l18 (1274709)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

9.5. Операторный метод расчета переходных процессов в линейныхэлектрических цепяхОператорныйХэвисайдом,метод,существенновведенныйупростилвэлектротехникурасчетанглийскимпереходныхинженеромпроцессов.Согласнооператорному методу вместо описания процессов уравнениями во временной областииспользуется их описание уравнениями в операторной области (области изображенийЛапласа).Каждой функции времениf (t ) , называемой оригиналом, ставится всоответствие операторное изображение F ( p) , где p - некоторое комплексное число.Операции интегрирования и дифференцирования во временной области оригиналовзаменяются чисто алгебраическими операциями над их изображениями в операторнойобласти.

Система дифференциальных уравнений для оригиналов переходит в системуалгебраических уравнений для оригиналов. После решения в операторной области поформальным правилам переходят к решению рассматриваемых переходных процессов вовременной области. Для существования изображения F ( p) функцияf (t ) должнаудовлетворять условиям Дирихле и, кроме того, возрастать не быстрее, чем некотораяэкспоненциальная функция, т.е. f (t )  Ae t , где А и α – положительные числа.Связь оригиналов и изображенийПусть f (t ) - некоторая функция. Интеграл Лапласа для этой функции определяетсявыражениемe ptf (t )dt , где p - некоторое комплексное число.

Полученную при0интегрировании функцию комплексного переменногоF ( p)   e pt f (t )dt называют0изображениемфункцииf (t ) .Некоторыесвойстваизображенийиоригиналовпредставлены в Таблице 9.2.Таблица 9.2№Оригинал f (t )1Линейность f1 (t )  f 2 (t )2ДифференцированиеИзображение F ( p)F1 ( p)  F2 ( p)pF ( p)  f (0)оригинала f (t )Интегрирование оригинала3t f (t )dtF ( p)p04Сдвиг оригинала f (t  a)e ap F ( p)Замечание.

Соответствие изображения и оригинала принято обозначать в видеF ( p)f (t ) .В Таблице 9.3 приведены примеры некоторых изображений.Таблица 9.3№Оригинал f (t )Изображение F ( p)1АAp2AetAp3AetAp4t1p25tet16 p  sin t2 p  2 27cos tp p  2 29.6. Законы Кирхгофа в операторной форме. Операторные схемы замещения.Операторный закон Ома.Первый закон Кирхгофа о равенстве нулю алгебраической суммы токов в узле воператорной области имеет вид:Ik( p)  0 .Второй закон Кирхгофа о равенстве алгебраической суммы ЭДС алгебраическойсумме напряжений для контура в операторной форме:Uk( p)   Ek ( p) .В Таблице 9.4 представлены уравнения для резистора, конденсатора и катушки вовременной и операторной области и соответствующие операторные схемы замещенияэлементов электрической цепи.Таблица 9.4Временная областьu(t )  Ri(t )u (t )  Ldidti (t )  CdudtОператорная областьU ( p)  RI ( p)U ( p)  pLI ( p)  Li(0)U ( p) 1u (0)I ( p) pCp9.7.

Расчет переходных процессов операторным методомРекомендуется следующая методика расчета операторным методом:1. Рассчитывается режим в цепи предшествующий коммутации, в результатенаходятся значения напряжений емкостных элементов и токов индуктивных элементовдля момента t = 0–.2. По известной топологии цепи, ее параметрам, найденным значениям токов iL(0–) инапряжений uC(0+), c помощью соответствующих схем замещений элементов цепи вовременной и операторной областях (Таблица 5.4) составляется операторная схемазамещения цепи. При этом операторные изображения Е(р) и J(р)функций e(t)J(t)источников находятся по таблице соответствия временных и операторных функций.3.

По операторной схеме с использованием известных методов расчета цепейнаходятся операторные токи и напряжения искомых переменных.4.По найденным изображениям находятся оригиналы – переходные токи инапряжения во временной области.Пример 9.3.

На вход последовательно соединенных R и L подается напряжение, законизменения которого u(t )  U 0et , U0 = 100 В, α = 500 1/с. Параметры элементов цепиR = 5 Ом, L = 0,02 Гн. Найти ток после коммутации.Решение:ПользуясьТаблицей9.3,Таблицей9.4составимэквивалентнуюоператорную схему цепи после коммутации:Так как i(0 )  i(0 )  i(0)  0 , то I ( p) U0U ( p), где β = R/L = 250R  pL L( p  )( p  )1/с.

Воспользуемся справочной таблицей: i(t ) U0[et  et ]=20(e250t  e500t ) A.L(  )Пример 9.4. Составить операторную схему для расчета переходного процесса в цепипосле коммутации. Найти операторное изображение U C1 ( p) .Решение: Пользуясь Таблицей 9.3, Таблицей 9.4 составим эквивалентнуюоператорную схему цепи после коммутации, начальные условия: uC1(0+) = uC1(0–) = 50 B,uC2(0+) = uC2(0–) = 0.Применим формулу двух узлов для нахождения искомого изображения:u (0)1 E pC1 C1[ E  pC1R1uC1 (0)](1  pC2 R2 )R1 pp50( p 2  950 p  19 104 )U C1 ( p ) 11p[(1  pC1R1 )(1  pC2 R2 )  pC2 R1 ] p( p 2  1150 p  19 104 ) pC1 R1R2  1/ pC2Рассмотренные примеры показывают, насколько формально проще использоватьоператорный метод в сравнении с классическим в цепях небольшой размерности.Рассмотренная в первом примере задача вообще не решается классическим методом, таккак очень сложно определить установившийся ток при экспоненциальном воздействии.Кроме того, при использовании операторного метода «некорректность» коммутации непроявляется, задача с некорректно поставленными начальными условиями (см.

параграф5.1) решается по обычному алгоритму. Однако,применение операторного методастановится не таким элементарным в части перехода от изображений к оригиналам.9.8. Переход от изображения к оригиналу. Теорема разложения.Для перехода от изображения искомой функции F(p) к ее оригиналу f(t) можноиспользовать следующие три способа:1.

Непосредственное нахождение f(t) по таблице соответствия оригиналов иизображений.2. Представление рациональной дроби изображенияF ( p) F1 ( p) am p m  am1 p m1  ...  a1 p  a0.F2 ( p)bn p n  bn1 p n 1  ...  b1 p  b0в случае n > m и различия всех корней pj, j = 1,2,…n полинома F2(p)F ( p) AnA1A2 ...

,p  p1 p  p2p  pnкоэффициенты.f (t )  A1ep1t A2eПриp2tэтомгдеAj –искомаятакфункцияназываемыеоригиналв виденеопределенныебудетиметьвид ...  Ane n .p t3. Использование теоремы разложения. Находим корни полинома F2 ( p)  0 .Если все корни pj полинома F2(p) вещественные различные, то оригинал изображенияF(p) имеет вид:F1 ( p j ) p j te , гдеj 1 F2( p j )nf (t )  F2( p) dF2 ( p).dpЕсли при этом один из корней F2(p), равен нулю, т.е. F2(p) = рF3(p) (дляопределенности первый р1 = 0), то f (t ) F1 (0) n 1 F1 ( p j ) p j te .F3 (0) j 2 p j  F3( p j )Если F2(p) имеет n/2 пар комплексно-сопряженных корней (здесь n - четное число),n/2 F (p ) p tто f (t )   2 Re  1 j e j .j 1 F2( p j )При наличии нулевого корня, т.е.

F2(p) = рF3(p),f (t )  F (p )p tF1 (0) n /2  2 Re  1 j e j  .F3 (0) j 2 p j  F2( p j )В случае если корни полинома кратные (равные), формула разложения усложняется.В таком случае решение можно получить, сводя полученное изображение к табличным.Пример 9.5. Даны операторные изображения тока I(p). Определить закон изменения i(t).а) I ( p) p4;p( p  10 p  34)2Решение: I ( p) F ( p)p4 1.

Применим теорему разложения:p( p  10 p  34) pF3 ( p)2F3(p) = p 2 + 10 p + 34, корниF3(p) = 0, p 1,2 = –5 ± j3 1/с.i (t )  F (p ) ptF1 (0)F (p ) ptF ( p ) p t F (0) 1 1 e1  1 2 e2  1 2 Re  1 1 e 1  ,F3 (0) p1 F3( p1 )p2 F3( p2 )F3 (0) p1 F3( p1 )F3( p)  2 p  10,F3( p1 )  10  j 6  10  j 6  6e j 90 ,F1 (0) 4 0,118,F3 (0) 34F1 ( p1 )5  j 3  41  j 3 0, 09e  j130,6 ,p1 F3( p1 ) (5  j 3) j 6 (5  j 3) j 6i (t )  0,118  2 Re[0, 09e  j130,6 e( 5 j 3) t ]  0,118  0,18e 5t Re[e j (3t 130,6 ) ]  0,118  0,18e 5t cos(3t  130, 6 )  0,118  0,18e 5t sin(3t  40, 6 ).б) I ( p) 0, 792 p  875.p  2400 p  1, 44 1062Решение: I ( p) F ( p)0, 792 p  875 1.6p  2400 p  1, 44 10F2 ( p)2Корни F2(p) = p 2 + 2400 p + 1,44·106 = 0 , корниI ( p) p1 = p2 = –1200 1/с (кратные).0, 792 p875.

Воспользуемся справочной таблицей2( p  1200) ( p  1200)2i(t )  0,792(1  1200t )e1200t  875te1200t  (0,792  75, 4t )e1200t .Пример 9.6. Определить uC1 (t ) переходного процесса примера 9.4.Решение: Операторное изображение напряжения на конденсаторе:u (0)1 E pC1 C1[ E  pC1 R1uC1 (0)](1  pC2 R2 )R1 ppU C1 ( p ) 11p[(1pCR)(1pCR)pCR]112221 pC1 R1R2  1/ pC2F ( p)50( p 2  950 p  19 104 ) 1.24p( p  1150 p  19 10 ) pF3 ( p)Корни полинома F2(p)= pF3(p) = 0; p1 = 0.Определим ненулевые корни: F3(p) = p2 + 1150 p + 19∙104 = 0, корни вещественныеразличные: p2= – 200 с–1, p3 = – 950 с–1.Определяем оригинал uC1(t), применяя теорему разложения. При наличии нулевогокорня:uC1 (t ) F (p ) p tF1 (0)F (p ) p t 1 2 e 2  1 3 e 3.F3 (0) p2 F3( p2 )p3 F3( p3 )F1 (0)  50 19 104 F3 (0)  19 104F1 (0) 50F3 (0)F1 ( p2 )  50[(200) 2  350(200)  19 104 ]  50  4 104 p2 F3( p2 )  (200)[2(200)  1150]  15 104F1 ( p2 )200 104 13,3.p2 F3( p2 )15 104F1 ( p3 )  50[(950) 2  950(950)  19 10 4 ]  9,5 105 p3 F3( p3 )  (950)[2(950)  1150]  7,15 1056F1 ( p3 )9,5 10 13,3.p3 F3( p3 ) 7,15 105После подстановки: uC1 (t )  50  13,3e200t  13,3e950t B.9.9.

Переходные процессы при «некорректных» коммутацияхВ реальных электрических цепях изменения, к примеру параметров элементов,происходят в течение весьма малых, но конечных промежутков времени t . При расчетепереходных процессов, замене реальных электрических цепей схемами замещенияфизическая картина упрощается. При использовании классического метода расчетаполагают, что изменение параметров участков электрических цепей происходитмгновенно, т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций