Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Преобразование координат. ТензорыОбозначим оси прямоугольной правой декартовой системы координат х 1 , х2 ,х3 • Тогда расстояние Лl между двумя точками в этой системеЛl23= z:лх;,i=Iгде Лх;-соответствующая разность координат точек(i = 1, 2, 3).Расстояние Лl называется интервалом, а его значение-длиной интервала.При переходе от одной системы координат к другой абсциссы и ординатыточек изменяются.
Такой переход называется преобразованием координат; ономожет заключаться в изменении начала координат, повороте координатных осейили в одновременном повороте осей и переносе начала координат.Если при преобразовании координат меняются абсциссы и ординаты точек,но не меняются расстояния между этими точками, то пространство называетсяэвклидовым.Величины, не зависящие от преобразования координат, назьmаются инвариантными. Для эвклидова пространства свойство инвариантности выполняется ив случае бесконечно малого интервалаПl. Преобразование координат. Тензоры407к---------------~,/А31//u/11К'К///----------------~//Рис. П.1. Разложение вектора А на составляющие по коРис.
П.2. Переход от сисординатным осямтемы К к системе К'3d/ 2= Ictx;.i=IРассмотрим вектор А в прямоугольной системе координат К(О,xi, xz, х3).Обозначим составляющие вектора в этой системе через А 1 , А 2, А 3 (рис. П.1). Составляющие того же вектора в системе К'(О, х;, х~,-½) обозначим соответственно через А;,А~, А; (рис. П.2). Связь между составляющими вектора в обеих системах определяют следующие выражения:А{= А1 cos(e;e 1) + А2 cos(e;e2) + Аз соs(е;ез);А2А~где е1, е2, е3-= А1 cos(e2e1) + А2 cos(e2e2) + Аз соs(е2ез);= А1 cos(е;е1) + А2 cos(е;е2) + А3 cos(е;ез ),орты (единичные векторы) системы К; е; , е;, е;(П.1)-орты системы к'.Для упрощения выражений (П.1) косинусы девяти углов, образованныхосями системы К с осями системы К' (направляющие косинусы), обозначимсогласно табл. П.1.Таблица П.1Ортысистемы К'Iе1Iе2IезПримечание.
CX;kОрты системы Ке1е2еза11а12а1за21¼2¼заз,аз2азз= cos(e;, ek).Математические и физические дополнения408Перепишем выражения (П.1) в сокращенной форме:А,= а11А1 + а12А2 + а1зАз;Az = а21А1 + а22А2 + а2зАз;Аз= аз1А1 + аз2А2 + аззАз,или еще короче3л; = La,ikAk (i = 1, 2, 3).k=IСогласно правилу Эйнштейна о суммировании знакLможно опустить, таккак индекс, встречающийся в произведении дважды, означает суммирование от1 до 3.Окончательно имеем(П.2)Согласно этому выражению, можно дать такое определение вектора. Векторомв трехмерном пространстве называется совокупность трех величин, которые преобразуются при повороте системы координат согласно формуле (П.2).Вектор есть частный случай тензоратензор первого ранга (скаляр-тензор-нулевого ранга). Далее будем пользоваться тензорами второго ранга, которыеможно представить как совокупность трех векторов-тензоров первого ранга.Через векторы тензор второго ранга преобразуется по закону, аналогичному(П.2), а так как каждый вектор преобразуется по закону (П.2), то преобразованиетензора при повороте координат определяется формулой(П.3)Здесь двойной индекс в произведении означает суммированиезора определяется числом индексовнент тензора в трехмерном пространстве равно[-'Г~1 'Г~2 'Г~з]Т22Т23Тз1Тз2Тззтензор второго ранга в трехмерном пространстве;(T;k) =-3' (где r -(I';k) = Т21в четырехмерном пространстве[(lи т).
Ранг тентензор второго ранга). Число компо(T;k -4'т1 ,т,2т,зТ21Т22Т2зтз1тз2тззТ4,Т42Т4зтензор второго ранга в четырехмерном пространстве.ранг тензора).Пl. Преобразование координат. Тензоры409Тензором второго ранга в трехмерном пространстве называется совокупность девяти величин, преобразующихся при повороте системы координат согласно формуле (П.З).Тензором второго ранга в четырехмерном пространстве называется совокупность шестнадцати величин, преобразующихся при повороте системы координат согласно формуле (П.З).Тензор второго ранга называется симметричным, еслит. е. когда равны компоненты , симметричные относительно главной диагонали.В трехмерном пространстве такой тензор определяется шестью величинами:[Т11 Т12 Т13]1i2 Т22Тzз ·7iзТззТzзТензор называется антисимметричным, еслиТ;k= -Tki•т. е.
компоненты на главной диагонали равны нулю , а симметричные относительно главной диагонали компоненты равны друг другу с противоположнымзнаком. В трехмерном пространстве такой тензор определяется тремя величинами:Тензор называется самосопряженным, или эрмитовым, еслиВ трехмерном пространстве этот тензор определяется шестью величинами.На главной диагонали тензора стоят действительные величины, так как толькотакие величины сами себе сопряжены, т.е.Суммой д~х тензоров второго ранга(A;k) и (B;k) называется тензор (C;k) тогоже ранга, компоненты которого равны сумме компонент слагаемых тензоров:cik= Aik + B;k ·Складывать можно любое число тензоров, но только одинакового ранга.Математические и физические дополнения410Произведением двух тензоров(A;k) и (В,т) назьmается тензор (Сш111), компоненты которого равны произведению компонент перемноженных тензоров:Перемножать можно любое число тензоров любых рангов.
Ранг произведения тензоров равен сумме рангов перемножаемых тензоров. Произведение двухтензоров некоммутативно:(A;k )(Blm) "# (Blm )(A;k ).Свертыванием тензоров называется суммирование по двум индексам. Полагая два индекса тензора одинаковыми, т.
е. суммируя по этим индексам, получаем из тензора рангага; 'Г;;r тензор ранга r - 2.= т, 1 + Т22 + Т33 -Например,(T;k) -тензор второго ранскаляр. Свертывать можно несколько раз.Взаимным свертыванием или свертыванием произведения тензоров называется свертывание по индексам, принадлежащим различным тензорам.Перемножая два тензора ранговr и s, получим тензор ранга r + s. Свертьmая поr + s - 2.индексам, принадлежащим различным тензорам, получим тензор рангаНапример, В;-вектор;(µ;k) -тензор второго ранга; Н; -вектор;µ ;kHk = В; -вектор.П.2. Векторный анализСкалярное произведение двух векторовскаляр и определяется выражени-ем(АВ)=АВ cos(AB).При перестановке векторов имеемАВ=ВА.Скалярное произведение двух векторов представляет собой взаимное свертывание двух тензоров первого ранга:(АВ)= А;В; = А,В, + А2В2 + А3 В3 .Векторное произведение векторов А и В-вектор, перпендикулярный этимвекторам и по абсолютной величине равный площади параллелограмма, построенного на этих векторах.В декартовой системе координат[АВ]е,е2е3= А,А2А3В1В2Вз= е 1 (А2 В3 -В2 А3 ) +е 2 (А3 В 1 - А1 В3 ) + е 3 (А1 В 2 -А2 В 1 ) .Абсолютная величина векторного произведенияl[ABJI = АВ sin(AB).П2.
Векторный анализ411Направление вектора [АВ] определяется из условия образования правойсистемы с векторами А и В.Векторное произведение некоммутативно, т.е.[АВ]= -[ВА].Смешанное, или векторно-скалярное, произведение трех векторов А, В и С-скаляр; оно численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:При перестановке векторов имеем(А[ВС])= (В[СА]) = (С[АВ]) = -(В[АС]) = -(С[ВА]) = -(А[СВ]).Двойwе векторwе произведение векторов А, В и С определяется выражением[А[ВС]]Тензорwе поле-= В(АС) -С(АВ).(П.4)область пространства, в каждой точке которого заданозначение некоторой тензорной величины. В зависимости от ранга тензора поленазывается скалярным (тензорное поле нулевого ранга), векторным (тензорноеполе первого ранга) или тензорным рангаr (тензорноеполе рангаr).Если поле зависит не только от координат, но и от времени, то оно называется нестационарным, если поле от времени не зависит, то оно называется стационарным.Скалярwе поле-область пространства, каждая точка которого характеризуется некоторым значением скаляра.
Поскольку каждая точка определяется радиус-векторомr, то поле определяется скалярной функцией<p(r) =<р(х;).Примером скалярного поля является поле температур.Если поле зависит от времени, то<p(r, t)= <р(х;, t).Точки поля, характеризующиеся одним и тем же значением <р(х; ), образуютповерхности, называемые поверхностями равного уровня или эквипотенциальными поверхностями:<р(х;)= const = с.Задавая различные значения с, получаем семейство поверхностей, распределение которых в пространстве характеризует скалярное поле.Математические и физические дополнения412Вектор, численно равный~:и направленныйпо нормали к эквипотенциальной поверхности всторону возрастания скаляра <р, назьmается градиентом скаляра:Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
