Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Матрица преобразования Лоренца от движущейся системы координат к неподвижной (П.59) имеет вид12.J1-u / cо2- ju/ cо2222.J1-u / cо1оооо1ооо[ak;] =ju/ c2.J1-u / c21.J1-u / cОтсюдаl{ = 11 - j(u/ c)l4. 1 ; = lz;.J1-u /c213= lз;1 4,2'= 1 4 + j(u/ c)l1/v l -uУчитывая, что1 4 = jcpи2;с2.1; = jcp', и переходя к произвольному направлению движения, получаем систему уравнений1.12.Уравнение непрерывности преобразования тока и зарядаJ'11= J 11 +up2;/-v1- ис45.2 ,J1- = J 1_;(1.49)1р'Здесь в индексах значками=Р + 2 (uJ11 )с✓1-u 2 / с 2«11» и «1-»лярные направления к вектору u.•обозначены параллельные и перпендикуПлотность тока, наблюдаемая в неподвижной системе К' в направлениях,перпендикулярных направленmо движения, равна плотности тока, наблюдаемойв движущейся системе К.Плотность тока, наблюдаемая в системе К' в направлении, параллельномнаправлению движения, отличается от наблюдаемой в движущейся системе К.Эта плотность тока не равна нулю, когда ток в движущейся системе отсутствует:Плотность заряда, наблюдаемая в системе К', отличается от таковой в движущейся системе К.
Если токи в системе К отсутствуют, тот. е. плотность заряда увеличивается при переходе от системы, где заряд неподвижен, к системе, где заряд движется. Количество же зарядазаданном объемеdVdqв определенномодинаково для обеих систем. Действительно, так как согласно (П . 55)тоСледует отметить, что плотность движущегося заряда увеличивается вследствие лоренцова сокращения. Заряд же, в частности заряд электрона, остаетсяпостоянным в любой системе, т.
е. является инвариантом.461.Основные характеристики и уравнения поля и среды1.13. Волновые уравнения для движущихся средПереmппем уравнения для электромагнитных потенциаловдля случая µа= µ0,Еа=Ео, ПОЛОЖИВЛАи(1.28)(1.29)J = pv:1 д 2А- --с2 дt2= -µopv;1 д2q,(1.50)рЛ<р----=--с2 дt 2Ео ·2Левую часть полученных уравнений можно представить как 0 А и• 2q,, гдеоператор•-21 д2д2д2=Л----=Л+--=Л+с2 дt2д(jct)2дх;оператор Даламбера, аналогичный оператору Лапласа в трехмерном пространстве.Из четырех одинаково построенных уравнений(1.50) три ужеслиты в одновекторное уравнение. Поэтому естественно предположить, что в четырехмерномобобщенииq>будет играть роль временной составляющей, которую нужно присоединить к пространственным составляющим А;, и записать уравнения(1.50)ввиде(1.51)Переписывая калибровочное уравнение.<рд']-д.(1.27)в четырехмерной формед"q>']-div А+ -с =~+_с_ (i = 1, 2, 3)дх4и сопоставляя его с(1.51)идх;(1.50),дх4видим, что Ф представляет собой четырехмерный вектор-потенциал, пространственные составляющие которого А; (i2, 3), временная составляющая Ф 4= 1,= j q> , т.
е.сФ=( А1 , ~ . Аз, j:),(1.52)аJ = (pv1 , pv2 , pv3 , jcp)-четырехмерный вектор плотности тока,что совпадает с(1.47).1.14.47Тензоры электромагнитного поля1.14. Тензоры электромагнитного поляСогласно(1.1)Е.д~д~дq>=---grad. q>= - - - дtIдtI(i = 1, 2, 3),дх.1и в четырехмерной записи составляющие электрической напряженности Е в соответствии с(1.52)имеют видЕ1 _. (дФ4дФ1)·-----,-]СЕ_ .2 -]Сдх1дх4(дФ4дФ2)·---дх2дх4(1.53)'Ез = jс(дФ4 _ дФз).дхзСогласнодх4(1 .2)B=rotA,и в четырехмерной записи составляющие вектора В в соответствии с(1.52)имеют видВ1 = дФз - дФ2 ;дх2Вдхз_ дФз ;2 = дФ1дхздх1Вз(1.54)= дФ2 _ дФ1 .дх1дх2Единый принцип построения уравнений(1.53)и(1.54)говорит о том, что составляющие векторов Е и В можно объединить четырехмерным образованием.Для этого введем в рассмотрение четырехмерный роторRot-k Ф = дФk - дФ;,дх;дхk 'являющийся антисимметричным четырехмерным тензором второго ранга (П.65),так какRotnn ф =О; Rotik ф = - RotkiУмножим(1.53)на-j,а(1.54)F;kгде запись (сВ,- jE)Ф.на с, тогда компоненты тензора= (сВ,- jE) = с Rot;k Ф,указывает на объединение двух трехмерных векторов водну четырехмерную величину-тензор напряженности481.
Основные характеристики и уравнения поля и средыосВ3-сВ2осВ1-св)оJE2JЕз-св(F;k)= [сВ23JE1Векторы Н иD можно-jE,1- JE2- JЕз .(1.55)освязать тензором, объединяющим Н иjcDодинаковой размерности и называемым тензором индукции:.1= (Н, - JcD) = -Rot;k Ф;hkµооНз-Н2[ -Н(f;k)= н/оН1-HIо- jcD,- jcD2- jcD3jcD1jcD2jcD3о1(1.56)•Таким образом, в четырехмерном пространстве поле не может быть описанос помощью двух векторов Е и В, а должно описываться одним антисимметричным четырехмерным тензором второго ранга. Отсюда следует, что Е и В не являются независимыми величинами.Пусть система К неподвижна, а система К' движется относительно этой системы со скоростью u в отрицательном направлении оси х{ (рис.
1.6, б). На основепреобразований Лоренца тензор напряженности в системе К' будет иметь видF;; = (J,il(J,kmF/m'где12 2.J1-u / cоju/ cо2222.J1-u / cо1оооо1ооо[a,u ]=- }и/с2 21.J1-u / c.J1-u / cПоскольку тензор(F;k)антисимметричный, тоF1 1 = F22 =Fзз= F 44 =ОиДействительно,F/1 =(J,1/(J,lmF;m =(J,11(J, 1mFlm +a,,4(J,lmF4m =(J,11(J,14F14 +a14(J,11F41 =0.1.14.49Тензоры электромагнитного поляАналогичноисВ2 +-Ез---;===с==✓1 - и 2/ с 2F(4= - F{1;= (J,ll(J,4mFlm = a11a4mF1m + a14(J,4mF4m = a11a44F14 + a14a41F41 ==-jE1 =-F,{,;Fi.з,F24,F34= а21азтF1т = азтF2т = сВ1 = -Fз2;jиВз= a21a4mF1m = a4mF2m = a41F21 + a44F24 = /= аз1а4тF1т = (J,4тFзт = а41Fз1 + a44F34 =}Е2-2222-vI-u / c- juB2 - }Ез✓1 - и /с.=- 1Е2 -иВз/2 2-vI-u / c.Ез=- J ✓+ иВ21-и 2 /с 2= -F,{з.Окончательно имеемо✓1-u 2/c2осВ1.
(1.57)исВ2 +-Е3сооОчевидно, что тензор ( F;; ), записанный через составляющие векторов Е' иВ', будет иметь такой же вид, как и тензор ( F;k), записанный через составляющие векторов Е и В(1.55),а именно501.Основные характеристики и уравнения поля и средыо-св;осВ~-св;оjE;]"Е'3-св;[ св;Iсв;(Fik) =jE;Сравнив (1.57а) с- jE!]- ]"Е'2- jE; .(1.57а)о(1.57), получимиВз- 2Е2,_в3-с,J1-u2/ c2 ·В случае произвольного направления движения систем координатЕ'11= Е11;Е'1-= Е/1- + [uB2; 1-].,\f1-uВ 1- -в'11--в 11 ., в'1-«11» и «..l»u.2(1.58)12 [uE_1_]=----,===с==~/2; ,\f1-uгде в индексах значкамисс2обозначены параллельные и перпендикулярные направления к векторуВыражения(1.58)показывают, что составляющие векторов Е и В, параллельные направлению движения, при измерении в обоих системах (см. рис.1.6, б)одинаковы, а составляющие, перпендикулярные направлению движения, различаются.
При этом, если в неподвижной системе К существует только поле Е илиВ, то в движущейся системе К', направление движения которой совпадает с на= Е илиВ'= В. Если направление Е и В не совпадает с направлением движения системыК', то при наличии в системе К только электрического или только магнитногоправлением Е или В, поле определится соответственно вектором Е'поля в движущейся системе К' будет и то, и другое поле.Из уравнений(1.58)следует, что электрическое и магнитное поля не могутсуществовать раздельно. Эти уравнения имеют большое значение при решенииконкретных задач о движении зарядов в электромагнитных полях. Подбираясистемукоординат,можноисключитьэлектрическоевследствие чего решение задачи упрощается.илимагнитноеполе,1.15.Тензор поляризации511.15. Тензор поляризацииПоскольку векторы В и Е, Н ислиты в один тензор, то разумно предпоDложить, что вектор намагниченности М и вектор поляризации Р также должнысливаться в четырехмерном пространстве в четырехмерный тензор второго ранга.
ФормулыP=D -E0 Eви М =--Нµообъединяются соотношениемт. е.-ММз-М2м/оМ1jcP2-MIоjcf>з- jcJJi- jcP2- jcP3оо(M,k)= [Аналогично(1.58)jcP, ].векторы поляризации и намагниченности связаны соотношениямиР_j_Р11= Р11; Р~=✓1-и /сМ' =М . М'1111'1- 2 [uM _]_]с 2 2_l(1.59)= M_j_ +[uP_j_]/v1-u2; 2.сИз выражений (1.59) следует, что измерения, проводимые в системах К и К',дают различные значения векторов поляризации и намагниченности. Разумеется, здесь речь идет не об изменении структуры вещества движущихся сред, а оботносительности электромагнитных параметров, характеризующих среды.1.16.
Уравнения для «медленно» движущихся средДля случая «медленно» движущихся сред, т. е. прии/с« 1выражения(1.58) и (1.59) имеют вид:Е' =E+[uB];(1.60)521.Основные характеристики и уравнения поля и средыР,1=P -2 [uM];(1.61)сМ' =M+[uP].Согласно второму уравнению(1.61)покоящаяся в неподвижной системе Кдиэлектрическая среда, поляризованная под действием внешнего электрическогополяЕ # О; Р # О; М= О;В= О,в движущейся системе К' будет обладать магнитными свойствами, т.
е.м' =[uP],и согласно второму уравнению(1.60)В,появится магнитное поле1=- 2[uE].сВ проводящей намагниченной среде, покоящейся в неподвижной системе К,В # О; М # О; Р=О;Е=О.В движущейся системе К' согласно первому уравнению(1.61)среда будетобладать и свойствами диэлектрика, т. е.Р,1=- 2[uM],си в ней появится электрическое поле Е', определяемое согласно первому уравнению(1.60)выражениемЕ'= [uВ].Таким образом, энергия электромагнитного поля возрастает при движениипроводника или диэлектрика во внешних магнитном или электрическом полях(при соответствующем направлении внешнего поля и направлении движения).Механическая энергия движения переходит в электромагнитную энергию поля.На этом прmщипе основаны генераторы электромагнитной энергии, в частностиплазменные генераторы, вырабатывающие большую энергию за счет большойскорости движения подмагниченной плазмы.1.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
