Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Например, причастотамисоиЗсопоявляютсячастотыЗсо+ со= 4со,Зсо + 2со = 5со и т. д. Таким образом, все гармонические составляющие поля взаимосвязаны. Математически это описывается уравнениями2. Поле монохроматического источника в неограниченной среде60(2.7), в правые части которых входят амплитуды i>,~л (пrо), м:л(пrо) и j;;,-"(пro),причем каждая из этих амплитуд зависит не только от своей составляющей поляс частотой пrо, но и от всех остальных гармонических составляющих.
Таким образом, все уравнения(2.7)оказываются взаимосвязанными.В случае линейной среды уравнения(2.7) имеют видrotHm (ro) = j(J)fi ( rо)Ет (ro) + j :;; (ro);(2.8)rotEm(ro) = - Jroµi (rо)Нт (ro).Здесь Е~-комплексная диэлектрическая проницаемость, выполняющая функцию диэлектрической проницаемости проводящей среды,Отношение,,О"~-Е:ФЕаравное модулю отношения плотностей тока проводимости и смещения, называется тангенсом угла электрических потерь средыtg~>э = J прсм = _о_·(1)Еа111Мнимая часть комплексной проницаемости Еа может быть обусловлена нетолько проводимостью, но и явлением гистерезиса, т. е. запаздыванием по фазевектораDотносительно вектора Е. Оба эти фактора приводят к выделению теплоты в веществе, т.
е. к потерям.Разделение сред на проводники, полупроводники и диэлектрики может бытьпроведено по значению tg8э . Так, если ]пр>> ]см • т. е. tg8э >>1, то токомсмещения можно пренебречь и такую среду рассматривать как проводник.Если ток смещения значительно больше тока проводимости, тоtg <>э << 1итакую среду можно рассматривать как диэлектрик.Если токи проводимости и смещения примерно равны, тоtg 8э "" 1и средаявляется полупроводником.Магнитная проницаемость также является комплексной величиной~Jµа =µа•11- Jµa.Наличие мнимой части объясняется гистерезисом, т.
е. отставанием по фазевектора В от вектора Н. Отношениеназывается тангенсом угла магнитных потерь.2.1.Уравнения МаксвеллаОстювные уравнения(2.8)61при отсутствии стороннего тока(Jт =О)0имеют видrotllт(ro) = jroEi(ro)Eт(ro);rotE111 (ro) =-jroµ~(ro)Hm(ro).Система уравнений не изменится, если заменить11,,,на Е,,,, а Е~ на-µ~.Этосвойство уравнений называется перестановочной двойственностью.Волновые уравнения в символической форме.
Подставляя(2.6)в уравнения (1.18а) и (1.19а) и приравнивая члены, содержащие одинаковые частоты пrо,получаем:ЛЕт (пrо) + (пrо) 2 Е~ (пrо)µ~ (пrо)Ет (пrо) == -(nro) µ ~(пrо)Р,::Л (пrо) + jnro[µ~ (nro)j:1 (пrо) +2+ µ~ (nro)j: + µо rot м ~ (пrо)];.(2.9)2.лит (пrо) + (пrо) е: (пrо)µ:(пrо)Н,,, (пrо) == -(nro)2 Е~ (пrо)µ0 М 0л (пrо) - jnrorot :r;л (nro)-rot j ::;1 (nro)-rotj~; (пrо),(2.10)где п = О, ±1, ±2, ±3, ... ; j,~т (пrо) = О при п "# 1.Если в спектре источника содержится несколько частот, то системы(2.10)(2.9)ибудут содержать уравнения, написанные для гармоник этих частот и комбинационных частот.
Системы(2.9)и(2.10)представляют собой системы бесконечного числа связанных уравнений.При решении конкретных задач нелинейной электродинамики в зависимости от постановки и желаемой точности решения ограничиваются определеннымномером гармоник, так как они быстро убывают с возрастанием номера. Это жеотносится и к комбинационным частотам. При этом число уравнений сокрашается, а сами нелинейные уравнения становятся приближенными.Если среда линейна, то уравнения(2.9) и (2.10) имеют видЛЕ 111 ( ro) + ro E~ ( ro)µ~( ro)Em ( ro) = jroµi (ro)j~т (ro);2илиЛЕ,,, (ro) + 1?Е,,, (ro) = jroµi (ro)j~ (ro);ЛНт(rо)+ !?Нт(Ф) = -rotj~(ro),где✓с€аЛI - ]€а• ЛII)( µаЛI - Jµa.
Л/1) = 1-1Rk• = Ф\fг;;;::;Еаµа = (J)-пения;13 -фазовая постоянная; а-.J(J, -(2.11)постоянная распростра-постоянная затухания.2. Поле монохроматического источника в неограниченной среде62Физический смысл этих величин будет рассмотрен в §денный в§ 1.9 векторный и скалярный(1.24) и (1.25) в символической форме:.2.4.Используя ввепотенциалы, перепишем выражения1.=-rotA·Нл'µаЕ = -gradф- jroA.Волновые уравнения для электромагнитных потенциалов(1.28)и(1.29)всимволической форме имеют видлА + 1? А= -µ;jст ;Лф+ l?ф = -рст /f;.(2.12)При отсутствии потерь= ro.JE~µ~kи выражения(2.12)имеют видлА + k 2A = -µ;j ст;Лф+ k 2 ф =-рст /Е~.Решения этих уравнений получим, представив(1.36)и(1.37)в символической форме (П.84).
С учетом временной зависимости при отсутствии потерь получимµл.А=~JJ. ст ejro(t-r/ v)4nV.lq>= - -fтrр· ст ejro(t- r/ v)тdV·'dV.r41t€~VДля комплексных амплитуд решения имеют видАт=µ;J4nV.<j>т1j:;;e- jkr dV·r'f(2.13)pcтe- jkr= - - - - -- dV,41tf;rVгдеk=ro~ = ro_VРешения представляют собой суперпозицию сферических волн, расходящихся от точечных источников, сосредоточенных в объемеV.Остювные уравнения2.1.63Если объемное распределение токов и зарядов заменить линейным распределением по проводнику, то выражения (2.13) будут иметь видА."'= µал f 1тст е-jkr dl·4nr'Lф,,, = -141tf~стf'tmе(2.14)-jkrdl ,rLгде 1,:т-амплитуда тока в проводнике;Используя введенный в§ 1.9't~; -амплитуда линейного заряда, Кл/м.вектор Герца, перепишем выражения(1.34)вкомплексной форме:.2..Е = ro E~µ~Z + graddivZ;Н = jroE~ rot Z.Волновое уравнение(2.15)(1.33) для вектора Герца в комплексной форме имеет видЛZ + k 2 Z = -~рст,(2.16)ЕагдеРешение уравненияимеет следующий вид:(2.16)zт1= --fл4nfa•СТ- jkrPm еrdV.(2.17)VГраничные условия.
При решении полученных уравнений должны учитываться граничные условия. В общем случае граничные условия для тангенциальных и нормальных составляющих поля имеют вид= E't(l) ; D,,(J) - Dn(2) = -х:;H't(I) - H't(2) = J □ов; вп(2) = B n(I ) ·E't(2)Эти условия выполняются в любой момент времени, поэтому они должнывыполняться для mобых гармоник и составляющих комбинационных частот.Для гармоник эти условия имеют видE't(l)(nro) = E't(2)(nro); H t(l)(nro) - Htщ(nro) = J 0 0 0 (nro);D"(l)(nro)- D"щ(nro) =-х:(пrо); B,,(1)(nro) = B,,(2i nro).(2.18)Для комбинационных частот граничные условия имеют аналогичный вид.2. Поле монохроматического источника в неограниченной среде642.2. Энерrетические соотношения и теорема Умова-Пойнтинrав комплексном видеЭнергетические соотношения.
Действующие значения. Запишем согласно выражению (П.68) мгновенное значение плотности энергии монохроматического полямгновенное значение плотности мощностир1 ..•= (JE) =- (J + J4..•)(Е + Е),мгновенное значение вектора Пойнтинга1..•..•П=[ЕН]= - [(Е+Е )(Н+Н4)].Под мгновенным значением понимается значение в данный момент времениt.Согласно (П.69) среднее значение плотности энергии122Wo =-(ёаЕт +µаНт),4(2.19)среднее значение плотности мощностиРо.где р=1 . .•(J "'Е"') -=12.* .1. .•Re(J тЕт) = Re(J тЕт) = Re р,2(2.20)комплексная плотность мощности; среднее значение век-2тора Пойнти:нгаП0.где П1 . .*1 .* .=-[EmHm]=-[EmHm]221..•.=- Re[EmHm] =Re П,2(2.21)-комплексный вектор Умова-Пойнтинга.По аналогии с теорией линейных электрических цепей введем действующие, или эффективные, значения напряженностей поля и плотности тока.Действующим, или эффективным, значением напряженности переменногополя Ед называется значение постоянного поля Е0 , действие которого эквивалентно переменному полю, т.
е. за одно и то же время, равное целому числу периодов, в среде выделяется одна и та же энергия.Согласно данному определениютfсrЕ;т =сrЕ:т = crE 2 dt.о2.2.Энергетические соотношения и теорема Умова-Пойнтинга65Отсюда действующее значение напряженности электрического поляВ случае монохроматического поляЕ=Етcos( rot + <р Е)иЕд =~Аналогично определяется действующее значение напряженности магнитного поля и плотности тока:В случае монохроматического поляСоответствующиекомплексные действующиезначениянапряженностейполей и плотности тока равны:Отсюда средние значения (2.19)-(2.21) можно представить в следующем виде:122Wo =-(ЕаЕд +µаНд );2Ро = Re(jдE;) = (J дEд )COS (f)JE;П 0 =Re[Eil: ] =[ЕдНд ]соs<рвн,где <f'JE - сдвиг по фазе между j д и Ед ; <f'вн - сдвигпофаземежду Ед и Нд2.
Поле монохроматического источника в неограниченной среде66Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме. Квадратичное соотношение, связывающее комплексные амплитуды, аналогичное теореме Умова Пойнтиша (см.§1.8), получим, умножив уравнение, комплексно сопряженное спервым уравнением системы (2.8) на Е, а второе уравнение на iI*, и, проделавте же преобразования, что и при выводе теоремы Умова- Пойнтиша (см.§ 1.8),запишем. [Е. mн·•т ] + J(J). (-µа Н т2 dlVВведем согласновектор(2.19)- (2.21)~поинтинга;-* 2 Е 2 )Еа тобозначения:,,Рэо-_WEa Е2т2-)-О+ (J·ст•Е·тт - ·.П1 .(2.22).*комплексный= - [EmHm] 2средняя плотность мощности электриче-2ских потерь (так как действительно Рэо,,roµa н2тр" =- 021 Jm 12= - - = - crEm2 cr 2(J) "2= - Еа Ет) и аналогично2,средняя плотность мощности магнитных потерь;-,средняя плотность электрической энергии; wмо = µа Н,~4-w эоЕа Е2=-4тсредняя плотностьмагнитной энергии; р" ст =!(jcт•t) - комплексная плотность мощности сто2ттронних источников.Перепишем выражение(2.22) сучетом принятых обозначений:div 11 + 2jro(w" 0 -wэ0 ) + (р"0 + Рэо) +pcr = О,или в интегральной формеpпdS +2jro(W"0 -Wэ0) + (Р" 0 + Рэо) + Рст = О,(2.23)sгдеW,'° = fw мо dV-среднее значение магнитной энергии в объеме V;VWэо=f W 30 dV-среднее значение электрической энергии в объеме V;VfРэо = f Рэо dV -Рмо = Рмо dV -среднее значение мощности магнитных потерь в объеме V;Vсреднее значение мощности электрических потерь в объеме V;Vрст=f рст dV vных в объемеV.комплексная мощность сторонних источников, распределен2.2.Энергетические соотношения и теорема УмоваПойнтинга-67Выражение (2.23) представляет собой теорему Умова- Пойнтинга в комплексной форме для монохроматического поля.
Приравнивая в (2.23) действительные части, получаемRe piidS + Рэо + Р,,,0 + RеРст = О,sгде Re piidS = piI0 dS ssсогласно (2.21) поток усредненного вектора Пойн-тинга, или действительная (активная) мощность излучения через поверхностьограничивающую исследуемый объем V; Rер ст = Р0ст-S,согласно (2.20) действительная (активная) мощность сторонних источников.Таким образом,f>ПodS + Рэо + Р..,о + Рост = О.(2.24)sСоотношение(2.24)называетсятеоремой о действительной(активной)мощности и характеризует баланс действительных (активных) мощностей.Если Рост< о,то сторонние источники отдают энергию ПОЛЮ, если Ростполе отдает энергию источникам.
Очевидно, что Р0ст<О>осоответствует сдвигуфаз между Jст и Е, определяемому условиемcos<p < О,т. е. угол <р изменяется в пределах7t32 '-<("<- 1t2а Р0ст>О"'соответствует условиюcos<p > О,т. е. изменению <р в пределах7t7t22--<<р<-.Если Р0ст< О, то выражение (2.24) перепишется в видеpiI dS0s+Рэо +Р" 0 =Р0ст_Действительная (активная) мощность сторонних источников, распределенная в исследуемом объемеV,расходуется на излучение через поверхностьS,ограничивающую этот объем, и магнитные и электрические потери (теплота) в нем.Если Р0ст> О,то- piiodS =~о+ Р..,о + Рост_s2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
