l17 (1274708), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

xпрех (t )  eAt (x(0)  x уст (0)) ,Постоянная интегрирования в этом случае x(0)  x уст (0) .При расчете переходных токов и напряжений (в общем случае x(t ) ) классическимметодом решение находят как сумму установившейся и преходящей составляющей. Времяпереходного процесса рассчитывается из условия, что xï ðåõ (t )  0 , не превышает заданнойточности решения (рис.

9.2).Рис. 9.2 Схематичная временная диаграмма переходного процесса9.3. Методика расчета переходного процесса классическим метомРекомендуется следующая методика расчета переходных процессов в электрическихцепях классическим методом:1. Рассчитывается предшествующий режим (до коммутации), т.е. значениянапряжений емкостных элементов и токов индуктивных элементов для момента t = 0–uC(0-) и iL(0-)2.

По законам коммутации находят независимые начальные условия – напряженияемкостных элементов uC(0+)= uC(0-) и токи индуктивных элементов iL(0+)= iL (0-).3. Рассчитывается установившийся режим в цепи после коммутации, в результатенаходится установившаяся составляющая искомой переменной xуст(t).4. Составляется характеристическое уравнение цепиРn(p) = anpn + an–1 pn–1+ …+ a1 p+ a0 = 0и находятся его корни (собственные частоты цепи) pj, j = 1,2,…,n.5.

В зависимости от вида корней характеристического уравнения определяется виданалитического представления преходящей составляющей искомого тока или напряженияxпрех(t), записывается полное решение переходного тока или напряжения. Постоянныеинтегрирования находятся после определения зависимых начальных условий.Рассмотрим пункты 4,5 методики подробнее.Длясоставленияхарактеристическогоуравненияможнодифференциальное уравнение видаPn (ddnd n1dx) x  an n x  an 1 n1 x  ...  a1  a0 x  f (t ) ,dtdtdtdtсоставитьописывающеепереходный процесс в цепи после коммутации.

Правила составлениятакого уравнения основываются на использовании законов Кирхгофа, компонентныхуравнений элементов: резистора u  Ri , индуктивной катушки uL  LiC  CduCdtdiL, конденсатораdtи последовательного разрешения этих уравнений относительно искомойпеременной. Стоящий в правой части уравнения свободный член соответствует функциямдействующих в цепи после коммутации источников. Его формально отбрасывают,получают однородное уравнение Pn (d) x  0 . Замена в последнем уравнении оператораdtdjна переменную рj дает искомое характеристическое уравнение.dt jПорядок n характеристического уравнений определяется числом накопителей энергии –индуктивных катушек и конденсаторов.

Возможен и более простой путь составленияхарактеристического уравнения: находится комплексное входное сопротивление цепиZвх(jω) для какой-либо ветви (после ее разрыва применительно к топологии цепи,образующейся после коммутации). Приравняв числитель Z(jω) к нулю и заменив в немоператор jω на р получают искомое характеристическое уравнение Pn(p)= Zвх(p) = 0.Вид преходящей составляющей тока зависит от вида корней характеристическогоуравнения. Если все корни вещественные различные, то1xпрех (t )  Ae A2e1ptpt ...  Anepnt.Если в числе корней есть пары комплексно-сопряженных корней, напримерр1,2 = -α ± jω, то соответствующую им часть суммы A1ep1t A2eptудобно представить в jt A2e jt )  Aet sin(t  ) .виде et ( Ae1Если же все корни одинаковые (n – кратных корней) р1 = р2 = …= рn = р, тоptxпрех  Ae A2te pt  ...  Ant n1e pt  ( A1  A2t  ...

 Ant n1 )e pt .1Более подробно рассмотрим эти случаи при расчете цепей с одним и двумянакопителями n=1,2.Для определения постоянных интегрирования значение преходящей составляющейxпрех(0+) = x(0+) – xуст(0+)выражаютчерези n-1 – ее производной в момент t = 0+, т.е.независимыеначальныеусловияпоd n1 xпрехdt n1/ t 0составленнымдляпослекоммутационной схемы законам Кирхгофа. Удобно использовать и чисторезистивные эквивалентные расчетные схемы для t  0 , составленные с использованиемтеоремы компенсации.9.4. Расчет переходного процесса классическим метом для цепи с одним накопителемДля n=1 цепь описывается дифференциальным уравнением первого порядка ипреходящая составляющая искомого переходного тока или напряжения будет иметь вид:xпрех (t )  Ae pt , A  x(0 )  xуст (0 )Включение цепи с резистором и катушкой на постоянное напряжение1.

До коммутации тока в катушке не было:iL (0 )  iL (0 )  02. Установившаяся составляющая тока послекоммутации определяется из условия, чтонапряжение на индуктивном элементе приt   равно нулю: uLуст  0 , тогда iL уст E.R3. Преходящая составляющая тока iLпрех (t )  Ae pt , напряжения uLпрех (t )  Be pt .4. Методом входного сопротивления р определяют из характеристическогоуравнения Lp  R  0, p =-R.L5. По начальным условиям определяют постоянные интегрирования дляпереходного тока iL (t ) Для t  0 iL (0 ) A 0RR t tE Ae L и напряжения uL (t )  0  Be L .RE A , uL (0 )  0  B .

Так как iL (0 )  iL (0 )  0 (н.н.у.), тоRE. Для определения зависимого начального условия uL (0 ) составимRуравнение Кирхгофа для напряжений: E  uL (0 )  iL (0 ) R . Следовательно,uL (0 )  E и B  E .E E  RL tРешение: ток в катушке после коммутации iL (t )   e , напряжение на катушкеR RuL (t )  EeR tL.На рис. 9.3 показаны графики кривых тока и напряжения и расчетные схемы до ипосле коммутации: во время переходного процесса и в установившемся режиме, когдаможно считать переходной процесс закончившимся.Рис.

9.3. Включение цепи с резистором и катушкой на постоянное напряжениеИз решения видно, что ток нарастает от нуля до установившегося значения.Скорость нарастания тока осуществляется по экспоненте с отрицательным показателемRRdiLE RE  t E  t     e L  e L . В момент t  0 эта скорость максимальна и равна , соLdtL LRвременем она падает практически до нуля, ток перестает меняться и процесс выходит наустановившийся режим. Для определения времени переходного процесса рассчитываютпостоянную времени  1 L . Время переходного процесса определяют как 3  5 .p RВключение цепи с резистором и катушкой на синусоидальное напряжение1.

До коммутации тока в катушке не было:iL (0 )  iL (0 )  02. Если источник синусоидальныйe(t )  Em sin(t  ) B , то установившийся токiуст (t )  I msin(t    ) рассчитываетсякомплексным методом: I m EmR   L 22,   arctgL.R3. Преходящая составляющая тока iLпрех (t )  Ae pt , полное решениеiL (t )  I msin(t    )  Ae pt .4. Методом входного сопротивления р определяют из характеристическогоуравнения Lp  R  0, p =-1 LR ., постоянная времени  p RL5.

По начальным условиям определяют постоянные интегрирования дляпереходного тока iL (0 )  iL (0 )  0 : 0  I msin(  )  A .Решение: iL (t )  I msin(t    )  I msin(  )eR tL. На рис. 9.4 приведены кривыепереходного тока и его составляющие для разных значений    .Рис. 9.4Если в момент включения установившийся ток имеет наибольшее значение (при 2), переходной ток достигает максимального по модулю значения приблизительночерез половину периода, однако ни при каких условиях это значение не превыситудвоенной амплитуды установившегося тока. Если в момент включения установившийсяток равен нулю, т.е.     0 , то преходящий ток не возникает (рис. 9.5).Рис.

9.5.Включение цепи с резистором и конденсатором на постоянное напряжение (зарядконденсатора)1. До коммутации конденсатор не был заряжен:uC (0 )  uC (0 )  02. Установившаяся составляющая напряжения наконденсаторе после коммутации определяется изусловия, что при t   ток в конденсатореравен нулю: iуст  0 , тогда uC уст  E .3. Преходящая составляющая тока iпрех (t )  Ae pt , напряжения uC прех (t )  Be pt .4.р определяют из характеристического уравнения RCp  1  0, p =-1.RC5. По начальным условиям определяют постоянные интегрирования дляпереходного тока i(t )  0  Ae1tRCи напряжения uC (t )  E  Be1tRC.Для t  0 uC (0 )  E  B , i(0 )  0  A . Так как uC (0 )  uC (0 )  0 (н.н.у.), тоB  0  E . Для определения зависимого начального условия iC (0 ) составимуравнение Кирхгофа для напряжений: E  uC (0 )  i(0 ) R .

Следовательно,i (0 ) EEи A .RR1tE  RCРешение: ток в конденсаторе после коммутации i (t )  e, напряжение наRконденсаторе uC (t )  E  Ee1tRC.На рис. 9.6 показаны графики кривых тока и напряжения и расчетные схемы до ипосле коммутации: во время переходного процесса и в установившемся режиме, когдаможно считать переходной процесс закончившимся.Рис. 9.6.

Включение цепи с резистором и конденсатором на постоянноенапряжениеДля определения времени переходного процесса рассчитывают постояннуювремени  1 CR . Время переходного процесса определяют как 3  5 .pВключение цепи с резистором и конденсатором на синусоидальное напряжение1. До коммутации конденсатор не был заряжен:uC (0 )  uC (0 )  02. Если источник синусоидальныйe(t )  Em sin(t  ) B , то установившийся токiуст (t )  I msin(t    ) рассчитываетсякомплексным методом: I m Em 1 R2   C 2,   arctg1.

Напряжение наCR1конденсаторе uC уст (t )  U Cmsin(t      ) , U Cm  I m.2C3. Преходящая составляющая напряжения на конденсаторе uCпрех (t )  Be pt , полноерешение uC (t )  U Cmsin(t      )  Be pt .24. р определяют из характеристического уравнения RCp  1  0, p =времени  1, постояннаяRC1 RC .p5. По начальным условиям определяют постоянные интегрирования для переходногонапряжения uC (0 )  uC (0 )  0 : 0  U msin(    )  B . Решение:2 1tuC (t )  U msin(t      )  U msin(    )e RC . На рис.

9.7 приведены кривые22переходного тока и его составляющие для значения    Рис. 9.7  .2 2Если в момент включения установившееся значение напряжения на конденсатореравно нулю, то и преходящее напряжение равно нулю. В цепи сразу устанавливаетсярежим (рис. 9.8).Рис. 9.8При изменении параметров R и C элементов меняется  - постоянная времени исамо время переходного процесса. На рис. 9.9 показано как меняется кривая переходногонапряжения и тока при изменении параметров элементов при включении цепи срезистором и конденсатором на постоянное напряжение.Рис.

Характеристики

Список файлов лекций