Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 71

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

Уравнение ШредингераСогласно представлениям квантовой механики изменение энергии поляпроисходит не непрерьmно, а квантами. Энергия поля излучается и поглощаетсяв виде квантов. Энергия квантаWhгде 1i = 1t; h = 6,6 · 10- 34 Дж· с 2= 1iro,постоянная Планка; ro - круговая частота.Импульс квантаргдеk-волновой вектор;v-wО)VV= - = 1i- = 1ik,вектор скорости распространения.Математические и физические дополнения454Наряду с этим, частицы обладают волновыми свойствами. Движение внутриатома также является волновым и характеризуется волновой функцией, изме­няющейся по периодическому закону в каждой точке пространства:(П.103)Здесьамплитуда, которая в случае движения материальной точки массы т'l'o -зависит только от координат пространства.Из (П.103) следует, что волновая функция является решением волновогоуравненияи, учитывая, что для свободной частицыk2 =L = 2тW,шн'ti2h2где т-масса частицы; Wкин -ее кинетическая энергия, получаем волновоеуравнение.2mw .

ол'1'+-2 кин'I'= ·(П.104)hЕсли частица находится под воздействием внешних сил, то ее кинетическаяэнергия(П.105)Wкин=W-И.ЗдесьW-полная энергия частицы; И= И ( r)-потенциальная энергия частицы.Подставляя (П.105) в (П.104), получаем уравнение Шредишера.Л\j,+ 2~h(W -U)\jf = О,(П.106)решения которого (П.103) являются собственными волновыми функциями, ха­рактеризующими стационарные состояния системы(частицыили совокупностичастиц). Дифференцируя (П.103) по времени, получаемд\j!.W.дt = } h "',откуда следует, что."h д\j!.W'1'=-1дt(П.107)Подставляя (П.107) в (П.106), получаем уравнение Шредишера в более об­щем виде:П8.

Уравнение Шредингера455· и'1'··}·п -д\j! =li- л'1'-(П . 108)2дt2mУравнение Шредингера линейное, и его решения удовлетворяют принципусуперпозиции, т. е. если волновые функции\j/1и\j/2являются решениями ихарактеризуют два состояния системы, то функция(П.109)где а 1 и а2-некоторые постоянные, также является решением.В общем случае(П.110)пИз решения уравнения Шредингера с учетом граничных условий следует,что полная энергияственные значения\jl п.Эти значенияW может принимать лишь определенные отрицательные соб­Wn, которым соответствуют собственные волновые функцииWn и \jJ" характеризуют стационарные состояния, соответст­вующие боровским орбитам. При переходе из одного стационарного состояния вдругое энергия меняется скачком.Физический смысл волновой функции (П.103) определяется выражениемФункция '1'о зависит только от координат пространства, и величина 1'1'12представляет собой плотность вероятности нахождения частицы в момент вре­мениtвопределенной точке пространства.Собственные функции, соответствующие различным собственным значени­ям волнового уравнения, взаимно ортогональны, т.

е.f'V;'V: dV=0 при i"F-k,Vгдеiиk-индексы, определяющие два различных состояния. Интегрированиераспространяется на все конфигурационное пространство.Если собственные функции нормированы, тоf'V;'V: dV = oik•(П.111)Vгдеs: .-{1 при i =k,U,k -О приi "F-k.Из вероятностного характера волновой функции следует принцип неопреде­ленности Гейзенберга, согласно которому нельзя одновременно точно опреде­лить координаты и импульс частицы, координаты и скорость , т. е.Математические и физические дополнения456ЛхЛрzh;hЛхЛvz-,та такжеЛWЛt zгде Лх, Лр, Лv, ЛW-h,неопределенность определения соответственно координа­ты, импульса, скорости и энергии частицы; Лt-неопределенность определениявремени, в течение которого частица может иметь энергиюW0± ЛW.Из последнего соотношения следуетhЛtz-ЛWилиЛrоЛt z(П.112)1.Чтобы получить сведения о системе, необходимо провести измерения, при­чем измерения могут дать значения, характеризующие лишь одну сторону про­цесса.

Или получим набор значений, характеризующих положение частиц, илиполучим набор значений, характеризующих их импульсы. Создать условия, прикоторых одновременно можно провести точные измерения и тех и других значе­ний, невозможно.П.9. :Квантовые ансамблиСовокупность одинаковых частиц, находящихся в одиваковых макроскопи­ческих условиях (температура, давление, внешнее поле и т. д.), называется кван­товым ансамблем. Среднее значение любой величины, характеризующее со­стояние квантового ансамбля, называется средним по ансамблю.

Эти средниезначения характеризуют и поведение частиц, входящих в ансамбль. При этомсостояние всей макроскопической системы в целом характеризуется среднимизначениями величин для ансамблей, входящих в ее состав.Если состояние всех частиц, входящих в ансамбль, до измерения каких-либовеличин описывается одной и той же волновой функциейто ансамбль назы­вается чистым. При этом измерение какой-либоможет дать целыйряд значенийL 1,~ . Lз,\jl,величины LL4 и т. д., и среднее по ансамблю значение~ '°'n .L.L = L,;- '_,'iгде п чениеL;.число всех измерений; n; -пчисло измерений, дающих одинаковое зна­П 1О.

Операторы и их свойстваКаждому значениюL; соответствуетсобственная функция457'V;, так как каж­дое измерение приводит систему к новому состоянию. Чтобы повторить измере­ние, необходимо вернуть систему в исходное состояние. При этом согласнопринципу суперпозиции (П.11 О)пКомплексно сопряженная функциятплотность вероятностиm;t;n"пВторое слагаемое в последнем выражении называется интерференционным,и в случае чистого ансамбля оно отлично от нуля.Смешанным называется ансамбль, состоящий из групп, в каждой из которыхсостояние частиц характеризуется своей собственной функцией 'lf;, т. е. смешан­ный ансамбль представляет собой совокупность чистых ансамблей.Плотность вероятности в случае смешанного ансамбля представляется сум­мой плотностей вероятностей всех чистых ансамблейL l'VJ(i = 1, 2, 3, ...

, п),iгде п-число чистых ансамблей, входяших в сложный смешанный анзамбль. Вэтом случае интерференционный член равен нуmо.Состояние частиц, входящих в смешанный ансамбль, нельзя описать однойволновой функцией. Для описания состояния смешанного ансамбля использует­ся сложная функция, называемая матрицей плотности.П.10. Операторы и их свойстваОператором назьmается математическое понятие, обозначающее совокупностьматематических действий, устанавливающее соответствие между функциями.В квантовой механике применяются линейные операторы, удовлетворяю­щие условиюллл(П.113)лгдеL-оператор; и 1 (х) и и2 (х) -функции, на которые действует оператор.Действие оператора на сумму функций эквивалентно сумме результатовдействия этого оператора на каждую функцию.Математические и физические дополнения458лДействие алгебраической суммы операторовлL1иL2на функциюэквива-лентно алгебраической сумме результатов действий операторов на функцию:лллл(L1 ± L2)u(x) = L, и(х) ± L2 и(х).(П.114)Линейные операторы коммутативны, т.

е.лллли ассоциативны, т. е.ЛЛЛАЛЛL1+ (L2+ Lз)= (L1+ L2) + Lз.Произведение двух операторов удовлетворяет свойству ассоциативности, т. е.лллли свойству дистрибутивности:ллL1 (L2+лллLз) =L1 L2+ L1ллLз.Свойство коммутативности для произведения в общем случае не имеет места:ллллПерестановочное соотношение для операторовллллLiиLzобозначается в виделл[L1 L2] = L1 L2-L2 L1,откуда следует, чтолллл[L1 L2] =-[L2 L1 ].Линейный оператор, удовлетворяющий соотношенmолJи;(x)Lu 2 (x)dx=Juл,называется самосопряженным или эрмитовым.

Здесь и• ( х)плексно сопряженная с и(х);л,L -(П.115)2(x)L u~(x)dx,функция комVоператор, комплексно сопряженныи с опера-лторомL.В квантовой механике применяются только эрмитовы операторы, так кактолько такие операторы могут изображать действительные физические величины.П 1О. Операторы и из свойства459В результате действия оператора на некоторую функцию в общем случаеполучаем новую функциюлLu(x) = <р(х).Однако для некоторых функций и(х) в результате действия оператора полу­чим ту же функцию, умноженную на некоторое постоянное число:лLu(x) = Lu(x).(П.116)лЧислоLназывается собственным значением оператораL,а функция и(х),удовлетворяющая уравнению (П.16), называется собственной функцией опера­тора.Если оператор является линейным дифференциальным оператором, то урав­нение (П.116) будет линейным дифференциальным уравнением, имеющим призаданныхграничныхзначенияхL, являющихсяусловияхненулевыерешениялишьприопределенныхсобственными значениями.

Обычво имеется множест­во собственных значений и собственных функций. Совокупность всех собствен­ных значений образует дискретный или сплошной спектр.Собственные значения самосопряженного оператора всегда действительные.Собственные функции линейного самосопряженного оператора удовлетворяютусловию ортогональностиfи,:ип dV = О при т -:;:. п.VСовокупность собственных функций ип (п=О,1, 2, ... )образует полнуюсистему, т. е.

любая непрерывная функция, заданная на том же интервале, что иип, удовлетворяющая таким же граничным условиям, может быть представлена ввиде ряда(П.117)гдеfап = <ри:fdV.Ряд (П.117) сходится, если интеграл lq,1 dV существует.2VВ квантовой механике операторы служат для аналитического описания фи­зических величин. При этом значения физической величины, определяемыеопытным путем, должны совпадать с собственным значением оператора.

Характеристики

Список файлов книги