Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 73
Текст из файла (страница 73)
= 1. (Нр-рН) = [Нр]дt-(П.145)hзакон изменения матрицы плотности [р] во времени. Здесь [Нр]-квантовыескобки Пуассона.П.16. Вероятность переходаЧастица может находиться только в определенных энергетических состояниях. Под юшянием внешних воздействий она может переходить из одного состояния в другое.Пусть в момент времениt < t 1 частицанаходится в стационарном состоянии,определяемом волновой функцией 'Vот ( r) еjWmt11В промежутке времени t1•<t<t2частица подвергается внешнему воздействmо (возмущенmо) и переходит в нo-вое стационарное состояние, характеризуемое волновой функциейПереход частицы из одного состояния в другое-\j,0,, ( r) еjwnr11•вероятностный процесс.Уравнение Шредишера в данном случае имеет вид (П.120):-jnд\jl =[Й0 + И(t)]\jl,(П.146)дtгде ЙO-гамильтониан невозмущенной системы, ал{И 8 (t) при ti ~ t ~ t2,U(t)=О при t < t 1 и t > t2-оператор возмушения, характеризующий внешнее воздействие.Уравнение Шредингера для невозмушенной системы имеет вид'"'- д1ir- Jn _'Удt= НлО'У••11r-его решение\j, 1 = \j,01 еjW1t11(П.147)•Решение уравнения (П.146) будем искать в виде линейной комбинации волновых функций (П.147):,W1\jl= 2:>1(t)\jl,l=2:>,(t)\jlщ/111,l(П.148)Пlб.
Верояттюсть переходагде а 1 (t)-Пусть t 1469неизвестные функции времени.= О, t2 = 't. Поскольку при t < О частица находилась в стационарномсостоянии т, т. е.тоai(t)Приt > 't={1 при l=m,О при l* т.система вновь переходит в стационарное состояние. При этом, согласно выражению (П.148).W1t.} ti~az( 't) \j/01е,;,1- "'"''f'lr>1: -(П.149).lЗдесь коэффициентыa 1(t) = a 1 ('t)постоянны приt > 't.Величина [ai('t)i2 определяет вероятность нахождения системы в состоянии l.Вероятность нахождения системы в состоянии т при t < О по условию равнаединице, т.
е.Вероятность нахождения системы в состоянии п определяется величинойfап ('t)i2. Таким образом, вероятность перехода система из состояюm тв состояние пПодставляя выражение (П.149) в уравнение (П.146), получаем(П.150)Поскольку согласно уравнению (П.119)Й\j/01=W1'ifo1,то.Wl;- tLaz~o/oze ti1л=Laz(Ho'i!o1)elи выражение (П. 150) переходит в равенство.WlJ-tti'470Математические и физические дополненияУмножая обе части последнего равенства на \jf~n е-jwn tи интегрируя поIIконфигурационному пространству частицы, с учетом условия ортогональности(П.111) получаем-·1.]rtdап -- "~ al Иnl е- jro,,1r 'dt(П.151)1гдеffiпtWп-W1= --п,unl = f\jf~/1 йп %1dV(П.152)V-элементы матрицы энергии возмущения.Начальные условия можно представить в видеа/ (t) = <>1т1 при l =т,при l ""Fm.= {ОУравнение (П.151) можно решить методом последовательных приближений(см.
§П.5), полагая возмущение малым (Ив ➔ О). В качестве нулевого прибли-жения определим коэффициентыaz(t)из начальных условий(О) ( ) а1t-us:: 1m .Первое приближение найдем, используя нулевое приближение. Подставляяего в (П.151), получаемd c1J- 1·п~ = " а< 0)и (t)e-jIOп[f = ИdtfIптnl(t)e-jЮ.mt•откудаfu (t ') -jIOnmt' d, +unrn·t(])( )- 1а" t - -- .Jh оптеs::tОграничиваясь первым приближением, получаем-1 (]) ('t)12 -_ - 12Р,п11 ('t)- а 11пЕсли при расчете окажется, что И птf'оИпт(t)е= О,-jIOnmt dt2.(П.153)то соответствующий переход не-возможен.
Такой переход называется запрещенным.Пlб. Верояттюсть перехода471Рассмотрим возмущение частицы электрическим полемЕ=Етcos(rot- kr).Если эквивалентный электрический дипольный момент частицы равен р" тоэнергия ее взаимодействия с полеми.= -р,Е.Пусть в моментt<О частица находилась в состоянии с энергиейвлиянием возмущения переходит в состояние с энергиейИв= - р,Егде 't -= - p,Emcos(rot- kr),Wm,а подWnO<t<'t,время взаимодействия.Согласно (П.152)Ипт=f о/~п р,Е cos(rot-kr) о/от dV.VПоскольку длина волны электромагнитного поля намного больше размеровконфигурационного объема частицы, то поле в пределах этого объема можносчитать постоянным иилигде Р,пт =f о/~п p,\j,0111dV-элемент матрицы электрического моментаVдиполя .Согласно (П.153)(П.154)Значение первого слагаемого в выражении (П.154) быстро увеличиваетсяпри приближении значения частоты возмущающего поляперехода щ,111 • Практически переход возможен, если(1) z (1)птили=W11-Wтпroк значению частотыМатематические и физические дополнения472Таким образом, первый член в выражении (П.154) связан с переходом в состояние п, которое выше состояния т на величину энергииhro= nronm·При таком переходе энергия частицы увеличивается за счет поглощения энергии электромагнитного поля (резонансное поглощение).
Значение второго слагаемого ввыражении (П.154) быстро увеличивается при приближении значения частотыполяro к значениючастотыЭто слагаемое велико, если- ronm.О)::::Wm -Wп=-----0)тппилиW,,=Wт-nro.Следовательно, второй член связан с переходом частицы на нижний уровень, при котором энергия частицы уменьшается на величинуnro,отдаваемуючастицей полю (индуцированное излучение).Вероятность перехода, связанная с поглощением, согласно выражению(П.154) равнаnnorл ('t) = IРептЕтгn24sin 20)-О)пт 't21(ro- Wпт).2'(П.155)вероятность перехода, связанная с излучением,ризл(-) = ~ 1 2 4sin2 ro+2ronm't(ro+ (J)nm)'t2(П.156)Очевидно, что вероятности переходов вверх и вниз одинаковы:(П.157)Рассмотрим переходы, связанные с поглощением.
При достаточно большомзначении'tмножитель. 2 ro- ro"m4 SШ - - ~ ' t2(ro- О)пт)2обладает свойством о-функции и его можно представить в виде4sin 2 ro-ro"m2- - -= - 2-(ro- ro"111 )'t= 27t't0( 0)- ro"mJПодставляя этот результат в выражение (П.155), окончательно получаемП17. Ширина спектральной линиипоглРт,, ('t)P enm Е т=4732(П.158)21t'to(ro-ro,,"'),h1т. е.
вероятность перехода обращается в бесконечность при резонансеравна нулю приro ::!- ro,,"' .ro = ro,,"'иВ рассмотренном приближении энергетический уровень считается бесконечно узким. При учете ширины энергетического уровняР,;,~гл ( 't)будет максимальна приro = ro,,"',но конечна. Согласно формуле(П.158) вероятность перехода пропорциональна времени взаимодействия поля счастицей.Вероятность перехода в единицу времени получим, разделив выражение(П.158) на't:поглРтп) р Е 12= рпогл(тп 't = , _е птт 21tus::(ro __~~-h'tro"m ) .Если уровень т соответствует одному состоянию, а уровень п представляетсобой полосу состояний, распределенных по энергии непрерывно или дискретнос очень малым расщеплением, то переходы с уровня т в полосу состояний п будут соответствовать энергиям, заключенньIМ междуWиW+ dW.ЕслиN(W) -плотность распределения состояний в зависимости от энергии, тоN(W) dW = N(W)h dro-число состояний в полосе п. Вероятность перехода из состояния т в полосусостояний пИнтегрируя по уровню п, т.
е. по узкому спектру частот в областиro"" ro,,"',получаемР,;:гл('t) = ;1Pen111Eml 2 N(W)'t.2(П.159)При этом вероятность перехода в единицу временипоглРт11 ('t)27t 112=,;Ре11тЕт N(W).(П.160)П.17. Ширина спектральной линииПоскольку энергетические уровни не являются бесконечно узкими, а имеютконечную ширину, то излучение или поглощение при переходах происходит вМатематические и физические дополнения474некотором интервале частот, т. е. спектральная линия имеет конечную ширину,аформаееколичественнохарактеризуетсяфункцией,называемойформфактором.Конечная ширина энергетических уровней связана с конечностью временижизни частицы на энергетическом уровне Лt. Соответствующая ширина спектральной линии, определяемая как полоса частот Лео, на границах которой интенсивность излучения или поглощения уменьшается в2раза по сравнению смаксимальной, называется естественной шириной линии.
Естественная шириналинии определяет тот предел, меньше которого ширина спектральной линиибыть не может.Согласно квантовой механике естественная ширина спектральной линии Леои время жизни частицы на энергетическом уровне Лt связаны соотношением неопределенностей (П.112)ЛсоЛt""1.Конечность времени жизни частицы на энергетическом уровне учитываетсязатуханием волновой функции. В этом случае т -состояние частицы-характеризуется волновой функцией_1Е:!_'Vm ='Vтое2jwm,е п .Вероятность перехода с уровня т на уровень п определится выражением,аналогичным (П.153), где e - joo,,,.i заменяется на e - juf,,mr:(0nm+ j "111 + 'Ут.2Аналогично (П.154)рmnРассмотрим1't >> - - 'Упej(ro-ro"'")t_le-j(ro-roпm)t -1 2('t) = p е пт Е т 121__ _ _ _ _ _ _ _ _ __,1iIIсо- (0nmсо+ (0nmlпервоеслагаемое,характеризующеепоглощение,(установившийся режим).
При этом+ 'Утр погл (тп't)= Ре пт1iЕтz1(со-со )2+('Уп+'Ут)птМножитель122.полагаяП17. Ширина спектральной линии475определяет форму линии поглощения (рис. П.18), связанную с конечностьювремени жизни частицы на энергетических уровнях и называемую лоренцевой(то же будет и для линии излучения).Обозначиму= Уп +Ут2и, учитывая условие нормировки=f g(ro) dro= 1,получим форм-фактор лоренцевой линии в видеg(ro) =121(П.161)2,1t(ro- rопт ) + L42или11g(ro)=27t ( (1) - (l)nm )2где Лrо= 'У-+ ( Л2(1))(П.162)2'естественная ширина линии. Форма линии симметрична.Естественная ширина линии определяет тот предел, меньше которого ширина спектральной линии быть не может. В СВЧ-диапазоне естественная шириналинии составляет 10-3 . ..
10-4 Гц, в оптическом -около 109 Гц.Наблюдаемые спектральные линии могут являться суперпозицией нескольких неразрешенных спектральных линий-это неоднородно уширенная линия.Если такой суперпозиции нет и частица излучает или поглощает энергию в пределах всей спектральной линии, то линию называют однородно уширенной. Естественная ширина линии является однородно уширенной.В действительности ширина спектральной линии гораздо больше естественной ширинь1. В газах уширение происходит за счет эффекта Доплера. Частицыгаза находятся в хаотическом тепловом движении.
Излучение частицы, движущееся со скоростьюvличинуro0 -;; ,лучателя; с-гдеv,ffio -вследствие эффекта Доплера смещено по частоте на вечастота неподвижного из-W(ro)W( roo)скорость света. Поскольку частицыдвижутся с различными скоростями, то частоmыесдвиги излучения разных частиц различны.
Доплеровский сдвиг частоты пропорционален частоте0,5 ------0' - -""""--...J.._---'- --WoWперехода, и уширение линии наиболее значительноРис. П. 18. Лоренцева формав оптическом диапазоне. На ширину линии влияютспектральной линииМатематические и физические дополнения476столкновения частиц друг с другом и со стенками сосуда, при которых энергиячастиц уменьшается, что эквивалентно уменьшению времени жизни частицы наданном уровне или уширению линии.В твердых средах уширение линии связано с неоднородностью кристаллической решетки, что приводит к неоднородности ее поля и сдвигу энергетических уровней атомов на неодинаковую величину. Тепловые колебания решеткивызывают изменения внутрикристаллического электрического поля и колебанияего относительно некоторого постоянного значения.
Спектральная линия приэтом смещается, что эквивалентно ее уширению.П.18. Устойчивость стационарных решенийЭлектромагнитный процессвсреде описывается системой нелинейныхуравнений, которые можно свести к системе уравнений первого порядкаdx1Х2, ... , Хп);dtdx2--=f2(X1, Х2, ... , Хп);dt-=f1(X1,(П. 163)dхп--=fп(Х1, Х2, ···, Хп),dtгде f; (х;) -нелинейные функции.Условие стационарностиdx 1dt= dx2 = ... = dхп = О.dt(П.164)dtЭто условие определяет собой точки, в которых система находится в положении равновесия. Линейная система имеет одно-единственное положение равновесия, нелинейная может иметь их несколько.Решением нелинейной системы уравнений (П.163) при условии (П.164) являются группы значенийx 1s, х2,.,••• , х11,,, соответствующие положениям равновесия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
