l18 (1274709), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

t  0 . При этом согласно сформулированным законам коммутации токи виндуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах скачком не меняются.Однако при скачкообразном изменении параметров L и C реактивных участков могутпоявляться «особые» разрезы и «особые» контура, что приводит к проблемам расчетатаких «некорректных» задач, неполной адекватности схем реальным цепям.Пусть в момент t  0 происходит размыкание ключа.После коммутации составим уравнение по второму закону Кирхгофа:di( L1  L2 )  i( R1  R2 )  E , закон изменения переходного тока определим классическимdtR Rметодом 1 2tEi(t )  iуст  iпрех (t )  Ae L1 L2 .R1  R2Дляопределенияпостояннойинтегрирования А необходимо определить значение тока в момент t  0 .

По законамкоммутации для тока в индуктивном элементе i(0 )  i(0 ) . До коммутации ток в первойкатушке iL1 (0 ) E iL1 (0 ) . При этом ток до коммутации во второй катушке был равенR1нулю iL2 (0 )  0  iL2 (0 ) . Но вследствие последовательного соединения катушек послекоммутации i(0 )  iL1 (0 )  iL2 (0 ) , при этом iL1 (0 )  iL2 (0 ) . Противоречие! Токи впервой и второй катушках изменились скачкообразно, что привело к появлению«бесконечно» больших напряжений на этих элементах. Это противоречие появилось всвязи с «некорректно» поставленной задачей, так как при расчете полагали, чтокоммутация происходит мгновенно, что в реальных физических условиях невозможно.Как разрешить противоречие? Так как приложенное напряжение источника э.д.с. Eконечно, конечными являются и напряжения на резисторах R1 и R2 , следовательно,конечной должна быть и сумма напряжений на катушках. В малый промежуток времени,когда происходит коммутация, т.е.

0  t  0 при скачкообразном изменении токов вкатушках это условие может выполняться, только если uL1 (0  t  0 )  uL2 (0  t  0 )или0 L10L1diL1dtdiL1dt0  L2dt(0 t  0 )dt    L20diL2diL2dtiL1 (0 )dt или.Проинтегрируемэтовыражение:(0 t  0 )L1di  iL1 (0 )iL 2 (0 )L2di .iL 2 (0 )Тогда L1 iL1 (0 )  iL1 (0 )    L2 iL2 (0 )  iL2 (0 )  , ( L1  L2 )i(0 )  L1iL1 (0 )  L2iL2 (0 ) .  (0 )  (0 )L1E.

Можно определить постоянную интегрирования L1  L2  R1Для нашей задачи i(0 ) AL1EE. При этом использовался обобщенный закон коммутации для L1  L2  R1 R1  R2потокосцеплений: для любого замкнутого контура суммарное потокосцепление послекоммутации ( t  0 ) равно сумме потокосцеплений до коммутации ( t  0 ) всех входящихв контур катушек  (0 )  (0 ) . При этом катушки могут входить в замкнутыйконтур только после коммутации.Замечание 1. Предположение, что коммутация произошла мгновенно ( t  0 )теоретически привело к тому, что напряжения на катушках приняли вид импульсовнапряжений«бесконечно»iL1 (t )  iL2 (t )  iуст  iпрех (t ) большойамплитуды.ЕслипослеE Ae pt , тоR1  R2для t  0 uL1 (t )  L1diL1для t  0 uL2 (t )  L2diL2dtdt  L1 pAe  pt , uL1 (0 )  0 , uL1 (0 )   L1 pA ;  L2 pAe pt , uL2 (0 )  0 , uL2 (0 )   L2 pA ;коммутациино для uL1 (0  t  0 )   и uL2 (0  t  0 )   .На рисунке показаны кривые напряжений на катушках с учетом возникновенияимпульсов «+∞» и «-∞», вызванных скачкообразным изменением токов в катушках.Однако интегралы этих импульсов за время 0  t  0 конечны и равны приращениямпотокосцеплений 1 и  2 .Замечание 2.

При идеализации процесса и использовании для определенияпостоянных интегрирования через обобщенный закон коммутации «нарушается» законсохранения магнитной энергии: WM (0 )  WM (0 ) . В действительности возникающеебольшое напряжение между контактами ключа вызовет появление электрической искрыили дуги, при этом часть энергии перейдет в теплоту. Кроме того, всякая катушкаобладает распределенной емкостью между ее витками, также имеется емкость междурасходящимися контактами ключа, поэтому в появляющемся колебательном контуречасть энергии излучается. Если учесть все энергетические процессы, то и условиянеизменности токов в катушках и магнитной энергии нарушены не будут.При скачкообразном изменении емкости участка, напримерпри переключенииключа из положения 1 в положение 2 (см. схему на рис.

9.10) нарушается законкоммутации для напряжений. Так до коммутации uC1 (0 )  E1 , uC 2 (0 )   E2 .Рис. 9.10ПозаконукоммутациидляuC1 (0 )  E1  uC1 (0 ) ,напряженийuC 2 (0 )   E2  uC 2 (0  ) . Но вследствие параллельного соединения напряжения наконденсаторахпослекоммутациидолжныбытьравны,авнашемпримереuC1 (0 )  uC 2 (0 ) .

Напряжение на конденсаторах меняется скачком, что приводит кпоявлению в ветвях с конденсаторамиимпульсов токов «бесконечно» большойамплитуды. Исходя из условия, что суммарный ток остается конечным, можно показать,что может быть применен обобщенный закон коммутации для зарядов: сумма зарядов докоммутации равна сумме зарядов после коммутации Q(0 )  Q(0 ) .Для нашегопримера напряжение на конденсаторах в момент t  0 может быть определено изуравнений: C1uC1 (0 )  C2uC 2 (0 )  C1uC1 (0 )  C2uC 2 (0 ) ,uC1 (0 )  uC 2 (0 )  uC (0 ) , тогда uC (0 )(C1  C2 )  C1E1  C2 ( E2 ) .

Дальнейшее определениепостоянных интегрирования при расчете переходного процесса классическим методомтрудности не представляет.Замечание 3. При идеализации процесса и использовании для определенияпостоянных интегрирования через обобщенный закон коммутации «нарушается» законсохранения электрической энергии: Избыток энергии переходит в теплоту при учетесопротивления контактов ключа, соединительных проводов, в энергию излученияколебательного контура при учете индуктивности соединительных проводов. Если учестьвсе энергетические процессы, то и условия неизменности напряжений на емкостныхэлементах и электрической энергии нарушены не будут.9.10.

Расчет переходных процессов в цепи при воздействии ЭДС произвольнойформы с помощью интеграла ДюамеляПусть к пассивной электрической цепи в момент времени t  0 подключаетсяисточник ЭДС (источник тока), напряжение (ток) которого меняется по произвольномузакону, заданному аналитически или графически. Интеграл Дюамеля позволяет свестизадачу расчета переходного процесса цепи с нулевыми начальными условиями,обусловленного ее подключением к источнику произвольной формы x(t) к задаче расчетаее соответствующей переходной функции h(t) и последующему нахождению искомойвеличины y(t) (т.е. реакции цепи на воздействие x(t)).Переходная функция и переходная проводимостьПереходная функция h(t) - реакции цепи на единичную скачкообразную функциювоздействия.

График единичного воздействия имеет вид:Математически единичное воздействие может быть определено следующим образом: 0, t  01(t )  . Если искомая реакция – ток, то переходная функция называется1, t  0переходная проводимость и обозначается g (t ) или Y (t ) . Переходная функция может бытьрассчитана для цепи с заданной схемой любым методом (классическим или операторным),а может быть непосредственно измерена, если включение подобного источникаосуществляется на реальной установке.Пример 9.7 Рассчитать переходную проводимость для RL - цепи и RC - цепи.Решение: Для RL -цепи определим переходную проводимость g (t )  iL (t ) 1(t ) :g (t ) R t1(1  e L )R.Для RC - цепи переходная проводимость Y (t )  iC (t ) 1(t ) и переходная функцияh(t )  uC (t ) 1(t ) :h(t )  1(1  eg (t ) 1tRC)1t1  RC.eRПодключение пассивной цепи в момент времени t  0 к постоянному источнику Еможно рассматривать как действие скачкообразной ЭДСE (t )  E 1(t ) .

Решениепереходного процесса в таком случае может быть найдено как i(t )  E 1(t )  g (t ) илиu(t )  E 1(t )  h(t ) . Если подключение источника происходит в момент времени t    0 ,то решение может быть записано с введение аргумента с «задержкой»: 0, t  1(t   )  1, t   0, t  E (t   )  . E, t  Импульсные возмущения и процессыБольшойклассрадиотехническихиэлектроэнергетическихзадачсвязансисследованием процессов в электрических цепях при воздействии кратковременныхвнешних возмущений длительность которых сравнима с длительностью переходныхпроцессов. Такие возмущения и процессы называют импульсными. При каждомвоздействии импульса ЭДС в цепи возникает переходной процесс; по истечении временидействия импульсной ЭДС в цепи начинается другой переходной процесс, связанный срассеянием энергии, накопленной за время импульса в магнитном поле катушки иэлектрическом поле конденсатора.

При воздействии импульса длительностью t1 можноиспользовать метод наложения. В простейшем случае прямоугольный импульс можетбыть рассмотрен как результат действия двух источников: напряжения U, включаемого вмомент t = 0 идействующего неограниченно долго, иисточника отрицательногонапряжения равного –U, подключаемого в момент t = t1 и также действующегонеограниченно долго:Решение при действии прямоугольного импульса длительностью t1 может бытьнайдено с использованием переходной проводимости:i(t )  U 1(t )  g (t )  (U ) 1(t  t1 )  g (t  t1 ) .На практике применяют импульсы разнообразной формы: треугольные,трапецеидальные, экспоненциальные и т.д.Использование формул Дюамеля при воздействии ЭДС произвольной формы.При нахождении решения переходного процесса (реакции y (t ) ) при действииисточника произвольной формы x(t ) используют формулы Дюамеля, при веденные вТаблице 9.5.Таблица 9.5ФормаВыражение реакцииПерваяty (t )  x(0)h(t )   x(t )h(t  )d0Втораяty (t )  x(0)h(t )   x(t  )h(t )d0Третьяty (t )  x(t )h(0)   x(t )h(t  )d0Четвертаяty (t )  x(t )h(0)   x(t  )h()d0В таблице 9.5x() dxdh, h() .dt t dt t Основная идея использования формул Дюамеля для расчета реакции цепи на сложноевоздействие сводится к решению более простой задачи – расчету реакции на постоянноеединичное воздействие и использование в дальнейшем принципа суперпозиции(наложения) для линейных цепей.Пусть задана воздействующая функция x(t).

Характеристики

Список файлов лекций