Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 69

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 69)

Этот метод закmочается в нахождении поизвестному приближенному решению уравнения следующего более точногоприближения. Метод можно применять, если последовательность полученныхприближенных решений сходится.Электромагнитныйпроцесс вслабонелинейных средах можно описатьуравнением видахd2-dtгдеf(x) -2+ ro0 x + f(x)2= F(t),(П.92)малая по значению нелинейная функция переменной х. В линейномприближении это уравнение имеет видd х2-2dt2+ ro0 x = F(t).Допустим, что это уравнение имеет решение х0 .

Это решение называется по­рождающим и может рассматриваться как приближенное решение нелинейногоуравнения (П.92).Подставляя решение х0 в выражение для функцииf(x) в уравнение (П.92),получаемd2-dtх22+ roox= F(t) - f(x 0 ).Интегрируя последнее уравнение, находим решение х 1 , которое являетсярешением нелинейного уравнения (П.92) в первом приближении:Х1= х0 + поправка.Следующее приближение получаем, подставляя в уравнение (П.92) первоеприближение решения х 1 :Полученное решениеХ2= х 1 + поправкаП5. Специальные уравнения и их решения445является решением уравнения (П.92) во втором приближении.Аналогично можно найти последующие приближения х3 , х4, х 5 и т.

д.Метод медленно меняющихся амплитуд и фаз применяется в тех случаях,когда заранее известно, что форма колебаний близка к синусоидальной. Рас­смотрим нелинейное уравнение2d x +ro2 x+µf ( х,dx)02dtгдеt(х,~;) -=0,(П.93)dtфункция, определяющая нелинейность и потери; µ - безраз­мерный параметр, указывающий на малость нелинейности и потерь.µ = О представляет собой гармоническое комалом µ решение близко к гармоническому и егоРешение уравнения (П.93) прилебание.

Очевидно, что приможно представить в видехгде Ат (t) и<p(t) -во времени ; Ф(t)= Ат (t) cos[ro0 t + <p(t)] = Ат (t) cos Ф(t),(П.94)соответственно амплитуда и фаза, медленно изменяющиеся= ro0 t + <p(t).Условие медленного изменения амплитуды и фазы заключается в том, чтоони мало изменяются за период колебаний Т_1_1A,,,= 21t/ ro0 ,т. е.dA.n 1 « roo; d<pl« ffio-(П.95)1dtdtПроизводные величины х определяются выражениями-dx2dAmdt=--соsФ-dt2ct =x [dA.n- ( ffio+d<p)-dt 2dt 2dtНелинейная функция( Юо.+-d<p) АmsшФ;(П.96)dt22А.п ] соsФ- [d<p) -dA.n + -А.пct q,] sшФ..2 ( ffio+2dtdtt(х, ~;) мала, что подчеркивается множителем µ вуравнении (П.93). Поэтому среди слагаемых производнойdx ,dtвыражением (П.96), имеет значение лишь наибольшее слагаемое/ ( х, ~;) = fили(П.97)dt(А,,, соsФ, -rooA.n sin Ф)определяемойro0~ sin ФиМатематические и физические дополнения4461(х,где~:) ='11 = Ф + ('lf- <р); '11- <р -Р,п (t)cos(root + 'lf) = Р.п (t)cos'P,фазовый сдвиг функции(П.98)1(х, ~:) относительнофункции x(t), определяемой (П.94).Подставляя выражения (П.94), (П.97) и (П.98) в уравнение (П.93), пренебрегаявследствие их малости согласно условию (П.95) вторым:и производными ампли­туд и фаз, а также произведениями этих производных и учитьmая соотношениеcos '11 = cos('I' -<р) cos Ф- sin('I' -<р) sin Ф,получаем2ro0 d<p А,,, cos Ф + 2ro0 dA,n sin Ф = Р,п [cos('lf dtdtПриравнивая коэффициенты приcos Ф<р) cos Ф -иsin Фsin('lf -<р) sin Ф].

(П.99)в правой и левой частяхуравнения (П.99), получаемd<p _Ртdtd~1COS('lf- <р) .2ro0 Am'Ртsin('lf -<р)dtПроинтегрировав эти выражения по времени, определим амплитуду А,п(t) и фа­зу <p(t). Затем подставим их значения в (П.94) и найдем решение уравнения (П.93).П.6. Энергетические уровни атомов и молекулСогласно теории Бора атом или молекула не могут находиться в состоянияхс произвольной энергией, они могут находиться лишь в некоторых дискретныхсостояниях, называемых устойчивыми или стационарными.Энергетические уровни атомов водорода определяются выражениемRwn =--2'(П.100)пгде п= 1, 2, 3, ... -главное квантовое число;R=-те 48hга; т -2постоянная Ридбер--Ео34масса электрона; е -заряд электрона; h =6,6·10-Планка; Ео -Дж·с -постояннаяэлектрическая постоянная.Согласно (П.100) энергия зависит только от главного квантового числа и от­рщательна для всех устойчивых состояний.

Состояние с самой низкой энергией447Пб. Энергетические уровни атомов и молекулсоответствует п= 1идвижению электрона по самойn =00<<<<<<<<<<<<<<<близкой к ядру орбите. Это состояние назьmаетсяосновным или нормальным.С увеличением значения п энергия растет и при­п=3п=2ближается к нулю , энергетические уровни сближа-ются (рис. П.15), орбиты движения электрона удаляются от ядра. Когда электрон удален от ядра набесконечное расстояние(п= оо )и находится в по-кое, энергия атома предполагается равной нулю.п=1Рис. П.1 5.

Энергетическиеуровни атома водорода иводородоподобных ионовЭлектрон, удаленный от ядра, может находиться в движении, приближатьсяк ядру или удаляться от него. Кинетическая энергия двух частиц, приближаю­щихся друг к другу или удаляющихся друг от друга, положительна и можетпринимать любые значения (не квантуется).Поскольку электрон обладает некоторой массой и движется вокруг ядра, тоэто движение можно характеризоватьорбитальным моментом количества1-движения электрона в атоме.

Орбитальный момент квантуется и его можно оп­ределить по формуле111= .Jl(l + 1) · h,гдеh = h/ (21t) ; l -орбитальное, или азимутальное квантовое число. При задан­ном значении п числоl = О, 1, 2, ... , (п - 1).Поскольку электрон кроме массы обладает и зарядом, то при его вращениивокруг ядра возникает магнитный орбитальный момент, противоположный понаправлению механическому моменту.

Отношение магнитного момента к меха­ническому определяется величиной е!т, где езаряд электрона; т --его масса. Вмагнитном поле магнитный момент и связанный с ним механический моментпрецессируют вокруг направления магнитного поля. При этом угол прецессии(рис. П.16) имеет только определенные квантованные значения. Возможны лишь тен0т1углы, при которых проекция орбитального моментаправление поля имеет значение32m11i,где т1 -I на на­магнитноеквантовое число, которое при заданном значении l равно± 1, ± 2, ± 3,т1 = О,... ,± l.Электрон вращается вокруг собственной оси и обла­дает собственным магнитным моментом и моментом ко­личества движенияs,назьmаемым спином.

Этот моментквантуется и равенlsl=.Js(s + 1) · h,Рис. П.1 6. Простран­ственноевектораполе НоквантованиеIвмагнитномгдеs - спиновое магнитное квантовое число. Отношениеспиновогое/(2т).магнитногомомента к механическому равно448Математические и физические дополненияВ магнитном поле спин электрона может ориентиро­sНоваться лишь таким образом, что его проекция на направ­ление поля (рис. П.17) равнаsh.Спиновое магнитноеквантовое число имеет только два значения:1s=±-.2Квантовые числа п,l,т1,sопределяют устойчивые со­Wnстояния атома.

Но значение энергии(П.100) зависиттолько от главного квантового числа п. Следовательно, од­Рис. П.17. Простран­ственное квантованиевектораsв магнитномному и тому же уровню энергии соответствует несколькоразличных состояний атома. Состояния атома с одинаковойэнергией назьmаются вырожденными. Число состояний содинаковой энергией называется степеньюполе Но(кратностью)вырождения или статистическим весом.Для атома водорода каждому значению энергии, определяемому числом п,соответствуетп-1g= 2~)21 + 1) = 2п2l=Oустойчивых состояний.Обычно вырождение связано с симметрией.

У атома водорода благодарясферической симметрии внутриатомного электрического поля энергия не зави­сит от ориентаций орбитального и спинового моментов, что и приводит к выро­ждению энергетических уровней. Во внешнем магнитном поле Н симметрия на­рушается, атом приобретает добавочную энергиюЛWгде=Hmcos 0,угол между направлениями магнитного момента0-mи внешнего магнит­ного поля Н. В этом случае вырождение снимается. Уровни, соответствующиеодному и тому же значению п, расщепляются. Состояния с разными магнитны­ми квантовыми числамиmz соответствуют различной энергии.Аналогичной схемой уровней энергии обладают водородоподобные ионы(Не+, Li +, Ве 3+ и др.), состоящие из ядра с зарядом Ze (Z 2порядковый номерэлемента в периодической системе Менделеева) и одного электрона.

Характеристики

Список файлов книги