Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Поскольку физическое значение представляется действительным числом, то оператор, соответствующий ей, должен быть самосопряженным.Математические и физические дополнения460П.11. Операторы энерrии и импульсаУравнение Шредингера (П.106) можно представить в следующем виде:[- ; :Л +U(x;)]\jl = W\jl,т. е. воздействие оператора[-;:на функцюо\jJЛ+И(х;)]равносильно умножению ее на величину(П.118)W-полную энергию системы.
Таким образом, оператор (П.118) является оператором полной энергии, егоназьmают также гамильтонианом и обозначают символом Й. В этом оператореудобно заменить функцию И (х;) оператором потеIЩиальной энергии f) (х;) :ti2ллН =- - Л+ Н(х;).2mПри этом уравнение Шредингера для стационарных состояний принимает видЙ\jl = W\jl(П.119)или согласно (П.107) вид•1,.д\jl-Jп-=нл .'11·дt(П.120)Поскольку полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий, то согласно уравнению (П.120) оператор кинетической энергиилh2Wки:н =-- Л.2m(П.121)С другой стороны,р22m= mv2Wкип2ил2лрwкип =--,2mгдер-оператор импульса.Сравнивая формулы (П.121) и (П.122), получаемр2= -h2Л'(П.122)П.12.
Среднее значение. Матрицы461илиp=jhV,илиА•f.дР; =1п д,Х;ААгде Р; - проекция оператора р на оси координат.П.12. Среднее значение. МатрицыСреднее значение, или математическое ожидание, физической величины хопределяется выражением""f xf(x) dx,х=гдеf(x) -Ecmr х -(П.123)плотность вероятности случайной непрерьmной веmrчины.координата, то ее среднее значение=fх = x\j/ (x)\jl(x) dx,гдеСреднее значение функцииF(x)=F(x) =Среднее значение оператораLf \jl' F(x)\jl dx.fL = \j1* L\j1 dV '(П.124)(П.125)Vгде интегрирование проводится по конфигурационному пространству, т.
е. посовокупности координат, определяющих положение частицы и ее элементарныхчастей в пространстве.Поскольку L действительная измеряемая величина, тоL=L•,аfL* = \j!I,*\jl*dV,Vт. е. оператор должен удовлетворять условию (П.115).Поскольку согласно формуле (П.11 О)(П.126)Математические и физические дополнения462птто, комбинируя попарно волновые функции\j/11иполучаем согласно (П.126)\j/111 ,последовательность средних значений, в общем случае зависящих от времени:Lnm (t) =f'V: L'VndV = L: n(t),(П.127)Vкоторые можно представить в виде эрмитовой матрицы, рассматриваякакL11" 'элемент матрицы, где первый индекс относится к номеру строки, а второй-кномеру столбца:L11~_1[L(t)] =rАлгебра операторов соответствует алгебре матриц. Переход от операторов кматрицам соответствует переходу от дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям.П.13. Матрица электрического дипольного моментаЭлемент матрицы электрического дипольного момента, согласно (П.127)определяется выражениемРе пт (t) = f'V:1\'V п dV,(П.128)Vгдер,-оператор дипольного момента, и интегрирование проводится по конфигурационному пространству частицы (атома или молекулы).Движение электронов можно охарактеризовать вероятностью нахожденияих в той или иной точке пространства.
Совокупность этих точек можно рассматривать как электронное облако. Вероятность нахождения электронов в объемеdV пристационарном состоянии, характеризуемом волновой функцией\j/11,определяется выражениемплотность заряда в данном объеме-а среднее значение дипольного момента, соответствующее диагональному элементу матрицы (П.128),Ре пп =ef 'V:,\jf rdV =ef \jf:r\j/ dV,11V11V(П.129)ПJЗ. Матрица электрического диполыюго моментагдеr -463радиус-вектор, проведенный из начала координат, где находится ядроатома или центр тяжести зарядов ядер молекулы, к произвольной точке электронного облака; интегрирование проводится по конфигурационному пространству частицы.
При симметричном распределении электронного облака выражение (П.129) равно нулю, при несимметричномвительно, в последнем случае, еслиr-постояннму значенюо. Дейстне зависит от времени, то согласно (П.103)подынтегральное выражение в (П.129) от времени также не зависит.Переходы между двумя уровнями т и п происходят в обе стороны, и с учетом формулы (П.103) можно записатьРепт=fff .*е \jl:r\jlп dV = е \jl;mr\jlon ejro"'"1 dV;VРетп =еVf.* .'lfпГ'lfmdV=еV.'l'опГ'lfотеjroптI dV'(П.130)Vгдеro"m=W,, -WmпНедиагональные элементы матрицы (П.128) зависят от времени и определяют поглощение или излучение энергии частицей при соответствующих переходах.ОбозначимfГтп = \jl;mr\jlon dV;Vr"m*=rm,,= f.'lf*o"Г'lf. om dV·VПоскольку это действительные величины, тоrпт = rтп =f\j1: r\j! п dV,Vи в общем случае электрический дипольный момент может быть представлен ввиде эрмитовой матрицыР, 11[p,(t)]=ре 21 ej(l)zJIР, 111 егде Peik=Peki;щkjЮ,,JfР,22(П.131)Реп11=-(J)ki"В случае квантовомеханической системы с двумя энергетическими уровнями, считая, что другие уровни достаточно далеко удалены от этих двух уравнений и не взаимодействуют с ними, матрицу дипольного момента запишем в виде464Математические и физические дополненияР, ejfi>izt ]·Р,22В большинстве случаев ввиду симметричв:ости электронного облака дипольные моменты, соответствующие стационарным состояниям, равны нуmо и[p, (t)] =[оj (i>J.1I ре eojФjzt ]·(П.132)р, еП.14.
Матрица энергииСогласно выражению (П.127) элементы матрицы энергии определяются выражениемН"т = f\jl: )1\jl"(П.133)dV,Vгде Н-оператор энергии, и интегрирование проводится по конфигурационному пространству.Если оператор Н не зависит от времени, а согласно формуле (П.103).W"t. - .}'Vn -'Vоп е;,'то подынтегральное выражение (П.133) имеет вид· *л·'VmH\jf11· *л.= 'VОт H\jf Оп е jrotпт'гдеПрит=п\jl:н\jl,, =\jl~,,11\j,0 ,,.Таким образом, диагональные элементы матрицы не зависят от времени и соответствуют стационарным состояниям, недиагональные-зависят от времени и соответствуют переходам системы из одного стационарного состояния в другое.В случае квантовомеханической системы с двумя энергетическими уровнямиW1иW2 (W1 < W2 )стационарные состояния описываются волновыми функциями вида (П.103):.'Jf 01 еj W1 1;,.и 'Jf 02 еjW2 1;,·Подставляя эти волновые функции в уравнение (П.119), получаемП14.
Матрица энергии=W1'Vo1;Ho'Vo1Здесь НOHo'Vo2465= W2'Vо2-гамильтониан невозмущенной системы (частицы), который соглас-но формуле (П.127) можно представить в виде матрицы. С учетом условия ортогональности (П.111) получаемfНо12 = f'V~1 Но 'Vo2 d V = О;Но21 = f'V~2 Но 'Vo1 d V = О;Н = f'V Но 'V d V =Нон= \j,~1 Но 'Vo1 d V = W1;VVV022~202W2,Vили(П.134)Под воздействием поля излучения частиц Е система уже не будет находиться встационарном состоянии.Состояние системы будет определяться уравнением(П.120):-jnд\jl =[Н0+ U(t)]\jl,дtгде И(t) -(П.135)оператор возмущения.При дипольном взаимодействииU(t)=-p,E,и уравнение (П.135) можно представить в виде.д\j!л- 1n- =[ Н 0дtгде [ НO-р е Е]-лл.р Е] \Jf,-егамильтониан возмущенной частицы.Согласно (П.134) и (П.132)[Но-РеЕ]-[_ РеЕлчастотысо11"'лл-= Wп -WmпWi- Ре ЕW2б]-п[-(ОiЕ-~птакже о разуют матрицуРеЕ]п--со2.(П.136)Математические и физические дополнения466ffi12...о...[ro]=[;,(l)nlro,"](1)2по(l)n2П.15.
Матрица ПЛОТНОСТИСистему частиц можно разделить на груmrы, в каждой из которых частицы находятся в определенных энергетических состояниях с энергиеймых волновыми функциями \j/;(i = 1, 2, 3, ... ).W;,характеризуеСтатистический вес гpymrN ,.g i -н·гдечисло частиц i-й груmrы;N; -полное число частиц.N-Очевидно, чтоСреднее значение некоторой величины р для всей системы равнор = Lg;P;,где Р;-(П.137)среднее значение величины р для i-й группы согласно (П.124) определяется выражениемР; =f\jf: Р;о/; dV.(П.138)VФункции о/; и \j/; согласно (П.110) можно представить в следующем виде:,if.'t'i="aU\if,L..J'Yn'пп.* - "(i).
*\jf; - L,an 'Vm·(П.139)пПодставляя (П.138) и (П.139) в (П.137), получаем~Р-"L,g;L,L,am" " (i)• ап(i) Рmп',ппfгде Ртп = \jf:p\jf п dV - матричный элемент, илиVР = LPmnPmn'(П.140)т,пгдеРтп"(i)• (i)-- L,giamап(П.141)467П 15. Матрица плотности-матричный элемент матрицы [р] , называемой статистической матрицей илиматрицей плотности.Диагональные элементы матрицы плотности Ртт определтот вероятность нахождения системы в данном состоянии'l'm,поэтому эти элементы не бьmаютотрицательными и сумма всех диагональных элементов равна единице.
Недиагональные элементы Ртп характеризуют квантовые переходы из состояния'l'm всостояние 'l'п (с энергетического уровня т энергии на уровень п). Поскольку среднеезначение физической величины должно быть действительным, то матрица плотности является эрмитовой.Выражение (П.140) можно представить также в виде(П.142)т. е. среднее значение величины равно сумме диагональных элементов матрицы,представляющей собой произведение матриц [р] и [р].Если система изменяется во времени, тоРтп= L8;a~)*(t)a~i) (t);iдр тп _--дtIg.,. , [дат(i)*--адtи)п+а(i)*тдап-(i)]дt.да(i)Величину _п_ определим с помощью уравнения (П.120):дt-- ]·п д\j,;дt 'н·(П.143)'I'; -где величину'V; представим в видепЗдесь \j, п-собственные функции оператораiI.Подставляя это разложение ввыражение (П.143), умножая обе части на \j,: и интегрируя, получаем(П.144)гдеfНтп = \j,:, Н \j,п dV.VС учетом выражения (П.144) и эрмитовости матрицы энергии в формуле(П.143), а именно Нт;= Н;:, получаемМатематические и физические дополнения468илид._е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
