Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Если относительная скорость систем К и К' мала по сравнению со скоростью света с(и«с), то (П.52) переходят в формулы преобразования Галилея (П.47). Спра-ПЗ. Специальная теория относительности427ведливость преобразований Лоренца можно проверить экспериментально только2в том случае, когда (и/с) больше вероятной погрешности опыта.Решая уравнения (П.52) относительно х 1 , х2 , х3 , t, получаемх; + ut'Х\= -.=====·2 2Х3= Х3;✓1-и /с ',(П.53)Выражения (П.53) получаются из (П.52) при изменении знака относительной скорости, так как система К движется со скоростью- u поотношеюпо к системе К'. При и> с координаты х 1 и t становятся мнимыми, следовательно, движение со скоростью, большей скорости света, невозможно.Следствия из преобразований Лоренца.1.Пусть в системе К покоится стержень, параллельный оси х1.
Длина его,измеренная в этой системе,= х?) - Xi(I),Лх1гдеxf2) их}1)-координаты концов стержня, измеренные в системе К.Найдем длину стержня в системе К'. Для этого определим координаты2обоих концов стержня ( х;< ) иx;(I)) в этой системе в один и тот же момент времени t'. Согласно (П.53)x<J) 1-1(1)Х1,+ ut .✓1-(и/с) 2 '(2) _Х1-'(2)Х1,+ Ut.J1-(и/с)---.=====.2Очевидно, что в системе К' длина стержня Лх;= x;<2 J - x;<I).Вычитая х} 1 )из х?), получаем(П.54)Таким образом, длина стержня в системе, в которой он движется, уменьшается в.J1-(u/с) 2раз. Этот эффект называется лоренцовым сокращением.Собственной длиной стержня называется его длина в той системе отсчета, вкоторой он покоится.
Из выражения (П.54) следует, что это наибольшая длина.Математические и физические дополнения428При движении поперечные размеры тела не меняются, и, следовательно,объем тела при его движении сокращается по формуле(П.55)гдеV0-собственный объем тела.2. Пусть всистеме К' покоятся часы. Рассмотрим два собьrгия, происшедпшх водном и том же местесобытиями Лt' = t~ -''х1 ,3'х2 ,хсистемыК'.
Времяв системеК'между этимиt;. Найдем время Лt, которое прошло между этими собьrгиями всистеме отсчета К, относительно которой движется система К'. Из (П.53) находим,и,,ti +2х1t i-сt2. t2 -✓1-(и/с) 2 '-и,+2х1с✓1-(и/с) 2 ·Вычитая t 1 из t2 , получаемЛt'/2Лt= ---.==== или Лt'=Лtvl-(u/c) •✓1-(и/с) 2Таким образом, с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К, ходчасов, находящихся в движущейся системе К', оказывается замедленным в.J1-(u/c)2 раз.
Кроме того, наблюдаемые из системы К часы, размещенные вразличных точках системы К', будут показьmать время в зависимости от их положения. Чем дальше по оси х; от начала координат К' расположены часы, темболее отстают их показания, с точки зрения наблюдателя системы К.Рассмотрим ход часов, находящихся в системе К, с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К':иt' 1-t1 -2X1с✓1 -(и/с)2 'т.
е. часы, находящиеся на положительной половине оси х1 , опережают часы,помещенные в начале координат. Временной интервалЛt' =Лt.J1-(u/ c) 2'т. е. часы в системе К, с точки зрения наблюдателя системы К', оказываютсязамедленными .Время, которое показьmают часы, движущиеся вместе с рассматриваемойсистемой, называется собственным временем.ПЗ. Специальная теория относительности429Четырехмерные вектор и тензор. Радиус-вектором в четырехмерном пространстве, представляющем собой вектор, проведенный из начала координат висследуемую точку, назьmается совокупность четырех величин х;, преобразующихся при повороте системы координат в соответствии с формулой (П.2):Согласно преобразованmо Лоренца (П.52), учитьmая, что= jct;Х4х;= jct',получаем.иXIх,,хз=+ J-X4с.J1 -(и/с) 2.'(П.56)= хз;.иХ4Х4=- J-X1С✓1 -(и/с)2•Отсюда матрица преобразования.и1-1.J1 -(и/ с)2ооос.J1-(u/ c)1О2о(П.57)о1оО ОlО.и-1с.J1-(u/ c)2Для обратного преобразованияСогласно преобразованию Лоренца (П.53).J1-(u/ c)2Математические и физические дополнения4301Х1Xt=Х3= Х3;, U1- J - X4С✓1- (и/с)(П.58)11Х4Х4;2=U,1+ 1 - хгС✓1-(и/с)2 'и матрица преобразования имеет вид.и- 1-1✓1 - (и/с)2ооо1Ос✓1 - (и/с) 2о(П.59)о1Оо.и1-с✓1 - (и/с) 2О Оl,J1 -(и/с/Вектором в четырехмерном пространстве называется совокупность четырех величин А;, преобразующихся при повороте координат в соответствии с формулой (П.2):При преобразовании Лоренца (П.53)Аl, - J.
-и А'4Ас-.,- ✓1- (и/с)2 'А2 =А;;А3(П.60)= л;;А4-А'А4, + J.и- 1с✓1 -(и/с) 2.ПЗ. Специальная теория относительности431Легко показать, что квадраты векторов в четырехмерном пространстве и ихскалярные произведения инвариантны, т. е.А/= А;2; А;В; = л;в;.Тензором второго ранга в четырехмерном пространстве называется совокупность шестнадцати величин, преобразующихся при повороте системы координат в соответствии с формулой (П.3):При обратном преобразованииУчитывая матрицу преобразования Лоренца (П.59), элементы которойполучаемIТ~1-.UIUI211-(Т14 +Т41)--Тм2сс'21 -.Т,13,.
и т.'- 1- 43сс.J1-(и/с)1-(и/с) 2,.,,,,. и т.'Т,12-1422.J1-(u/c)2,. и т'т24+ 1- 21и,.,,,1-,24с.J1-(T;k) =1-(и/с) 2с(и/с)2.J1-(u/c) 2. и Т'34т31, - 1-,.-и Т'31т34+1сс.J1- (и/с)2.J1-(u/c)2,.и,.,,,т.42+1-ч2с1-(и/с). и Т,'13т.43, + 1с2.J1-(u/c)21-(и/с)2(П.61)При обратном преобразовании скорость и заменяется скоростью -и.Четырехмерным градиентом называется вектор в четырехмерном пространстве, проекции которого на оси координат в соответствии с формулой (П.5)имеют видGrad;где <р-<р = д<рдх;(i= 1, 2, 3, 4),скалярная функция четырех переменных<р= <р(х;) (i = 1, 2, 3, 4).(П.62)Математические и физические дополнения432Формально четырехмерный градиент можно представить как произведениечетырехмерного векторного пространственно-временного оператораD;=__i_ (i = 1, 2, 3, 4),дх;аналогичного оператору Гамильтона (П.5) в трехмерном пространстве, наскаляр <р.Четырехмерной дивергенцией, аналогично (П.6) называется скалярное произведение четырехмерного оператора-ддх;и четырехмерного вектора А;, в соот-ветствии с формулой (П.6) она имеет видDiv А= дА;дх;= дА1 + д~ + дА, + дА4 .дх 1дх 2дх3дх 4(П.63)Приняв в формуле (П.63) в качестве вектора А четырехмерный градиент(П.62), получим дифференциальное уравнениед2<рд2<рд2<рд2<р• 2 <р=-2+-2 +-2 +-2'дхдхдХздх124(П.64)где оператор•2д2=-дхfд2д2д2дхiд~дх;+-+-+-называется оператором Даламбера; он аналогичен оператору Лапласа (П.8) втрехмерном пространстве.Четырехмерным ротором называется антисимметричный тензор второгорангаRot k А = дАk -'dx;дА; .(П.65)дхkОтсюдаRot;; А= О;Пространственные компонентыдают с компонентамиrot АRot;k А= - Rotk; А.(i, k =1, 2, 3)четырехмерного ротора совпа(П.
7) в трехмерном пространстве.П4. Функции комплексной переменной. Символический метод433П.4. Функции комплексной переменной. Символический методВеличинаz = х + jyназываетсякомплекснойупеременной.ЗдесьмRe z =x-действительная часть;Imz=-умнимая часть комплексного переменногооz.Комплексное число можно представить графихРис. П.10. Плоскость компчески точкой М с координатами х, у на плоскости,лексного переменного:которуюуназывают плоскостью комплексного пере-менного, так как каждой точке этой плоскости соот-z (рис.
П.10).z = х + jy, как видно-мнимая ось; х-действи-тельная осьветствует комплексная переменнаяКомплексную переменнуюна рис. П.10, можно пред-ставить в видеz = р cosq, + jp sin q,.Согласно формуле Эйлераcosq,+ jsinq, = ejlj)иz = peN,где р = ,Jх 2 + у 2-модуль числа z; q, - аргумент числа z_Все вычисления с комплексными числами проводятся по обычным правилам алгебры.Комплексные числаz = х + jyиz. = х -jyназываются сопряженными. Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел есть действительные числа:z+z* =2х; zz• = х2 + у 2 •Дифференцирование комплексного числа z = р eN по аргументу соответствует умножению наj или повороту отрезка ОМ на уголdz·- = jpe 11j) =реdq,Интегрированиеz7t/2, т.е.·(lj)+-lt)J2.по аргументу соответствует умножению нароту отрезка ОМ на угол -7t/2, т.
е.fz dq,=-jpejlj) = р/(<р-~).-jили повоМатематические и физические дополнения434При изучении линейных электромагнитных процессов, изменяющихся вовремени по гармоническому закону (по закону синуса или косинуса), 01rnсьmающие эти процессы уравнения, а следовательно , и их решения, значительно упрощаются при использовании символического метода. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть некоторая электрическая величина (напряженность электромагнитного поля, ток или напряжение) изменяются по закону синусаили косинуса, т.е.Е=Ет(П.66)cos(rot+<p)илиЕ= Ет sin(rot + <р).(П.67)Введем вектор, имеющий длину Ет и вращающийся с угловой скоростьюло начала координат (рис. П.11).
В момент времениt=ro окоО этот вектор образует сдействительной осью Re угол <р, а в момент времени t :1:- О -угол <р' = OJt + <р.Проекция вектора на действительную ось определяет мгновенное значение величины (П.66), а проекция на мнимую ось -мгновенное значение величины (П.67).Таким образом, процесс, определяемый выражением (П.66) или (П.67),можно характеризовать комплексной величинойЕ= Ет [cos(rot + <р) + j sin(rot + <р)] = Ет ej(COt+q>)или(П.67а)где Ет=Е"' e1q, -комплексная амплитуда.Линейные дифференциальныеуравнения, переписанныев символической(комплексной) форме, имеют более простой вид, так как в этом случае первая производная величины Е по времени соответствует умножению нajro, вторая ImоEmcos (rot +<р)ReРис.
П.11. Представление гармонического колебания с помощьювращающегося комплексного векторана - ro2:П4. Функции комплексной переменной. Символический метод435дЁ.дt = jroE;2 •д Е =-ro2Eдt2'(П.676)а интегрирование по времени соответствует делению на jro:fEdt=~E.;ro(П.67в)Если комплексная величина удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению, то этому уравнению удовлетворяют ее действительная и мнимая части. Решив уравнение в комплексной форме и взяв от полученного результата действительную или мнимую часть, получим искомое решение.Множитель е jш, характеризующий изменение процесса во времени, опускают, и тогда уравнение записывается для комплексных амплитуд.Вместо комплексной амплитуды часто берут в ✓2 раза меньшую величину комплексное действующее значение· ЁтЕд = ✓2 ·Символический метод применим во всех случаях, когда векторы напряженности поля (или ток и напряжение) связаны линейной зависимостью, однако непосредственно он не применим для вычисления энергетических характеристик,которые определяются квадратами и произведениями значений напряженностиполей, токов и напряжений.К квадратичным соотношениям относятся:w=€ Е2+µ нzааPrrpoв2= (JE) --плотность электромагнитной энергии;плотность мощности, связанная с взаимодействием поля спроводящей средой;РполдР=Е дt-плотность мощности, связанная с процессами поляризациисреды;РнамдМ= µ0Н дt-плотность мощности, связанная с процессами намагни-чивания среды;П=[ЕН]-вектор Пойнтинга.Рассмотрим произведение АВ, гдеА= АтВcos(rot + <рА );= Вт cos( rot + <р8 );Математические и физические дополнения436или в символической формеА= .1.7пл ej(w+q,л)=л.L.~=ААтejOJt ·,теNл ·'Комплексно-сопряженные значения-Аjq,л,А'* --лте -j (Ыt+q,л) -_л'*те-jwt.' л'*тте'В=В ej(OJt+q,в ) =B ej(!)f, в· =В е -j<рвт'тт•тОчевидно, чтоАВ-:!-ReAB = Re ,..,,,л Втеj( 2 ш+<рл+<рв)== АтВт cos(2rot + (j)л + <рв) * Ат cos(rot + (j)л )Вт cos(rot + <рв );AB-:!-hnAB.Но поскольку сумма двух сопряженных величин является действительнойвеличиной , а величины А и В можно представить в видеА=л+л*в=в+в·22(П.68)тоАВ = A+il* в+i/22Определим среднее значение произведения АВ:1тfАВ dt.то(АВ) 0 = -Произведение АВ можно представить в видеАВ= А+А* в+в* =2.(лв* +л*й)+2-(АВ+А*й* )=2244=_!_(А В еj(<рд-<рв ) +А В е-j(<рд-<рв))+4тттт+2-(А,,,Вт еj(2ш+q,л+q,в) + А,,,Вт е-j(2ш+q,л+q,в)) =41= - А,пВт cos(<р л 21<р в)+ - Ат Вт2cos(2rot + <р л + <р в).Первое слагаемое от времени не зависит, второе-зависит и при интегрировании обращается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
