Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Плоская однородная монохроматическая волнав неограниченной однородной изотропной линейной среде.Фазовая и групповая скоростиРассмотрим распространение плоской однородной электромагнитной волныв однородной изотропной среде, лишенной источников. Волна называется плоской однородной, если векторы поля Е и Н в любой точке плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, неизменны по фазе и амплитуде. Практически плоской можно считать волну, создаваемую любой антенной вдальней зоне, в пределах площадки, линейные размеры которой достаточно малы по сравнению с расстоянием этой площадки от антенны. Если совместитьнаправление распространения волны с одной из осей декартовой системы координат, то векторы Е и Н будут зависеть от одной координаты и времени.Среда с потерями.
В этом случае Еа= r: - Jr;,Р-а=µ: - jµ;.Постояннаяраспространения волныk = (i)✓e,af·1a =13- Jaявляется комплексной величиной.Пусть направление распространения волны совпадает с осью хз, тогдаН= Н(х3 , t)и Е= Е(х3 , t).Волновой процесс не зависит от координат х1 и х2 , т. е._1_=~=0,дх1и волновые уравнения2 .д2Х3(2.36)(2.35)(2.11) имеют видд Н,,.Уравнениядх22 •k·2в·т =0•k· 2н· = О· д Ет2 ++т'дхз(2.36)называются уравнениями Гельмгольца и представляют собой линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, решения которых имеют видЕт =Ae-jkxз +вejkxз_Отбрасывая второй член уравнения как не имеющий физического смысла(волны, идущей к источнику и возрастающей, в неограниченной однороднойсреде быть не может) и учитывая зависимость от времени в виде еjш, получаем2.4.Плоская однородная монохроматическая волна75(2.37)где Ет-амплитуда электрической составляющей поля.Утштывая, чтоk = Р- ja,имеемПереходя к вектору Е, получаемЕ = Ет е-ахз cos(rot -Рхз )Поскольку уравнения(2.36) для ЕНи Н одинаковы, то= Hm е-<:ххз cos(rot-Px3 -<р)и достаточно рассмотреть поведение одного из вектороввозможный начальный сдвиг; арость убьmания амплитуды; р---Е или Н.
Здесь <р-постоянная затухания, характеризующая скофазовая постоянная, характеризующая скоростьизменения фазы при распространении волны.В каждой плоскости х3= constполе меняется во времени, в каждый данныймомент времени поле различно для разных значений координаты х3 •Очевидно, что фаза поля имеет одно и то же значение для различных значений координаты х3 и моментов времениt,удовлетворяющих условиюro(t + Лt)-Р(х3 + Лх3 ) = rot-Px3илиrоЛt-РЛ.х_,Это значит, что если в момент времени= О.tв плоскости х3= constполе имеетнекоторое определенное значение фазы, то такое же значение оно будет иметьчерез промежуток времени Лt в плоскости, отстоящей от плоскости х3= constна расстояние Лх3 по оси х3 . Таким образом, фаза электромагнитного поля распространяется вдоль оси х3 со скоростьюVФ= Лх_, = (1)Лtр'(2.38)называемой фазовой скоростью.
С такой скоростью перемещается плоскостьравных фаз, называемая фронтом волны (плоскость равных фаз и плоскость равных амплитуд могут и не совпадать).Если наблюдатель перемещается вместе с плоскостью выбранных постоянных значений фазы, то эта фаза будет для него постоянной, не зависящейот времени.2.
Поле монохроматического источника в неограниченной среде76Неподвижный наблюдатель отметит изменение фазы с течением времени,так как мимо него будут проходить плоскости с разными значениями фазы.Очевидно, что имеются точки, где значение фазы в данный момент времениотличается лишь на21t.Ближайшее расстояние л между этими точками определяется из условияи называется длиной волны (м)(2.39)1Фазовая постоянная (м- )27tR=лJJ'т. е.
она равна числу волн, укладывающихся на отрезке в21tединиц длины, поэтому она называется волновым числом.Уравнения Максвелла(2.8)для монохроматического поля в среде с потерями имеют видrot Н = jroЁaE;rot Е = - jroµaH.В декартовой системе координат с учетом (2.35) и зависимости Н и Е откоординаты х3 в виде е-jkx.3 (-ддхз= - J.k·)получим систему уравненииvkЙ2 =ООЁаЕ'1;kЙ 1 = -ООЕа Е2;Е'з= О;kE2 = -rоµ,аЙ1;(2.40)kE1 = rоµаЙ2;Йз =О.Здесь постоянную распространения k можно рассматривать как векторk,направление которого в случае плоской однородной волны определяет направление ее распространения.
При этом систему уравнений(2.40)можно представитьв виде-[kН]= ООЕаЕ;[kE] = rоµан:.Из(2.41)(2.41) следует, что векторы Е, Ни k взаимно перпендикулярны; векторы Е и- по оси х2 :Н лежат в плоскости х 1 Oх2 • Так, если Е направлен по оси х1 , то Н2.4.Плоская однородная монохроматическая волна77Е = е 1 Ет е-с:ххз cos(rot-Pxз);Н= е 2 Н т е-ахз cos(rot-Px3 -<р).Из векторных уравнений(2.41)следует выражениеkй = rоеайили приk = ro✓eafia(2.42)определяющее сдвиг по фазе во времени между векторами Н и Е. Выражение2о = ~ = l2 olejq>~~называется волновым сопротивлением (Ом) среды.Вследствие сдвига по фазе направления векторов Е и Н, как видно на рис.2.4,меняются неодновременно, поэтому вектор Пойнтинга направлен то по направлению распространения волны, то обратно к источнику.Средняя плотность потока мощности в среде с потерями определяется выражением(2.21),т.
е.П·0 =Re П =е 3Е Нт2тcos <р . е - 2с:хх3и зависит от сдвига фаз между электрическим и магнитным полем.Затухание энергии электромагнитного поля при прохождении волной путиlопределяется отношением средних плотностей потока мощности на концах этого участка:По(х3 )+l)= е2а1.П 0 (х 3Рис.2.4. Плоская волна в среде с потерями2. Поле монохроматического источника в неограниченной среде78Затухание волны в децибелах (дБ) равноL=101gе2ы ""'8,69a.l.В общем случае, когда направление распространения поля не совпадает ни содной из осей координат, волновые уравнения имеют вид••2 .ЛН+k Н=О;ЛЁ+l?Е =О,а их решения-=ЕЕи= нгдеk-ej((J)t-kr).тт'ej(Ш-kr-q>)комплексный волновой вектор,'k =р -ja.Вектор р определяет направление распространения волны.
Он перпендикулярен плоскости равных фаз. Вектор а перпендикулярен плоскости равных амплитуд. Направления этих векторов могут не совпадать. Радиус-векторrопределяет исследуемую точку.Определим постоянные а и р через параметры среды:гдеk -Iпостоянная распространения волны;Еа,Iµ"ные и мнимые части диэлектрической проницаемости Еа~проницаемости µа,= µа -. ,,Jµa,11и Еа,11µа= е:-- jE~...,деиствитель-и магнитнойилиПриравняем действительные и мнимые части:А22JJ - а2( ,,11")= (1) Еаµа - Еаµа ;А""')2 <XJJ = (1)2(,Еаµа + Еаµа ·Решая эти уравнения относительно а и р, получаемР = ro.Jeoµoа = ro.J Еоµод ляобычных(2.43) упрощаются:(е'µ' - е"µ") + ✓(е'µ' -е"µ") 2 + (е'µ" + е"µ') 22(2.43)-(е'µ' -е"µ") + .Jce'µ' -е"µ") + (е'µ" + е"µ')диэлектриков222и металловµ'==,1, µ "опоэтомуФ ормулы2.4.Плоская однородная монохроматическая волна79(2.44)а = ro.J ЕоµоВ диэлектриках с малыми потерями ток проводимости мал по сравнению с,,током смещения ( cr « roE:) тангенс угла электрических потерь, tg03 =~ < 10--4 ,f,и, следовательно, постоянная затухания а мала.
Волна распространяется набольшие расстояния практически без затухания. Фазовая постояннаяР = ro.Jµ 0E:.Если потери в диэлектрике обусловлены только проводимостью, то" =-.crf,aО)1Воспользовавшись приближенной формулой(1 + а) 2а=1 + -2для малых а,получим(2.45)Фазовая скорость в диэлектрике с малыми потерямиVro1с=-=~===-ф Р .Jµ 0E: R ·Очевидно, что в случае диэлектрика с малыми потерями распространениесигнала происходит с малым затуханием и почти без искажений.В проводниках ток проводимости намного больше тока смещения ( roE: < cr )Е" »f,1,и выражения(2.44) имеют видр =а= ro✓ µ~~ = ✓ ro~ocr.(2.45а)В проводящей среде наблюдается большое затухание энергии. Расстояние Л,на котором амплитуда поля убывает в еновения (м)= 2,72 раза,называется глубиной проник2.
Поле монохроматического источника в неограниченной среде80Фазовая скорость и длина волны в среде с потерями определяется выражениями(2.38)иОчевидно, что фазовая скорость и длина волны в среде с(2.39).потерями меньше, чем в среде без потерь. В среде с потерями фазовая скорость зависит от частоты. Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией.Если tg оэ= tg омили € µ' = € µ", то выражения (2.43) имеют следующий вид:111а фазовая скоростьне зависит от частоты.Таким образом, среда с потерями при условииtg 0 3= tg Омне обладает дисперсией. Сигнал не искажается при распространении, а лишь уменьшается повеличине. В среде существует чисто бегущая волна, так как волновое сопротивление средыZo= µо(µ' -jµ")t О (€' - J"€")=k:€'аявляется действительной величиной и сдвиг фаз между электрическим и магнитным полем равен нулю.В случае монохроматического полягде Vэ-скорость распространения энергии.Сигнал, представляющий собой спектр частот, вследствие дисперсии изменяет форму, а следовательно, изменяется и распределение энергии в спектре.
Всвязи с этим вводится понятие групповой скорости, характеризующей распространение в пространстве максимума энергии.Рассмотрим простейший случай, когда сигнал состоит из двух синусоид содинаковыми амплитудами и мало отличающимися частотами:Е(Хз, t) = Ет е-сх.хзcos(rot- Р:хз)+ Ет е-сх.хз cos[(ro+Лro)t-ф+ ЛР)х3 ] ==2Ет е-сдJ cos( Лrо t- л: Хз )cos[( ro+ Лrо }-(Р+ л:).хз].2Поскольку Лrо «ro2и лр « р,Е(:хз, t) = 2Ет е-сх.хз cos( Лrо t - л: х3 )cos(rot -Р:хз).22.4.Плоская однородная монохроматическая волна81Это колебание можно рассматривать как сигнал с несущей частотойro иогибающей2Ет е-~cos( Л2rол: Хз}t-Скорость перемещения максимума огибающей в пространстве и называетсягрупповой скоростью.
Групповая скоростьэто скорость распространения-сигнала, так как информация передается огибающей, а не высокочастотным заполнением.Максимум огибающей перемещается со скоростью, определяемой из условиялrо t- лр Хз = лrо (t + Лt)- лр (.хз + Л.хз)2222'т. е.Лх _ Лrо3 --ЛtлрПереходя к пределу, получаемdxdro= -3- = -VdtrpdpОпределим зависимость между фазовой и групповой скоростью:рctp:v~ =/ro(;)= -;dro = р/грP-ro-1Отсюдаvrp=ro dvФ ·1---vфdroЭто соотношение называется формулой Релея. Если среда не обладает дисdvперсией (фазовая скорость не зависит от частоты и __Ф =О), тоdrodvЕсли с увеличением частоты фазовая скорость возрастает, т. е. __Ф > О, тоdrodvгрупповая скорость будет больше фазовой; если __Ф < О, то групповая скоростьdroбудет меньше фазовой.822.
Поле монохроматического источника в неограниченной средеЕt= const,," ,,,,, ,, ,,,Х3ЕРис.2.5. Плоская волна всреде без потерьДисперсия, при которой групповая скорость меньше фазовой, называется- аномальной. Дисперсия, обунормальной дисперсией, в противном случаесловленная проводимостью среды, является аномальной.Среда без потерь. В отсутствие потерь параметры среды Еа и µа, а следова-тельно, и k = w.JEaµaявляются действительными величинами, и уравненияМаксвелла в векторной форме(2.41), имеют вид-[k:Н] = WEaE;[kEJ = wµа:н,т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
