Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Они рассчитываются методами теории электромагнитного поля или определяются экспериментально путем измерений. Эквивалентная схема линии приведена на рис.Каждый участок линииCrf],x,индуктивностьюLrf],x,9 .2.dx характеризуется сопротивлением Rrf],x, емкостьюпроводимостьюGrf],x.На протяжении малого участка dx ток считаем неизменным.Изменение напряжения вдоль линии определим с помощью интегральногоуравнения (П') и рис.9.2:fPEdl=- дФ =-~ BdS.Lдtдt SКонтур(9.1)L состоит из отрезков проводов 1-2 и 4-3 (см. рис.
9.2)f Edl= f Jdl= i~o dx; f Edl = i:o dx1- 2и отрезков4-1и1- 23- 42-3, соединяющих провода по кратчайшей прямой в+ dx,поперечных сечениях х и хf Edl= и(х+ dx) = и(х) + ди dx; f Edl = -и(х),дх2-3где и(х) и и(хих++ dx) -напряжения4- 1между проводами соответственно в сечении хdx.Таким образом,pEdl = ди dx + iR0 dx.Lдх(9.2)Магнитный поток Ф, проходящий через площадку, ограниченную контуромL,равенУравнения длиююй линии9.1.-+=f++--_i___ --- -!и(х, t) :и(х, t)Godx3631---------------12i(x, t)г--)!+ЕРис.и(х, t) ++ :~ dx: ~ dxlзв-хdxх:i(x, t)+ dx9.3.
К выводу телеграфных уравненийfФ = BdS =Ф 0 dх =Loidx.(9.3)sЗдесь Ф0 -магнитный поток, приходящийся на единицу длины линии. Онсостоит из потока между проводами и потока внутри проводов.Подставляя выражения(9.2) и (9.3)в уравнение(9.1),получаемдидi.-+Lo-+Roz=O,дх(9.4)дtт. е. напряжение между проводами вдоль линии изменяется вследствие падениянапряжения из-за индуктивности и активного сопротивления проводов.Изменение тока вдоль линии определим с помощью уравнения непрерывности в интегральной форме(V ') (см. § 1.5)f~JdS = -~ pdV,Sдt V(9.5)применив его к элементу объема, обозначенному на рис .9.3пунктирной линией.Левая часть уравненияречным сечениям х, х+ dx(9.5)представляет собой сумму интегралов по попеи боковой поверхности участка провода длинойНа протяжении малого участка линииfdx напряжение считаем неизменным:JdS=i(x+dx)=i(x)+~dx;дхS(x+dx)f JdS =-i(x);S(x)f JdS = и(х, t)G dx.0SоокТаким образом,dx.9.
Цепи с распределеттыми параметрами ( длиттые линии)364~JdSsПравая часть уравненияд"= _zdx + и(х, t)Godt.(9.6)дх(9.5) связана с изменением заряда в межпроводнойdx, что также влияет на различие токов i(x) иемкости участка JШнии дливойi(x + dx):f~ pdV = дСоdхи(х, t) = Со ди dx.дt VПодставляя выражениядt(9.7)дt(9.6) и (9.7) в уравнение (9.5), получаемдiдидхдt- + Co - +uGo =О,(9.8)т. е. ток изменяется вдоль линии вследствие тока утечки и заряда межпроводнойемкости линии.Уравнения(9.4) и (9.8)образуют систему уравненийдидi.-+Lo-+Roz =0;дхдtдiдидхдt(9.9)-+Co-+Gou=Оописывающую электромагнитный процесс в пространстве и во времени.
Их вывел английский физик В . Томсон в серединеXIXв. при изучении электромагнитных процессов в кабельных линиях телеграфной связи. Поэтому их называюттелеграфными уравнениями.Уравнения(9.9)и эквивалентная схема (см. рис.9.2)непосредственно относятся к ленточной линии и коаксиальному волноводу при близко расположенных проводниках и распространении электромагнитного поля, имеющего толькопоперечные составляющие (Т -волна).При гармоническом источнике возбуждения электромагнитного поля в линии уравнения(9.9)записываются в следующем виде:аи-дхдi.+ (R0 + jrol..o)l = О;.- + (G0 + jroC0 )Uдхгде И,(9.10)= О,действующие значения напряжения и тока соответственно.Продифференцировав первое уравнение системы (9 .1 О) по х и подставивдii-значение дх из второго уравнения системы, получим9.1.
Уравнения длиююй линии3652 •д ~ -(jroц + Ro)(JroCo + Go)U = О.дхАналогично, продифференцировав второе уравнение системыподставив значениедuдх(9.19)по х ииз первого уравнения системы, получимд2.дх; - (jroCo + Go )(Jroio + R0 )i = Оили2 .д И-2дхд·2 ·+koU =0;(9.11)2.-дх/·2 .+k0 /2=О.Здесь(9.12)-постоянная распространения.Общее решение системы уравнений(9.11)представляется в виде двух волн,распространяющихся вдоль линии в противоположных направлениях,U(x)или, посколькуk0 =Р-= и nад e -jkox + иотр ejkox ;(9.13)ja ,И(х) = И nад е-а.х е-Рх + И отр еа.х еРх;(9. 14)i(x) = iпад е-а.х е-Рх + iотр еа.х еРх,где Иnад, Иотр , iпад , i0тр- произвольные комплексные постоянные; а -постоянная затухания, характеризует ослабление на единицу длины, м- ; р - фазовая постоянная, характеризует изменение фазы на единицу длины, м- 1 •Первые слагаемые в выражениях (9.14) для линий с потерями (а j О) пред1ставляют собой волну, распространяющуюся вдоль линии в сторону возрастаниях ( от источника к нагрузке) с затуханием.
Это-падающая, или прямая, волна.Вторые слагаемые представляют собой волну, возрастающую по амплитуде сувеличением х (с приближением к концу линии). Этоная, волна.-отраженная, или обрат3669. Цепи с распределеттыми параметрами ( длиттые линии)Отношение комплексного действующего значения напряжения к комплексному действующему значению тока падающей волны определяет волновое, илихарактеристическое, сопротивление линииZo= ~пад(х)_lпад (х)Считая, что отраженной от конца линии волны нет, т. е.••"k= Иnаде- оХ;1.nад (х) = 1·пад е- jk x 'Ипад(Х)1(9.15)0подставляя выражения(9.15) в уравнения (9.10)с учетом(9.12), получаемZo = ~ пад = Ro + jro[,; = Ro + jro[,;/ падJkoGo + jroCo(9.16)Отношение комплексного действующего значения напряжения к комплексному действующему значению тока отраженной волны имеет вид~отр(х) = ~отр = R0 + _JroL,; = _ Ro + ~roL,; = _20_l0тр(х)l0тр- JkoGo + 1roCoТаким образом, решенияний(9.16) и (9.17)(9.13)системы уравнений(9.11)(9.17)с учетом выражебудут иметь видИ (х) =И пад e-jkox + И отр ejkox;i(x)=(9.18)Ипад e-jkox_ Иотр ejkox_ZoZoЧтобы определить постоянную затухания а и фазовую постояннуюдем постоянную распространенияko(см.(9.12))~.возвев квадрат и, выделяя действи-тельную и мнимую части, получим~2 -а2 = ro2( LoCo -R:~o}(9.19)2а~ = ro2 ( R:o + G:4; }Отсюда~ =±ro( 4JCo _ Ro~o) + ( LoCo- R:~o у+( С~оro2+G:4;у(9.20)9.1.Уравнения длиююй линии36722-(Loco _ Ro~o) + \ l(Loco _ Ro~o ) + ( CoRo + G0 Lo )а= ±ro\roro2Из второго уравнения системы(9.19)roro(9.21)следует, что~ и а имеют одинаковыезнаки.
Знак«+ » соответствует распространению воЛJIЫ в положительном направлении оси х с затухающей амплитудой, а знак «-» в направлении отрицательных значений х с затухающей амплитудой.Фазовая скоростьзависит от частоты, т. е. линия обладает дисперсией. Сложный сигнал, передаваемый линией, искажается.Однако если выполняется условиеLoGo = RoCo,то согласно(9 .20)~=±ro( LoCo -Go:o) + (Loco + Go:o)ro= ±ro,JLoCoro2и фазовая скорость'U1(Оф------ ~ - ✓4JCoне зависит от частоты.Постоянная затухания а согласно(9 .21) определяется выражением-(4JCo _Ro~o) + (4JCo + Ro~o)a=±rororo2=-JRoGo,т. е.
также не зависит от частоты.Таким образом, и в линии с потерями сигнал ослабляется, но не искажается,так как все составляющие спектра распространяются вдоль линии с одинаковыми фазовыми скоростями и затуханием.Волновое сопротивление линии согласно(9 .16)Zo = ~-'vCoРассмотрим случаи, реализуемые на практике.9. Цепи с распределеттыми параметрами ( длиттые линии)368Линия без потерь.
При идеальной изоляции между проводамиотсутствии в них потерь(R 0 =(G 0 =О) иО), как и следовало ожидать согласно выражениям(9.21) и (9.20)а =О; ~ = roJY;;c;.Фазовая скорость(9.22)т. е . не зависит от частоты.На первый взгляд кажется, что, уменьшая значенияL0 иС0, можно получитьфазовую скорость сколь угодно большой. Однако это не так. При уменьшениизначенияL0за счет сближения проводов (при снижении магнитного потока, ограниченного линией) емкость С0 увеличивается.Волновое сопротивление линии согласноZo(9.16)=ffo,т.
е. волновое сопротивление линии без потерь имеет характер активного сопротивления, и волны тока и напряжения, распространяющиеся в одном направлении, совпадают по фазе.Погонная емкость Со двухпроводной линииС -1ttaо - ln(d/r)'гдеd-расстояние между проводами;r-радиус провода; Еа -диэлектрическая проницаемость среды.Погонная индуктивность двухпроводной линииЗдесьµ" -магнитная проницаемость среды.Таким образом,т.
е. фазовая скорость определяется лишь параметрами среды, в которой распространяется электромагнитное поле.Волновое сопротивление линии9.1.Уравнения длиююй линии369т. е. определяется параметрами среды и геометрией линии.Линия с малыми потерями. В линиях с малыми потерямиЭти условия на практике выполняются в диапазоне сверхвысоких частот.Пользуясь приближенной формулой1(1 + а)-2а""1+2,Когда значение а мало, пренебрегая членом, содержащим в знаменателе со4, из(9.20) и (9.21) получаемGб )1 1( RбЧJCoro2 + + 2 ~ + ~ =1_ GoRo~ = ±ro-./¼Со .2= ±ro-./ЧJСо ·2+Ч RoJСо z±ro-./ЧJCo(9.23)_ _§_2 ro¼ro2а= ±ro-./ ЧJСо ··[1+-1-(Ro- Go )2];8ro2 ЧJ С0GoRo 1 ( RбGб )roЧJCo + 2 ro2~ + ro2CJ _2(9.24)=± ro✓-E- ;Co(~+_§_)=±_!_(Ro {Cr;" +Go {z;;"J,2roLo roCo2~Со~-z;т.
е. постоянная затухания а от частоты практически не зависит.Если проводимость среды мала, тоВоспользовавшись приближенной формулой1--z1-a1+апри малом значении а и выражениемUф~:(9.23),определим фазовую скорость:~ k[,- 8~,(~ -~:п9. Цепи с распределеттыми параметрами ( длиттые линии)370следовательно, фазовая скорость зависит от частоты и с ростом частоты увеличивается.При малом затухании согласно формуле(1 --1а) 2 ""а1- -2и(9.16) и приближенным формулам(1- а)--1а2 "" 1+ -2волновое сопротивление будет равноZo= (L;; ·~СоТаким образом, и при малых потерях при распространении вдоль линии немонохроматический сигнал будет искажаться.В отличие от рассмотренных линий поперечные размеры волноводов сравнимы с длиной волны, и в общем случае электромагнитное поле представляетсобой сумму бесконечного числа типов. Однако на практике поперечные размеры и возбуждение волноводов таковы, что распространяется только основной типволны.
В этом случае волновод можно представить эквивалентной схемойрис.9.2),(см.отождествив поперечные составляющие напряженностей электрического и магнитного полей с напряжением и током. Если в волноводе распространяется несколько типов волн, то каждому типу будут соответствовать свояэквивалентная схема, свой ток и свое напряжение.9.2. Отражения от конца линии.
Коэффициент отраженияВ общем случае решенияв(9.13)волновых уравненийвиде двух волн, распространяющихся вдольлинии в(9.11)представляютсяпротивоположных направлениях. Причиной возникновения волны, бегущей к источнику, являетсяотражение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
