Lektsia_4 (842116)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция №4Уравнения электромагнитного поля в частных производных второгопорядка (волновые уравнения)Уравнения для напряженностей поля. Первое и второе уравненияМаксвелла с учетом уравнений состояния среды (1.7) можно переписать ввидеE P J, t tHM rot E   0 0,tt rot H   0(1.16)или с учетом (1.7б)E P нлrot H   л E  J нл  J ст ,ttM нлл Hrot E   a 0.tt aл(1.16а)Для определения волнового уравнения напряженности электрическогополя возьмем rot от обеих частей второго уравнения системы (1.16)rot rot E   0rot H   0 rot M.ttПодставляя сюдаrot H изпервого уравнения системы (1.16), получаемволновое уравнение 2E 2PJrot rot E   0  0 2   0 2   0  0 rot M.tttt(1.17)Первый и третий член правой части уравнения (1.17) характеризуютдополнительные источники поля в виде токов поляризации и намагниченности, так как плотности этих токов определяются выражениямиJ пол P,tJ нам  rotM,гдеJ пол— плотность тока поляризации;J нам— плотность тока намагни-ченности.Действительно, элементарный магнитный диполь можно представитькак ток i, протекающий по контуру, ограничивающему элементарную площадкуx2iнам iнамdS .При этом магнитный момент магнит-dx 2ного диполя определяется выражениемm  i dS,dx1x10илиm  M dV ,x3Рис.

1.5. К определению токанамагниченностигдеdV— элементарный объем.Если намагниченность среды однородна, то токи на общих границахсоседних контуров, текущие в противоположные стороны, взаимно компенсируются, и суммарный магнитный ток равен нулю. Если намагниченностьнеоднородна, то токи, текущие в соседних контурах, неодинаковы, и компенсации не происходит. При этом суммарный магнитный ток не равен нулю.Рассмотрим для простоты случай, когда намагниченность направлена пооси x3, т.

е.M  (0, 0, M 3 ),что соответствует расположению контуров элементарных диполей вплоскости 0x1x2. Рассмотрим два контура с токаминамагниченность среды неоднородна, то токи iнамm M 3 dV M 3 d x1 d x2 d x3,dSdSd x1 d x2M 3d x1  d x1 d x2 d x3 M3 x1m  iнам.dSd x1 d x2Ток на общей границе контуров  iнам iнам  iнамM 3d x1 d x3 ,x1iнамиiнамiнамиiнам(рис. 1.5).

Еслинеодинаковысоответствующая плотность токаJ нам iнамM 3.d x1 d x3x1В общем случаеM  ( M1 , M 2 , M 3 ), J нам  rot M .Если свободные заряды отсутствуют ( = 0), тоdiv D  0и согласно (П.II)rot rot E  grad div E  E  E.При этом волновое уравнение (1.17) будет иметь вид 2E 2PJE   0 0 2   0 2   0  0 rot M.tttt(1.18)Аналогичным образом, взяв rot от обеих частей первого уравнения системы (1.16) и подставляяrot Eиз второго уравнения, получим волновоеуравнение напряженности магнитного поля 2HProt rot H   0 0 2  0 0 rot M  rot rot Jtttили с учетом того, чтоdiv H  0,получим 2HPH   0  0 2   0  0 rot M  rot rot J.ttt(1.19)Аналогичным путем можно получить волновые уравнения для напряженностей поля E и H из системы (1.16а)2Eл л  Erot rot E  aa 2 tt2 нлнлст PJJ  aл  aл  aл  0 rot M нл ,2tttt2л л Hл л  Hrot rot H   a  aa 2 tt 2 M нлM нлP нлллнлст   a  0  0 rot rot J  rot J ,ttt 2 aл  л(1.17а)илиE   aл  л aл2Eл л  E a a 2 ttнлст 2 P нлл Jл Jrot M нл ,aa02ttttH  aл  0  aл  л(1.18а)2Hл л  H  a a 2 tt 2 M нлM нлP нлл  0 rot rot J нл  rot J ст .2tttЗдесь члены, содержащиеP нл , M нл , J нл ,(1.19а)можно рассматривать как до-полнительные источники поля, порождающие различные нелинейные эффекты (появление гармоник, смешение частот, выпрямление и т.

д.)В случае линейной среды уравнения (1.18а) и (1.19а) имеют видE   aл  лH  aл  л2Eл л  E  a a 2 tt aлJ ст,t2Hл л  H  a  a 2   rot J ст .ttили, так как aл  лEJ стJ  aл  aл ,ttt aл  лH rot J ст   л rot E  rot J ст  rot J,tто(1.20)(1.21)E   aл  aлJ 2E,  aл2ttH   aл  aл 2H  rotJ.t 2(1.22)(1.23)Векторные уравнения (1.22) и (1.23) эквивалентны шести скалярным,в то время как уравнения Максвелла (I—IV) эквивалентны восьми скалярнымуравнениям.Неоднородные векторные уравнения (1.22) и (1.23) называются неоднородными векторными волновыми уравнениями, или уравнениями Даламбера.Уравнения для электромагнитных потенциалов.

Эти уравненияполучим для линейной среды. Из уравнения Максвелла (IV)div B  0следует, что поле магнитной индукции соленоидально, и вектор Bможно представить в видеB  rotA,где A — векторный электромагнитный потенциал.Если среда линейна, тоH1rot A.a(1.24)Подставляя (1.24) в (II), получимA rot  E   0.t EA grad( ).tОтсюдаE   grad  A,t(1.25)где  — электромагнитный скалярный потенциал.Потребуем, чтобы E и H, выраженные через A и , удовлетворялиуравнению (I).

Подставим (1.24) и (1.25) в (I)rot rot A   a J   a  aПреобразуяrot rot A ,  A grad   .t  tполучим2A  A   a  a 2   A   a  a   a J,t t(1.26)Это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным, связывающим четыре скалярных величины Ai и . Для того чтобы решить уравнение(1.26), необходимо ввести дополнительное условие для потенциалов A и ,называемое условием калибровкиA   a  a 0.t(1.27)Тогда (1.26) переходит в уравнение2AA   a  a 2   a J.t(1.28)Уравнение для  найдем подстановкой (1.25) в (III)A    ,taподставляя значениеA,из (1.27) получим 2   a  a 2   .at(1.29)Уравнения (1.28) и (1.29) представляют собой неоднородные волновые уравнения, связывающие скалярный и векторный потенциалы с величинами плотностей заряда  и тока J.Введение электромагнитных потенциалов A и  упрощает решениезадач электродинамики, так как решение уравнений сводится к определениючетырех величин (трех проекций A и ) вместо шести (проекций E и H); E иH находятся простым дифференцированием выражений (1.24) и (1.25).Два поля физически тождественны, если они характеризуются однимии теми же векторами E и H.

Если заданы потенциалы A и , то согласно(1.24) и (1.25) однозначно определены E и H, а значит, и поле. Однако одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Если в выражения (1.24) и (1.25) подставитьA  A  grad f ,   f,t(1.30)где f — произвольная функция от координат и времени, то E и H неизменяются.

Таким образом, преобразование потенциалов вида (1.30) не изменяет поля. Такая инвариантность называется градиентной. При наложениикалибровочного условия (1.27) электромагнитные потенциалы определяютсяоднозначно.Вектор Герца. Потенциалы A и , удовлетворяющие условию калибровки (1.27), можно выразить через вектор Z — поляризационный потенциалили вектор Герца:A   a aZ,    div Z.t(1.31)Эти выражения удовлетворяют уравнению калибровки (1.27).Подставляя выражения (1.31) в уравнение (1.28) или (1.29), получим 22Z JZa at at 2 (1.32)или 2ZpZ   a  a 2   ,atгде векторp   J dt(1.33)— называется вектором поляризации по аналогии.С током свободных разрядов он связан такжеpJtкак истинный вектор поляризации P (вектор поляризации единицыобъема диэлектрика) с током поляризацииJ пол P.tПо существу вектор p отличается от вектора P.

Вектор p определяетсянеопределенным интегралом, причем постоянную интегрирования можнопринять равной нулю, так как достаточно, чтобы вектор Z удовлетворялусловию (1.32), а оно будет удовлетворяться независимо от того, будет ли кинтегралу приписана постоянная или нет (так какJp).tПодставляя (1.31) в (1.24) и (1.25), получим2ZE   a  a 2  grad div Z,tH   a rot Z.t(1.34)Сравнивая полученные уравнения (1.22), (1.23), (1.28), (1.29) и (1.33)для напряженностей поля E и H, потенциалов A и , вектора Герца Z, видим,что все эти величины удовлетворяют одинаковым уравнениям вида1  2FF  2 2  χ,v t(1.35)гдеχ  χ (, J , t ),v1 a a.Решение уравнения (1.35) дано в приложении и имеет вид (П.79)F (r , t ) 1  χ (t  r v)dV .4 rVУчитывая в (1.22), (1.23), (1.28), (1.29) и (1.33) значение χ (t  r v), получим следующие выражения:для запаздывающего скалярного потенциала(t ) 1   (t  r / v)dV ,4 a r(1.36)Vдля запаздывающего векторного потенциалаA(t )  a  J (t  r / v)dV ,4 r(1.37)Vдля запаздывающего потенциала ГерцаZ1  p(t  r / v)dV .4 a r(1.38)VВ большинстве практических случаев объемное распределение токови зарядов можно заменить их линейным распределением по проводнику, тогда выражения (1.36) и (1.37) примут вид(t ) 1   (t  r / v)dl ,4 a r(1.39)LA(t )  a  I (t  r / v)d l,4 r(1.40)Lгде  — линейная плотность заряда; I — ток.Из полученных выражений видно, что потенциалы в любой точке переменного поля, отстоящей от источника на расстоянии r, в любой моментвремени t определяются плотностью зарядов и токов источников в предшествующий момент t  r v .

Поэтому эти потенциалы называются запаздывающими. Здесь r / v — время, необходимое для распространения поля от источника к исследуемой точке.Электромагнитное поле возбуждается зарядами и токами проводимости и распространяется от места возбуждения с конечной скоростьюv1 a a. В воздухе скорость распространения электромагнитных волн равнаскорости света.10. Классификация электромагнитных полейКлассификация электромагнитных полей основана на зависимостивекторов поля E и H от времени.Нестационарное поле, или быстро изменяющееся во времени поле,создается неравномерно движущимися зарядами. Это поле в линейной средеописывается всей системой уравнений Максвелла (I—IV) и волновыми уравнениями (1.22), (1.23), (1.28), (1.29), (1.33).

Электромагнитные потенциалы инапряженности поля связаны соотношениями (1.24) и (1.25). Уравнения состояния для сред записываются в форме (1.7), граничные условия приведеныв § 1.7.Очевидно, при быстро изменяющемся во времени поле членыBtDtив уравнениях Максвелла (I) и (II) значительны, т. е. электромагнитное по-ле в этом случае может распространятся вдали от зарядов и токов, создающих поле.Квазистационарное, или медленно изменяющееся во времени поле,также создается неравномерно движущимися зарядами ( J  J(t ) ). Однако скорость изменения процесса в этом случае много меньше, чем в предыдущем.Квазистационарное поле описывается теми же уравнениями Максвелла, что инестационарное. Изменяется лишь первое уравнение.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги