Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

П.7). Координатные поверхно­сти в цилиндрической системе координат: плоскостилиндры(r = const)и полуплоскости (а,=const),(z = const),круговые ци­проходящие через осьz подуг­лом а, к фиксированной полуплоскости. Координатные линии в этой же системекоординат прямые(r = const,а= const иа= const, z = const)и окружности(r ==const, z =const).

Направления координатных осей определяются ортами е,, е«,ez. В цилиндрической системе q 1 = r, q2 = а, и q3 = z.Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими соотно­= r sin а, и х3 = z.Коэффициенты Ламэ: h, = 1, h« = r, hz = 1.шениями: х 1= rcos а,х2Согласно формулам (П.31)-(П.34)zХ3е,1111111Плос костьотсчета,,,,,,- ....,:;;t:о<)11i:SбаРис.

П.7. Цилиндрическая система координат:а-координатные поверхности; б -координатные линии, оси и их ортыП2. Векторный анализд<рg rad<p=-eдr1 д<рr421д<р+--е +-е ·r да О, дz z ,div А =_!l._(rA,.) +.! дАаr дrrда(П.35)+ дАz;(П.36)дzrotA=.!_ [ дAz _ д(rЛа)]е + [дАr - дАz]е +.!.[д(rАа) _ дАг]е.даrдzrдzдrаrдrда(П.37)z'(П.38)Согласно (П.11)(П.39)Здесь ЛАr,ЛАа и ЛАz-лапласианы скалярных величин, определяемые поформуле (П.38).Сферическая система координат (рис. П.8).

Координатными поверхно­стями в сферической системе координат являются сферы радиусомуглом раствора2'{} и полуплоскости,проходящие через осьr,конусы сz под углома к фик­сированной полуплоскости; координатными линиями являются окружности= const,а=const и r = const, i} = const)и прямые (а=ления координатных осей определяются ортаминат q,er,const, i} = const).(r =Направ­еа, е,э. В этой системе коорди­= r, q2 = it и qз = а.Сферические координаты связаны с декартовыми следующиминиями: х1= r sin ttcos а,х2= r sin ttsin а,х3= r cos it.баРис. П.8. Сферическая система координат:а-координатные поверхности; б -координатные оси и их ортысоотноше­Математические и физические дополнения422Коэффициенты Ламэ:h, = 1, ht} = r, ho.

= r sin 1'}.В соответствии с формулами (П.31)-(П.34)дq>1 дq>·дr r r д1'}r sin 1'} да а '..1 д 21д.1 дАаdivA = -2 - ( r А )+---(A~sшt,)+---·r дrrr sin 1'} д1'}r sin 1'} да '1rotA= - - [l.__(A sint})- дАt}]е +[-l_ дА, _ l д(rАо.)]е +r sin 1'} д1'} о.да 'r sin 1'} да r дrt}gradq> = - е1 дq>+ -- е~ + --- е+[.! д(rА~) _ _!. дА,]еа;rЛq> = - 12 ~(r 2 дq>) +rдrдrrдr(П.40)(П.41)(П.42)д1'}211д(sin1'} дq>) +дq>.r 2 sin 1'} д1'}д1'}r2 sin 2 1'} да 2(П.43)В соответствии с формулой (П.11)ЛА = [лл -22 л rrr2дr 2 sin 1'} д1'}(sin 1'}¾) -2r 2 sin 1'}дАх ] еда+r+ [л¾ _¾+ 2 дА, _ 2cos 1'} дАа ]е +r2 sin 2 1'} r2 д1'} r2 sin 2 1'} да ~ЛАаАа2дА,2 cos 1'} д¾ ]+- r2 sin 2 1'} + r2 sin 1'} да + r2 sin 2 1'} да еа ·[Здесь ЛА,,ЛАх и Л¾-(П.44)лапласианы скалярных величин, определяемые поформуле (П.43).П.3. Специальная теория относительностиСпециальная теория относительности создана А.

Эйнштейном в1905г. Этатеория возникла при попытке согласовать между собой экспериментальные дан­ные, относящиеся к электродинамике движущихся сред и связанные с неудач­ными опытами Майкельсона по обнаружению движения Земли относительноэфира (опыт Майкельсона). При этом Эйнштейну пришлось выйти из рамокэлектродинамики и создать общую физическую теорию.Принцип относительности Эйнштейна.

Для описания события необходи­мо связать его с определенной системой отсчета, т. е. необходимо указать, в ка­ком месте и в какое время оно происходит. Место определяется координатами,время-часами.Системы координат, в которых движение тел, не находящихся под действи­ем внешних сил, происходит с постоянной скоростью, называются инерциаль­ными.

Если две системы координат движутся относительно друг друга равно-ПЗ. Специальная теория относительности423мерно и прямолинейво и одна из них является инерциальной, то и другая явля­ется инерциальной. Если тело покоится в одной инерциальной системе коорди­нат, то оно может двигаться в другой инерциальной системе, двигаться с инойскоростью в третьей, но ни в одной инерциальной системе тело не будет дви­гаться с ускорением.Принцип относительности заключается в том, что уравнение, описьmающее не­который закон природы, будучи выражено через координаты и время, в различныхинерциальных системах имеет один и тот же вид. (Уравнения, сохраняющие формупри координатных преобразованиях, назьmаются ковариантными.)В теории поля предполагается, что возмущение поля в некоторой точке рас­пространяется с конечной скоростью.

Максимальная скорость распространениявозмущения одинакова во всех инерциальных системах и равна скорости света ввакууме (с = 2,99792-108 м/с).Принципом относительности Эйвштейна является объединение принципаотносительности с конечностью скорости распространения возмущения. Из это­го принципа следует относительность одновременности событий.Указание места и времени совершения события имеет смысл, когда данычисленные значения координат места и времени как результат вполне опреде­ленных и принципиально выполнимых измерений, которые осуществляются спомощью обычных координатных масштабов и часов.

Часы расставляются в ис­следуемые точки и в начало координат и регулируются следующим образом: изначала координат посьшаетсясигнал к регулируемым часам,находящимся наl от начала координат. Наблюдатель, находящийсявит время t = l/c в момент получения светового сигнала.у этих часов, ста­расстоянииПри этих условиях два события, происходящие в разных точках системы,считаются одновременными, если часы, находящиеся в этих точках, показываютдля этих событий одинаковое время.

Однако эти события в другой системе бу­дут неодновременными.Действительно, рассмотрим две системы координат К и К' , движущиесядруг относительно друга с постоянной скоростьюu(рис. П.9). Причем системаК' движется относительно К вправо, вдоль осих1 .Пусть из некоторой точки А на оси х; системы К'-посьшаются сигналы в двух взаимно противоположныхuнаправлениях. В системе К' скорость сигнала равна си в точки В и С, равноудаленные от точки А, сигналприходит одновременно. Однако эти собьпия (приходсигнала в точки В и С), с точки зрения наблюдателя,В А Сотак как согласно принципу относительности скоростьХ3Х3сигнала в системе К будет также равна с, но точка ВРис.при движении системы К' движется навстречу сигналу,системыа точка С -положительномпо направлению от сигнала и, следователь­но, в точку В сигнал приходит раньше, чем в точку С.xjJ----======e:..находящегося в системе К, не будут одновременными,П.9.ПеремещениекоординатК,внаправле­нии оси х1 со скоростьюuМатематические и физические дополнения424Интервал.

В декартовой системе координат расстояние между двумя точ­камиЛ/23=rлх;,i=Iгде Лх;-соответствующая разность координат точекэто называется интервалом, а величина Лl -(i = 1, 2, 3).Расстояниедлиной интервала.При переходе от одной системы координат к другой абсциссы и ординатыточек изменяются, а расстояние остается тем же. Величины, не меняющиеся припреобразовании координат, называются инвариантными. Свойство инвариант­ности выполняется и в случае бесконет.mо малого интервала32dl =Ldx;.i= lСобытие определяется тремя координатами и временем, поэтому удобнопользоваться четырехмерным пространством, в котором три измерениястранственные, а четвертоеvределяемоикоординатамиxi,системе К в момент времени t<tв системек'и Xi,'х2 ,' t'х3 ,1)в системе).Xi 1),к'.~I)вотправляется сигнал со скоростью света с.

Вто­рое событие состоит в том, что сигнал приходит в точку х}2),2про­время. Всякое событие изображается точкой, опх2 , х3 ,Пусть одно событие состоит в том, что из точки с координатами х[1),мент времени t<-Xi2),х?) в мо-Расстояние Лl, пройденное сигналом, определяется, с одной сто­роны, выражением3лz2= I:Лх;2,i= lгде Лх;-соответствующая разность координат, а с другой стороны, выраже­ниемЛl 2 =с 2 Лt 2 •Таким образом, зависимость между координатами обоих событий в системеК имеет вид32LЛх/- с Лt2= О.i= lПоскольку скорость света в обоих системах одинакова, то в системе К'32LЛх;2-с Лt'2= О.i=lАналогично трехмерному эвклидову пространству величину, определяемуюсоотношениемПЗ.

Специальная теория относительностиЛS23'°'=~ Лх21-с Лt24252'i=Jназывают интервалом между двумя событиями.Если два события бесконечно близки друг к другу, то3dS 2= Ictx; -с2Лt 2 •(П.45)i=IАналогично определяется интервал и в системе К'. Очевидно, что интервалявляется инвариантом, так как определяющая его разность остается равной нулюпри переходе от системы К к системе К'. Однако эта разность может быть и неравной нулю, если речь идет не об отправлении и получении сигнала, а о другихсобытиях, но она по-прежнему остается инвариантом.ОбозначимХ4= jct,тогда выражение (П.45) перепишем в следующем виде:4dS2= L dx;2 •(П.46)i=IПоэтому, рассматривая четырехмерное пространство, будем характеризоватьсобытие координатами х; (i = 1, 2, 3, 4).

В этом случае ЛS 2 можно истолковатькак квадрат расстояния между точками х?) и х? (i = 1, 2, 3, 4), а dS2-какквадрат элемента длины в четырехмерном пространстве.Только в эвклидовой геометрии интервал равен сумме квадратов разностейкоординат и поэтому интервал dS2(П.46) можно рассматривать как инвариантчетырехмерной эвклидовой геометрии.Преобразования Лоренца. Рассмотрим две системы, движущиеся друг от­носительно друга со скоростью и, так что ось х1 все время совпадает с осью х; ив начальный моментt=О начало координат одной системы совпадает с началомкоординат другой (см. рис.

П.9). С точки зрения классической механики времясобытия абсолютно, т. е. не зависит от системы координат, и связь между коор­динатами в системе К' и К определяется выражениямих1= х1 -ut;х2= х2;хз= хз;t' =t,(П.47)называемыми преобразованием Галилея.Согласно теории относительности эти преобразования можно заменить но­выми линейными преобразованиями, основанными на инвариантности скоростисвета и не предполагающими время абсоmотным. Эти преобразования не долж­ны выделять одну инерциальную систему относительно другой и они являютсялинейными. Очевидно , чтоМатематические и физические дополнения426х[ = а(х1-,ut);Х3=Х3;t' = bt + gx1(П.48)(в силу симметрии t' от х2 и х3 не зависит).Найдем коэффициенты преобразования а, Ь и g.

Пусть в момент времениt=О из начала координат системы К, которое в этот момент совпадает с началомкоординат системы К' , излучается сферическая электромагнитная волна. Ско­рость ее распространения равна с и одинакова во всех направлениях. Тогда рас­пространение фронта волны в системе К можно записать в виде2Х1а в системе К' -22+ Х2 + Хз= С2t 2 ,(П.49)в виде(П.50)Подставляя (П.48) в (П.50) и группируя подобные члены, получаем2 22 2 222 22 2(с Ь -u a )t =(а -c g )xf +xl +xf-2(ua +c bg)x1t.Сравнивая полученное выражение с (П.49), получаем= с2;а2 -c2g2 = 1;2иа + c bg = О.с2Ь2 -и2а22Отсюдаа1= Ь = --;::::===;✓1-и 2/с21-Ь 2Ьиg= - - =-- 2с ·ub(П.51)Подставляя (П.51) в (П.48), получаемXJ1х, = ✓,-ut2; 2;1 -их2=хз= хз;сх2;(П.52)Выражения (П.52) представляют собой преобразования Лоренца.

Характеристики

Список файлов книги