l27-2016 (1274718)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

12.2. Установившийся режим в однородной линии при синусоидальномнапряжении источника.При расчете установившихся режимов при синусоидальном напряжении источниказаданной частоты  2f используют комплексный метод расчета. Так как врассматриваемых процессах токи и напряжения – функции двух переменных i( x, t ) ,u ( x, t ) , то соответствующие им комплексные токи и напряжения остаются функциейодной пространственной координаты x: i( x, t )  Im ( x) , u( x, t )  U m ( x) или i( x, t )  I ( x) ,u( x, t )  U ( x) , гдеU ( x)I ( x), U ( x)  m. Учитывая, чтоI ( x)  m22d j , txdxполучим уравнения для комплексных токов и напряжений:dU R 0 I  jL0 I  ( R 0  jL0 ) IdxdI G 0U  jC0U  (G 0  jC0 )U .dxОбозначимZ0  R 0  jL0 -комплексноесопротивление наединицу длины,Y0  G 0  jC0 - комплексная проводимость на единицу длины.

ТогдаdUdI Z0I и  Y0U .dxdxПродифференцируем уравнения: d 2UdId2 IdUZ Y0и. После подстановки022dxdxdxdxполучаем уравнения Гельмгольца:d 2UdUd2 IdIZY Z 0Y0и.0 022dxdxdxdxДифференциальные уравнения, определяющие комплексные напряжения и токU ( x) и I ( x) одинаковые.Определим вторичные параметры однородной линии: характеристическое (волновое)сопротивлениераспространенияZс Z0R 0  jL0Y0G 0  jC0(такжеобозначаютZв )икоэффициент  Z 0 Y 0  ( R 0  jL0 )(G 0  jC0 ) . Коэффициент распространенияпринято представлять в виде     j , где действительные величины α и β называюткоэффициентом ослабления (α) и коэффициентом фазы (β).

Единицей коэффициентаослабления является Нп/м [Нп/км], а коэффициента фазы рад/м [рад/км] (Нп – непер, рад –радиан).Рис. 12.2Решение дифференциального уравнения для комплексных напряжений и токовU = U(x) и I = I(x) в координате, находящейся на расстоянии х от начала линии (рис.

12.2)может быть представлено в виде алгебраической суммы двух составляющих прямых иобратных волн:U = Uпр + Uобр,где U пр  A1eA1  A1ej1 xI = Iпр – Iобр,Iпр = Uпр/Zс,Iобр = Uобр/Zс,x A1exe jx , U обр  A2e  A2exe jx ,, A2  A2ej 2-комплексные постоянные интегрирования.Пусть на входе линии (рис.

12.3,а) напряжение U (0)  U1  U1пр  U1обр  A1  A2 ,ток I (0)  I1  I1пр  I1обр U1обр  A2 A1 A2U I Z , следовательно, U1пр  A1  1 1 с ,Zc Zc2U1  I1Z с.2Если расстояние отсчитывается от конца линии (рис. 12.3,б), то для комплексногонапряжения и тока сумма составляющих прямых и обратных волнU = Uпр + Uобр,I = Iпр – Iобр,xдля прямой волны U пр  A3e  A3exe jx , обратной U обр  A4eA3  A3ej3, A4  A4ej 4x A4exe jx ,-комплексные постоянные интегрирования.При x  0 в конце линии U (0)  U 2  U 2пр  U 2обр  A3  A4 , I (0)  I2  I2пр  I2обр следовательно, U 2пр  A3 U2  I2ZсU I Z, U 2обр  A4  2 2 с .22A3 A4 ,Zc Zcа)б)Рис.

12.3Введенные понятия прямых и обратных волн при установившемся синусоидальномрежиме облегчают представление и анализ процессов в линиях с распределеннымипараметрами.Физическисуществуетрезультирующийрежим,разложениенасоставляющие – удобный прием анализа процессов. В уравнение для напряжения(U = Uпр + Uобр) оба слагаемых результирующего напряжения входят со знаком «плюс»,так как напряжение и прямой и обратной волны направлены от прямого провода кобратному.

Для тока ( I = Iпр – Iобр) положительное направление выбрано по току прямогопровода, поэтому второе слагаемое имеет знак «минус», т.е. результирующий токнаходится как разность прямого и обратного тока.Переход в вещественную (временную) область дает решение для мгновенныхзначений ( x  0 в начале линии):xu( x, t )  2 Aesin(t x  1 )  2 A2ex sin(t  x  2 ) ;1i( x, t )  2A1 xAe sin(t  x  1  )  2 2 ex sin(t  x   2  ) ,ZcZcгде Zс и θ – модуль и фаза характеристического (волнового) сопротивления Zc  Zce j .Каждое из слагаемых напряжения и тока описывает бегущую волну. Причем первоеслагаемое соответствует прямой волне – она движется в направлении возрастаниякоординаты х, а второе слагаемое – обратной волной, которая движется в направленииубывания координаты х.Замечание: Каждое из слагаемых в любой фиксированной координате х= х1 представляетсобой периодическую функцию времени, т.е.

описывает простые гармоническиеколебания с частотой, определяемой частотой источника   2f . Любое колебаниеопределяется амплитудой и фазой. Так как рассматриваемая линия с потерями, то по мерераспространения колебаний вдоль линии часть электромагнитной энергии поглощается иамплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону: для прямой волнынапряжения по закону2 A1ex , для обратной2 A2ex .Рис. 12.4.Затухающая прямая волна, движущаяся от начала линии вписывается в область,ограниченную огибающими  2 A1ex (рис.

12.4). Волна, движущаяся от конца лини –обратная волна также вписывается в область, ограниченную огибающими  2 A2ex (рис.12.5).Рис. 12.5Основными характеристиками бегущей волны являются фазовая скорость и длинаволны. Фазовой скоростью волны v называется скорость перемещения фиксированнойфазыколебания,перемещаясьt x  1  const . Тогдаскоторойфазаостаетсяпостоянной,т.е.ddxdx (t  x  1 )  0 и    , фазовая скорость v  .dtdtdt Для обратной волны t  x   2  const и выражение для фазовой скоростианалогично, но с обратным знаком. Длиной волны λ называется расстояние междуближайшими двумя точками, колеблющимися в одной фазе.

Расстояние берется внаправлении движения волны,определяетсяиздля прямой и обратной волны λ (рис. 12.4, 12.5)соотношенияt ( x  )  1  t x  1  2t  ( x  )   2  t  x   2  2 . Следовательно, длина волны λ Длина волны зависит от частоты и фазовой скорости:  или2π.βv. При этом изменениеfфазы по длине линии l составит  l («фазовый набег»). Это изменение фазы будетсущественно влиять на процессы в линии, если  l будет соизмерим с 2 или длина линиибудет соизмерима с длиной волны (рис. 12.6).

На разных частотах длина волны разная,поэтому линия длиной l может быть рассмотрена и как цепь с распределеннымипараметрами (рис. 12.6) и как цепь с сосредоточенными параметрами, если ll2 и.Рис. 12.612.3. Длинная линия как четырехполюсник. Уравнения однородной линии сгиперболическими функциямиДля однородной линии, рассматриваемой как четырехполюсник (рис. 12.7),волновое сопротивление совпадает с характеристическим сопротивлением.Рис. 12.7Уравнения линии как симметричного четырехполюсника могут быть записаны в Апараметрах:U 1   A11 I   A 1   21A12  U 2 ,A22   I 2 Так как A1 U 2   A22 I   A 2   21A12  U 1 ,A11   I 1 U1  I1Z сU I Z, A2  1 1 с , то подставив эти выражения в уравнения22линии, получим:U ( x)  A1eI ( x)  xx A2e 11U 1  I 1 Z с  e x  U 1  I 1 Z с  e x ,22  x 1  U xA1  x A2 x 1  U 1e  e   I1 e   1  I1 e .ZсZс2 Zс2 ZсГруппируя члены в левой и правой части, будем иметь уравнения линии вгиперболических функциях:U ( x)  U 1eγxe x2xU e eI ( x)   1Zc2  I Z e1 xxc  I ex1e x2e2 x U1  Uch  x  I 1Z c sh  x1Zcsh  x  I 1 ch  xФормулы (7.8) определяют комплексные ток и напряжение в любой точке линии позначениям напряжения и тока в начале линии.Принимая x  0 в конце линии, т.е.

U (0)  U 2  U 2пр  U 2обр  A3  A4 ,I (0)  I2  I2пр  I2обр xU ( x)  A3e  A4eI ( x)  xA3 A4U  I2ZсU I Z, A4  2 2 с , получим , учитывая, что A3  2Zc Zc2211U 2  I 2 Z с  e x  U 2  I 2 Z с  e x ,22 x 1  U  xA3 x A4  x 1  U 2e  e   I 2 e   2  I 2 e .ZсZс2 Zс2 ZсКомплексные ток и напряжение при заданных значениях напряжения и тока в концелинии могут быть найдены по формулам (уравнения линии в гиперболических функциях):U ( x)  U 2 ch  x  I 2 Z c sh  xI ( x) U2sh  x  I 2 ch  xZc.Таким образом, А-параметры при рассмотрении линии как четырехполюсника имеют вид:A11  ch  l  A22 , A12  Zc sh  l , A21 sh  lZc.Разделив первое уравнение линии в А-параметрах на второе уравнение, с учетомZ н  Z с th lUU2 Z н (см.

рис. 12.7) получим входное сопротивлении линии Z вх  1  Z с.I2I1Z с  Z н th lВ режиме холостого хода (х) (Zн = ∞) и в режиме короткого замыкания (к) (Zн = 0) длявходного сопротивления линии имеемZ х  Z с cth l , Z к  Z с th l.Имеют место следующие соотношения:Zс  ZхZк ,Для входного сопротивленияZ вх  Z хZн  Zк,Zн  Zхth l  Z кZх.линии, работающей в режиме согласованной нагрузки(Zн = Zс) имеем Zвх = Zс.

Если Zн =Zс, тоU ( x)  U 2 ch  x  I 2 Z c sh  x  U 2eI ( x) и входное сопротивлениеxU2xsh  x  I 2 ch  x  I2eZcU1 U 2 Z c  Z c e j .I1I2Активная мощность может быть найдена по формуле P( x)  UI cos  отношение мощностей на выходе и входе линии  Для линии длиной l: l  lnU 22Zce2x cos  ,P2 e2l .P1U1IUI ln 1 , l  ln 1  ln 1 , l  u1  u2   i1   i2 , гдеU2I2U2I2u1 , u2 , i1 , i2 –начальные фазы напряжений и токов в начале и конце линии.Если U 2  U 20 , то при отсчете расстояния от конца линии мгновенные значенияu ( x, t )  U 2 mex sin(t  x), i ( x, t ) U 2 m xe sin(t  x  ).ZcПри произвольном сопротивлении нагрузки в линии возникает обратная волна.Комплексную число , определяемое по формулеZн  ZcZн  Zcназываюткоэффициентом отражения.

Оно связывает комплексы напряжений и токов обратной(отраженной) и прямой (падающей) волн в конце линии U 2обр  U 2пр (рис. 12.8).Так как U 2  U 2пр  U 2обр  U 2пр (1  ) , то U 2пр UU2, I 2пр  2пр , I 2обр  I 2пр .Zc(1  )Тогда U пр ( x)  U 2прexe jx , U обр ( x)  U 2обрexe jx  U 2прexe jx .Рис. 12.8ПриZн =Zсx  0 , обратной волны не возникает и U ( x)  U 2пр  U 2e ,xI ( x)  I2пр  I2e . Отсутствие обратной волны имеет то преимущество, что вся мощность,переносимая прямой волной концу линии, поглощается сопротивлением нагрузки. Если  0 , то часть мощности прямой волны возвращается источнику обратной волной..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций