную иреактивную мощности всей установки.При последовательной схеме замещения двигателя с параметрами RД (активноесопротивление) и X Д (индуктивное сопротивление) комплексная схема замещения будетиметь вид:Так как Pном  U ном  I ном  cos ном , следовательно I ном Pном2000 19,685 A,U ном  cos ном 127  0,8ток отстает от напряжения на двигателе на уголном  arccos0,8  36,87 .

ПустьIном  19,6850A, тогда U ном  12736,87 . Параметры последовательной схемызамещения Z Д  RД  jX Д U ном 12736,87 6, 45236,87  5,161  j 3,871 Ом.Iном19,6850RДXДМодуль входного сопротивления последовательно соединенных резистора и двигателяравен Z  ( R  RД )2  X Д2 U220 11,176 Ом.I ном 19,685Тогда ( R  RД )  Z 2  X Д2  11,1762  3,8712  10,484 Ом, R  10,484  5,161  5,232 Ом.Активная мощность цепи (всей установки): P  I 2 ( R  Rд )  19,6852 10,46  4,063 кВт ,реактивная Q  I 2 X д  19,6552  3,871  1,5 кВар , полная S  P 2  Q 2  4,33 кВA .Цепь синусоидального тока, содержащая активное и емкостное сопротивление(RС - цепь)Рассмотрим цепь синусоидального тока, содержащую реальный конденсатор.Электромагнитные процессы определяются изменением энергии в электрическом полеконденсатора (электрическая индукция) и необратимым преобразованием энергии визоляции (несовершенный диэлектрик, нагрев изоляции).

Процесс преобразованияэлектрической энергии в теплоту характеризуется активной мощностью P , изменениеэнергии в электрическом поле - реактивной мощностью Q . В схеме замещения реальныйконденсатор представляется резистором ( R - сопротивление или G - активнаяпроводимость) и реактивным элементом (С - емкость). Деление реального конденсаторана два элемента - расчетный прием, конструктивно их выделить нельзя.

Используютпоследовательную и параллельную схемы замещения реального конденсатораУравнения Кирхгофа:R  i (t ) 1i (t )dt  u (t )CGпарал  u (t )  Cпаралdu i (t )dtПусть к конденсатору приложено синусоидальное напряжение с частотой   2f ,амплитудой U m и начальной фазой u : u(t )  U m sin(t  u ) .

Ток в конденсаторесинусоидальныйIm i(t )  I m sin(t  i )UmR 2  (1 C )2  u  i   arctg,сдвигфазтойжемеждучастотыснапряжениемитоком1, ток опережает напряжение на угол 0     2 .CRПолное комплексное сопротивление Z  R  j 1 C Re Z R 2  (1 C ) 2 Im Z  X CZ(комплексный импеданс), модуль комплексного сопротивления Z (импеданс),амплитудойреактивноеемкостноесопротивлениеX C  1 CR 2  (1 C )2(реактанс).Попоказаниям приборов (ваттметра, вольтметра и амперметра) можно определить параметрыпоследовательной и параллельной схемы замещения реального конденсатора.Векторная диаграмма показывает взаимное расположение комплексов напряженияи тока, соответствующее сдвигу фаз на временной диаграмме:В комплексной форме для комплексов действующих значений уравнениеКирхгофа и комплексная схема замещения имеют вид:Параллельная схема замещенияI  Iа  I рI  G  U  j Cпарал  U  Y  UBCПоследовательная схема замещенияU  Uа  U рU  R  I  j (1 C )  I  Z  IXCАктивнаямощностьможетбытьопределенапоформуламP  S cos   UI cos   U а  I  U  I а или P  I 2 R  U 2G .

Характеристики

Список файлов лекций