Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Отсюда среднее значение(АВ)о1= - АтВт соs(<рл 2(j)в ),П4. Функции комплексной переменной. Символический метод437или(АВ) 01..• 1.•. 1. .• 1.•.=-ReAB =-ReA В =-ReA,,,Bm =-ReAmBm.222(П.69)2Определим среднее значение выражениятf( А дВ) =_!_ А дВ dt.дt отодtдВПроизведение А- можно представить в следующем виде:дtА дВ = л+л.* д в+в* =2. jrо(л.*в-л.в* )+2-jrо(АВ-А*й*)=дtдt2244=2_1.ro(A В еЮРв-<!!л )_ А В e-j(qiв -<!!л>)+т4ттт+2- ·ro(A В ej( 2 ro1+qiв+<!!д) _A В e-j( 2 ro1+qiв+<!!д))=41тттт=_2_roA,,,Bm Sin(q>8 -q>А )-2.roA,,,Bm Sin(2rot + (j)А +(/)в).22Среднее значение=- АтВт sin(q>в -q>A)= АтВт sin(q>A -q>в),( А дВ)дt о22(J)(J)или(П.70)ЕслиOQА= LAт(nro)cos[nrot-q>A(nro)];п=О=В= LBm (nro)cos[nrot - q> 8 (пrо)] ,n=Oто произведениеАВ== LAm (qro)Bm (rro) cos[qrot -q> А (qro)] cos[rrot - q> 8 (rro)]q,r=O1 =LAm (qro)Bm (rro){ cos[(q + r)rot - q> л (qro) - q> 8 (rro)] +=-2 q,r=O+ cos[(q - r)rot - q> л (qro) + q>8 (rro)]}.=Математические и физические дополнения438При усреднении по времени отличными от нуля будут только слагаемые, независящие от времени, т.
е. соответствующиеq- r= О, и1т(АВ) 0 = -1fАВ dt = L= -А,п(пrо)В,,, (пrо) cos[<р 8 (пrо) - <р А (пrо)] =Т О=п=О 21L= -~(nro)B,,, (nro) cos[ <р л (nro) - <р 8 (nro)] =(П.71)n=O 2·.•{,1 .•·={,1L., - ReA,n (пrо)В,,, (пrо) = L., - ReA (пrо)Вт (пrо).n=O 2n=O 2111Аналогично среднее значениедВ)А-(дt Опrо•*•{ , пrо•••= {,L.,- - ImA,,,(nro)Bm(nro) = L.,-ImAm(nro)Bm(nro).п=Оп=О 22(П.72)Таким образом, квадратичные соотношения также можно выразить черезкомплексные величины.
При этом уравнения с квадратичными соотношениямизначительно упрощаются, а следовательно, упрощаются и их решения.П.5. Специальные уравнения и их решенияЭлектромагнитные процессы в средах описываются векторными неоднородными уравнениями в частных производных вида1 д2АЛА----=-хvz дt2,(П.73)называемыми неоднородными волновыми уравнениями Даламбера.При решении векторные уравнения необходимо свести к независимым скалярным уравнениям для проекций векторов на координатные оси. Однако только в декартовой системе координат скалярное уравнение для каждой проекциибудет иметь такой же вид, как и векторное. В криволинейной системе координатв проекцию лапласиана вектора на криволинейную ось будут входить проекциивектора как на данную, так и на другие оси. Исключение составляет цилиндрическая система, в которой согласно выражению (П.39) для составляющей z можно написать скалярное уравнение, совпадающее с векторным и не содержащеедругих проекций вектора.Векторы напряженности электромагнитного поля часто можно выразить через вспомогательные функцииF,например через электромагнитные потенциаль1, удовлетворяющие скалярным волновым уравнениям вида1 д2FЛF----=-хv2 дt2.(П.74)П5.
Специальные уравнения и их решения439В частности, уравнение вида (П.74) описывает электромагнитное поле, создаваемое источнихом (током или зарядом), характеризуемым величиной Х·Если пространство вокруг одного источника, сосредоточенного в маломобъеме радиусом r0 , изотропно, то решение уравнения (П.74) следует искать каксферическо-симметричное, т. е. F = F(r).
Тогда для всех точек вне источникаr > r0)(Х =Оприуравнение (П.74) переходит в однородное волновое уравнениеЛF-J__д2F=Ov2дt2(П.75).Решением этого уравнения является выражение вида- J1(t- r/ v) f 2 (t + r/ v)+ --=-----'-.F( r, t ) - --'-----'-rr(П.76)Чтобы определить явный вид функцийf1 иf2, необходимо знать граничные иначальные условия. Первая функцияf 1 (t- r/v) (называемая запаздывающей)представляет собой сферическую волну, распространяющуюся от источника соскоростьюv.
Вторая функция f 2 (t + r/v) (называемая опережающей) представляет собой сферическую волну, сходящуюся из бесконечности к источнику с тойже скоростью(рис. П.12).vВ случае точечного источника или в случае, когда все источники расположены в областисмысла и Лr < r0, волны, сходящиеся к этой области,= О, вследствие чего решением (П.75) будетf (t-r/ v)F(r, t) =1- - - -прине имеют физическогоr > ro.(П.77)rПриr = r0функция (П.77) вместе со своими производными должна плавнопереходить в решение неоднородного уравнения с правой частью (П.74). Дляпредельного случая точечного источника( r0 •О) решение этого уравненияимеет видF( r,t )=X(t-r/v)-'--=-'-- - ' - - - .(П.78)''41tr~ {2< 1+ f)Учитывая принцип суперпозиции действия отдельных объемов источников, получаемF(r,t)=-141tfJ;(t:/1X(t-r/ v) dV./(П.79)//r,,"VВ случае малости величиныдругимичленамиуравнениед2Fдt2Рис.по сравнению сДаламберавП.12.Сферические волны (к решениюпереходит/волновогонения)уравМатематические и физические дополнения440уравнение ПуассонаЛF(П.80)= X(t).Решение этого уравнения можно получить из (П.79), пренебрегая запаздыванием, т.
е.F(r,t)=_!_f X(t) dV.41trVЕслиF и Х не зависят от времени, то решение уравнения Пуассона имеет вид1F(r)=- f Х dV.41t r(П.81)VПри Х=О уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа(П.82)ЛF=О.В частном случае монохроматического поля функциюF(r, t),соответствующую напряженности или электромагнитным поте~щиалам , согласно (П.67а)можно представить в символическом виде••·())tF(r, t) = Fm (r)e 1а функциюX(t),,соответствующую плотности заряда или тока,-в видеx(t) =хт ej(J)f_При этом уравнение (П.74) с учетом (П.67а) будет иметь видЛF' +kгде k2F = Х,(П.83)= rojv.fРешение этого уравнения, соответствующее решению (П.79), имеет вид.1F(r, t) = 4nХтej())(_t- r/ v)rdV.(П.84)VПри Х=О уравнение (П.83) переходит в однородное волновое уравнение,называемое уравнением Гельмгольца:(П.85)При решении задач электродинамики уравнения в каждом конкретном случае записьmаются в той системе координатq 1, q2 , q3,в которой граничные поверхности совпадают с координатными поверхностями.
При этом согласно методу Фурье частные решения этих уравнений представляются в виде произведе-П5. Специальные уравнения и их решения441ния трех функций, каждая из которых является функцией только одной переменной, т. е.(П.86)Для каждой функции получаются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Постоянные интегрирования находят из удовлетворенияграничным условиям.Только в декартовой системе координат лапласиан от скаляра (П.8) и проекциn векторного лапласиана (П.11) имеют один и тот же вид.
В общем случаекриволинейной системы координат это не так. Проекции векторного лапласианана оси координат содержат не одну проекцию вектора и только в цилиндрической системе координат проекция векторного лапласиана на осьz будетсодержать только одну z-проекцию вектора.В цилиндрической системе координат уравнение Гельмгольца (П.85) дляэтой составляющей имеет вид.2 .ЛАz+k Az =О,или!_i_(rдAz )+_!_2 д2Аz + д2Аz +k2Az =О.r дrдrrда2дz(П.87)2Решение этого уравнения согласно методу Фурье представляется в видепроизведения трех функций, каждая из которых зависит от одной переменной:Az = R(r)Ф(a)Z(z) = RФZ.(П.88)Подставляя (П.88) в (П.87) и разделив на (П.88), получаем-°-(r dR)+-1- d Ф +_!_ d Z + k2 = О.drdz2_1rR drВеличинаk22r Ф da2Zявляется постоянной величиной, независимой отфиксированных значенияхrиz первое(П.89)2r,а иz.Прии третье слагаемые в уравнении (П.89)будут постоянными и, следовательно,1 d2 Ф- - - = -n 2Ф da-2'где п-постоянная величина.Решение этого уравненияЕсли п -действительная величина, тоФ= А1 соsпа+ A2 sinna.(П.90)Математические и физические дополнения442Аналогично_!_ d2z --k2Z dz 2-(П.91)0иZЕслиk0 -= В1 e -Jkoz+ В2 eikoz_действительная величина, тоС учетом (П.90) и (П.91) уравнение (П.89) имеет вид__!_____O__(r dR)-~+х2 = О,rR drdrr2где х2= k2 -kl.Обозначивxr = х, получим2d R 1 dR ( 1-п- ) R =0--+--+222dx-х dxхуравнение Бесселя, решением которого являетсяR = С1 Jп (х) + С2 Nп (х),где Jn(x) -функция Бесселя п-го порядка (рис.
П.13); Nn(x) -функция Неймана п-го порядка (рис. П.14).Таким образом, решение (П.88) уравнения (П.87) имеет видAz = [C 1J п (х) + C 2 N п (х)][А 1 соsпа + А2 sinna][B1 cosk0 z + В 2 sink0 z] ,J1,00,80,60,40,2о IE---4----+~,,,___,.---Jc........JЧf--'\,----'JP-~c.....L..Y....---+х- 0,2-0,4Рис. П.13. Графики функций БесселяП5. Специальные уравнения и их решения4430,80,60,40,2о 1---+--Ч---J'-+-~~<........JL+,-~--~~f-L---т----+х- 0,2- 0,4- 0,6- 0,8Рис. П.14. Графики функций НейманаилиAz = [С1lп(х) + С2Nп(х)] [А, соsпа+ А2 sinna]xХ [В, e- Jkoz + В2 eJkoz ].Постоянные интегрирования находят из граничных условий.
При хJ O(О) = 1, J п (О) = Опри п-: ;:. О; N п (О) = -оосматриваемую область входит значение х=О (r =О)при любом п. Поэтому, если в рас= О (r = 0), а по физическому смыслурешение должно иметь конечное значение, то функция Ней:мана из решения исключается.Значения Апт-корней уравнения J п (х)=Ои Впт-корней уравнения J~ (х)=Оприведены в табл. П.2 и П.3 соответственно. Штрих означает производную поаргументу х.Таблица П.2КорннАпттn=On=112342,4055,5208,65411,7923,8327,01610,17313,323n=25,1368,41711,62014,372n=36,3809,76113,01516,224Таблица П.3КорннВпттn=On=112343,8327,01610,17313,3241,8415,3318,53611,706n=23,0546,7069,96913,170n=34,2018,01511,34614,586Математические и физические дополнения444Способы решения нелинейных волновых уравнений более трудоемки, чемлинейных.
Если влияние нелинейности невелико, то можно найти приближенные аналитические решения. При значительной нелинейности решения находятчисленными или графическими методами. При этом используют численные значения параметров и начальных условий. Полученное решение справедливо лишьдля одной определенной системы условий.Решение, полученное в аналитической форме, удобно для исследования вшироких пределах изменения параметров.Наиболее результативным методом для исследования нелинейных электромагнитных процессов в установившемся режиме является метод последовательных приближений (итерации).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
