Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Потенциалы А и <р, удовлетворяющие условию калибровки(1.27),можно выразить через векторполяризационный потенциал, или векZ-тор Герца:дZА= Еаµа дt;<p=-divZ.(1.31)Эти выражения удовлетворяют уравнению калибровки(1.27).Подставляя выражения (1.31) в уравнение (1.28) или (1.29), получаемl(v z-eµ2дtад z)=-_!_а дt2Еа2(1.32)илид2zРдtЕаЛZ-еаµа -2- =-- ,Jгде вектор р = J dt -(1.33)называется вектором поляризации по аналогии. С током свободных зарядов вектор р связан так же, как истинный вектор поляризации Р (вектор поляризации единицы объема диэлектрика) связан с токомполяризации, т.
е.J= дрдt'дРJпол =дtПо существу, вектор р отличается от вектора Р. Вектор р определяется неопределенным интегралом, причем постоянную интегрирования можно принятьравной нулю, так как достаточно, чтобы векторZудовлетворял условию(1.32),а оно будет удовлетворяться независимо от того, будет ли к интегралу приписа-на постоянная или нет (так как J =др).дtПодставляя(1.31) в (1.24)иЕН(1.25), получаемa2z= -Еа µа ддt2= Еа -rotZ.дt.+ grad d1v Z;(1.34)1.9. Уравнения поля в частных производных второго порядка39Сравнивая полученные уравненияиженностей поля Е и Н,видим, что все эти(1.22), (1.23), (1.28), (1.29)потенциалов А и <р, вектора Герца Z,(1.33)для напрявеличины удовлетворяют одинаковым уравнениям вида1 д2FЛF--т-д2 =-х,Vt(1.35)гдеХРешение уравнения= х(Р,1v=~==✓faµa .J, t);(1.35) данов приложении и имеет вид (П.79)F(r,t)=_!_f X(t-r/ v) dV.4nrVУчитывая в(1.22), (1.23), (1.28), (1.29)и(1.33)значение 1,(t- r/v), получаемследующие выражения:• для запаздывающегоскалярного потенциала<p(t) = _1_f p(t- r/ v) dV;41tfar(1.36)V• для запаздывающего векторного потенциалаfA(t) = µа J(t - r/ v) dV;4nr(1.37)V• для запаздывающегопотенциала ГерцаZ=-1- fp(t-r/ v) dV.(1.38)r41tfaVВ большинстве практических случаев объемное распределение токов и зарядов можно заменить их линейным распределением по проводнику, тогда выражения(1.36)и(1.37) примут вид<p(t)= _1_ fA(t)=&J4n(1.39)'t(t- r/ v) dl;r41tfaLl(t - r/ v) dl,r(1.40)Lгде 't -линейная плотность заряда;/-ток.Из полученных выражений следует, что потенциалы в любой точке переменного поля, отстоящей от источника на расстояниениtr,в любой момент времеопределяются плотностями зарядов и токов источников в предшествующий401.момент t -r/v -r/ v.Основные характеристики и уравнения поля и средыПоэтому эти потенциалы называются запаздывающими.
Здесьвремя, необходимое для распространения поля от источнm<а к исследуемойточке.Электромагнитное поле возбуждается зарядами и токами проводимости ираспространяется от места возбуждения с конечной скоростьюv=J.:;: . Вfaµaвоздухе скорость распространения электромагнитных волн равна скорости света.1.10. Классификация электромагнитных полейКлассификация электромагнитных полей основана на зависимости векторовполя Е и Н от времени.Нестационарное поле (или поле, быстро изменяющееся во времени) создается неравномерно движущимися зарядами. Это поле в линейной среде описывается всей системой уравнений Максвелла(1.22), (1 .23), (1.28), (1.29), (1.33).(I)-(IV)и волновыми уравнениямиЭлектромагнитные потенциалы и напряженности поля связаны соотношениямизаписьmаются в форме(1.24) и (1.25). Уравнения состояния(1.7), граничные условия приведены в§ 1.7.Очевидно, что при нестационарном поле членыМаксвелла(1)дD-дtидВ-дtдля средв уравненияхи (П) значительны, т.
е. электромагнитное поле в этом случае может распространяться вдали от зарядов и токов, создающих поле.Квазистационарное поле (или поле, медленно изменяющееся во времени)также создается неравномерно движущимися зарядами( J = J(t) ).Однако скорость изменения процесса в этом случае намного меньше, чем в предыдущем.Квазистационарное поле описывается теми же уравнениями Максвелла, что инестационарное. Изменяется лишь первое уравнение. При наличии тока проводимости в этом уравнении можно пренебречь током смещения, так как для ква-дDзистационарных процессов дt« J.В этом случае уравнение Максвелла(1)будет иметь видrotH "" J.Остальные уравнения останутся без изменения.
Излучение во внешнее проvстранство электромагнитнои энергии ввиду малости производныхдDдtидВдtнезначительно. Электромагнитное поле концентрируется около зарядов и проводников с током.Учитьmая малость производныхд2А-дt2ид2---fдtпо сравнению с другими членами, можно переписать уравнения Даламбера в следующем виде:1.1 О.Классификация электромагнитных полейЛА,,._µaJ;Л<р= -р/Еа.41(1.41)Решения этих уравнений, называемых уравнениями Пуассона, имеют видA(r, t)= ~;fJ~) dV;V(1.42)1<p(r, t)=--fp(t)dV.r41tfaVВыражения для напряжеююстей поля, записываемые через электромагнитные потенциалы, уравнения состояния среды и граничные условия те же, что и вслучае нестационарного поля.Понятие быстроты электромагнитного процесса относительно. Если областьдостаточно мала, то при любой скорости изменения процесс, протекающий вней, можно рассматривать как квазистационарный.
В области же значительногоразмера, проявятсявсе особенности этого процесса как быстропеременного. Кквазистационарным полям относятся поля, создаваемые переменным током, текущим в проводах.Стационарное поле (или поле, не изменяющееся во времени) создается равномерно движущимися зарядами (поле постоянного токаописывается уравнениями Максвелла, в которыхдD-дtJ(t)= const ).
Это поле= -дВ = О :дtrotH =J; divD = р;rotE = О; divB = О.Излучение электромагнитного поля отсутствует. Стационарное поле создается около проводов, по которым течет постоянный ток.Уравнения состояния среды и граничные условия не изменяются. Электромагнитные потенциаль1 находятся решением уравнений ПуассонаA(r)f= µа I4ndV;rV1 JP-dV.r<p(r)=-4ща(1.43)VНапряженности поля связаны с электромагнитными потенциалами согласно(1.24) и (1.25) соотношениямиН= -1µаrot А;Е=- grad <р.Уравнения стационарного поля не являются какими-либо приближениямиисходных уравнений Максвелла, а точно соответствуют определенному частному случаю.1.42Основные характеристики и уравнения поля и средыСтатическое поле характеризуется независимостью от времени и полнымотсутствием движения зарядов(J =О).Исходные уравнения и граничные условия электродинамики в этом случаеимеют следующий вид:rotE = О;divDD= р;=ЕаЕ;(1.44)= E't( 2);E't( l)Dn(l) - Dn(2 )rotH=О;divB= О;= %.В = µа Н;(1.45)H't( l) =Н-с(2) ;= Вп(2) ·B n( l)Таким образом, уравнения разбиваются на две независимые системы; в однуиз них входят только электрические величины , в друrуюСистема уравненийrot Е = О,(1.44)-только магнитные.описывает электростатические поля.
Посколькуто поле потенциально иЕ= -gradq>,где <р - электростатический потенциал, удовлетворяющий уравнению ПуассонаЛq> = -р/Еа .Решение этого уравнения даетq>(r )= -141tEaJP-r dV.VСистема уравнений(1.45) описьmает магнитостатические поля.Первое уравнение этой системы позволяет формально записатьгде (!)м -магнитостатический потенциал, который, как следует из второго уравнения системы(1.45),удовлетворяет уравнению Лапласа.Поскольку граничные условия для Н совпадают с граничными условиямидля Е электростатической задачи, то решение магнитостатической задачи совпадает с решением соответствующей электростатической задачи и может быть получено из них путем замены Е на Н и Еа на µа.1.11.Электродинамика движущихся сред431.11. Электродинамика движущихся средПриведение законов электродинамики к релятивистскому виду заключаетсяв представлении этих законов в четырехмерной векторной форме.
Такое представление определяет ряд физических зависимостей между отдельными величинами, важных для более глубокого понимания электромагнитных процессов.Пространство и время представляют собой единую физическую сущностьчетырехмерное пространство--время. Пространство и время не утрачиваютсвоей качественной специфики, но в то же время они взаимосвязаны и взаимозависимы. Пространственные и временные характеристики электромагнитногополя зависят от движения заряженных тел. Это не простое соединение электрического и магнитного полей, а глубокое диалектическое единство качественноразнородных и одновременно тесно связанных между собой форм существования материи.Обладает ли среда свойствами диэлектрика или магнетика-зависит от того, находится она в покое или в движении.
Но это объясняется не качественнымизменением параметров среды, а их относительностью.Магнитогидродинамические генераторы, электромагнитные насосы, ускорители элементарных частиц и т. д. представляют собой устройства, с которымивсе чаще приходится сталкиваться инженеру-радисту. Для ясного пониманияпринципа действия этих устройств и их расчета совершенно необходимы современные представления в области электродинамики движущихся сред.1.12. Уравнение непрерывности преобразования тока и зарядаПерепишем уравнение непрерывности(V),принявJ = pv (v -скоростьдвижения зарядов), в видеdiv pv + др = О.дt(1.46)Преобразуя это уравнение к четырехмерному виду (см.§ П.3), получаемдjсрv';PV; +-дх4Таким образом, векторpvи скаляр.(i = 1, 2, 3).jcpможно рассматривать как три пространственных и одну временную составляющую четырехмерной плотности токаJ = (pv 1, pv2 , pv3 , jcp),при этом(1.46)переходит в уравнение• J ;= DivJ=O,где(1.47)(1.48)441.Основные характеристики и уравнения поля и среды....Х'3кт---.-..
.;__ -Xзfi?:PC J1о.,..-r----,..~-u/__ 1.,, ....к·кХ '3u1-/ 1Х3 ~ Е:L.-L--,..В:1оК'J', р'Х2х,Х2х'1ба-Е ', В'о·х'10'Рис./__ 1,,'х,1.6. Движущиеся инерциальные системыпространственно-временной оператор, соответствующий оператору ГамильтонаV,применяемому к вектору в трехмерном пространстве, и называемыйчетырехмерной дивергенцией ( обозначаетсяDiv вотличие от обозначенияdivвтрехмерном пространстве).Пользуясь четырехмерным представлением плотности тока(1.47),можновидеть, как она меняется при переходе от одной инерциальной системы к другой(рис.1.6, а).Пусть в системе К имеется ток плотностьюJ и неподвижный зарядuвплотностью р и система К движется относительно системы К' со скоростьюнаправлении оси О'х;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
