Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Обычно Pl = О.Величина ЛN0 определяет усиление среды. Среда усиливает, если она находится в состоянии инверсной населенности, которая создается с помощью стороннего источника возбуждения. Эту населенность при отсутствии распространяющегося поля Е можно представить выражениемЗдесь la0 1 = р~,, lь0 1 =р~222-диагональные элементы матрицы плотности приотсутствии поля Е.Усредняя выраженияполучаем(8.19)и(8.20),с учетом(8.21)и(8.22)согласно(8.23)8.2.д Ра22дРаYcWteнue бегущей волны2--2- + --- +Ф21дtТ2 дt335(l 1 Jpa _2ro212.- -- (ЛN' + ЛN о )ЕРе,+ - 2- 2ro21T2hдЛN' + ЛN' =-2-Е(дРа + ра)·1iдtп~ 1дtТ2ОбозначаяЛN=ЛN'+ЛN0разность населенностей уровней, определяемую источником возбуждения и полем Е, получаемСогласно последнему уравнению скорость изменения разности населенностей уровней зависит от напряженности распространяющегося поля Е. Вместе суравнением(8.8)эти уравнения образуют замкнутую системуд 2Еcr дЕ1 д 2 Ра---v 2 ЛЕ+--- = - - - - ·дt 2ta дtta дt 2 'д2~а + 2 дРадtТ2 дt+ ro11+J(1 + ro21T2ра = - 2ro21 ЛNЕр;;(8.24)hдЛN + ЛN - ЛNо = _2_Е(дРа + ра )·дtТ1Система уравнений(8.24)hro21дtТ2вместе с начальными условиями определяет распространение усиливаемого поля в активной среде.
Если поле представляет собой плоскую волну линейной поляризации, распространяющуюся в направленииоси х, то уравнения(8.24) можно представить в скалярном видед2 Ед2 Еcrдtдх€а дtдЕ1 д 2 Ра--v2 - E+ - - =-- - -2 ·22д2ра2 дРа2-2- + --- +Ф21дtТ2 дtдЛN + ЛN - ЛNодt1j€а дt'(1 1 Jpa -2ffi21 ЛNЕ 2.- -- Ре,+ - 2- 2ro21T2= _ 2_hffi21Е ( дРадth+ра ) .Т2(8.25)3368.Взаимодействие электромагнитного поля с активной средойПрактически любой электромагнитный процесс характеризуется спектромчастот. Если напряженность поля Е и поляризация Р" описываются абсолютноинтегрируемыми функциями, то согласно преобразованию Фурье•1t)=21tЕ(х,S (х, ro)oof•.S(x, ro)•e1 0)tdro;-<><)= fЕ(х, t) •е- jror dt.оАналогичный вид имеют преобразования для поляризации Ра.Введя среднюю частоту спектраE(x,t)=ro0,получим21tejrлor j S(x,ro)•ej(w-rлo)r dro=Em(x,t)·ejUJor,1-<><)где-комплексная амплитуда, изменяющаяся во времени и в пространстве.В общем случаеЕ (х t)т'=Ет(х t) · ej<p(x, t)'.Монохроматическое поле частотой Щ~ определяется выражениемЕ(х, t) = Ет (х) •ejffiot,где Ет(х) -комплексная амплитуда, не зависящая от времени.Излучение в диапазоне сверхвысоких частот характеризуется очень узкимспектром частот Лrо.
ОтношениеЛrо-roo<< 1·и комплексная амплитуда Ет (х,t)медленно изменяются во времени по сравнению с ejUJor_ Такое поле называетсяквазимонохроматическим. Излучение в оптическом диапазоне характеризуетсядостаточно широким спектром частот Лrо, однако отношениеЛrо-<< 1,и это из-Ыолучение также можно рассматривать как квазимонохроматическое.При распространении поля в усиливающей среде изменения амплитуд и фазволны поля и волнь1 поляризации малы на расстояниях порядка длины волны изавремяпорядкапериода.Поэтомудля решениясистемы(8.25)можновоспользоваться методом медленно меняющихся амплитуд и фаз (см.
(П.94)):Е=Ет(t,раx)cos[rot-kx+<p(t,= Рп: (t, х) cos[rot - kx + \jl(t,x)]=EmcosФ;х)]= Р,: cos 'Р,8.2. YcWteнue бегущей волныгде Ет (t, х),337Р; (t, х),<p(t, х), \jl(t, х) - медленно меняющиеся во времени и впространстве функции; Ф = rot - kx + <р; Ч' = rot - kx + \jl; k = ro/ v.Вычислим производныедЕ-дtд2Ед2ЕдРад2ра, ---- -222дtдх'дt''дt'пренебрегая вслед-ствие малости членами, содержащими вторые производные амплитуд и фаз ипроизведения их первых производных:-дЕдtдЕ,,.=--соsФ-дt2д Е( ro+д<р) Е,,.sшФ;.дtдЕ,,. .--=-2ro--sшФ-roдt 2дt( ro+2д<р) Е,,.соsФ;дtд2Е = 2k--sшдЕ,,.
. Ф -k ( k- 2д<р)ФЕт cos ;-2дхдtдРадtдхдР;:= дt cos Ч' -(д\j/) а .О)+ дt Рт SШ Ч';д2радР:, .(д\Jf) а-= -2ro--sш Ч' - ro ro+ 2 - Р cos Ч'.2дtдtдtПодставим полученные значения вт(8.25):д<р)Е ]sinФ-[-2ro(д<p +vд<р)Е[ -2rодЕт -2rovдEm ---°-(ro+tдt- -дхтдtta дtta-дt. [ (ЛNр} Ет соsФ;-ЛN0blI2--+----=--ЕтсоsФдtтдР:, 2 ( ro+д\j/) рта] sшЧ'+ -0) ro+2д\Jf) рт+---+а 2 дР:,-20)---дtТ2дtдхТ2 дt2 1+ ~ 1 +~)P,,~]cos'I' = - 00zОО21Т2h(1дЛNдхО' дЕт]О) дР;: .О) ( О)+ 2д\j/)- COS ф = 2 -- - SШ Ч' + - Р,па COS Ч';ta дt[дtа'finmz[(дР:,д\\f) Рта sшЧ'.] .- - +Р:,)- cos'I'- ( ro+дt1Т2дtУ читывая тригонометрические соотношенияЧ' =Ф+ (\Jf-<p); Ф= Ч' + (<p-\Jf);cos Ч' = cos(\Jf- <р) cos Ф - sin(\Jf- <р) sin Ф;sin Ч' = cos(\Jf- <р) sin Ф + sin(\Jf- <р) cos Ф;cos Ф = cos(\Jf- <р) cos Ч' + sin(\Jf- <р) sin Ч';sin Ф = cos(\Jf- <р) sin Ч' - sin(\Jf- <р) cos Ч';.
Ф COS Ф = SШ. 2Ф ;2 SШCOS2Ф =1 +cos-2Ф2(8.25а)8.338Взаимодействие электромагнитного поля с активной средойи приравнивая друг к другу коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях и свободные члены, получаемдЕтcr - ( ro+д<р) Ет = -1- [дР,,~1 ( ro+ 2 -d'I') Рта- + vдЕт--+-cos('!'-(j)) - dtдх2(1)€аdt€аdt2dt( д<р +дtV.
( '!'-(j)) ] ;SШд<р) Ет _ _о._ дЕт = __I [дР,:: sin('lf- <р) + _! (ro + 2 д'lf) р,:: cos('lf - <р)];дх2taro дtдttaдР,::- + -1- ( ro+ -д'lf) Р,падtroT2дtдt2ro21hro2. ( 'lf-<p);= - ЛNреЕтSШд'lf) Рт------а 1 дР,~ ro~1 ( 1+-1-1 ( ro+22дtroT2 дt2roro221T22JаW212Рт =-ЛNpeEmcos('lf-<p);rohJ ( ) (ro+д"')радЛN- + ЛN -ЛNо =Ет- - [(дР,;- - +Р:,- COS 'lf-(j) дtТ1hro21дtТ2. ('lf-(j))].т SШдtПоскольку в оптическом и СВЧ-диапазоне выполняются условияО) >>д(nдt '_'1' ·дшадР.татдt;ro >> --"' · roP. »дt 'roEт»дЕ,,.1дt; Tz« ro'частота распространяющегося поля должна быть близка к частоте квантовогоперехода:0)""0)21·Для диэлектрических сред с малыми потерями постоянная затухания согласно(2.45)с учетом этого выражения получимдЕтдЕт-д- + v-д- + vапЕтtХО)а.=-2 Р,,. SШ('lf- <р);ta+ vд<р)Ет = -~р,:: COS('lf-<p);( д<рдtдх2еадР,::р,::р;дtТ2h.- + - =-ЛNЕт SШ('lf-<p);(8.26)[ д'lf +(ro-ro21)]P,:: = р;h ЛNE,,.cos('lf-<p);дtдЛN + ЛN - ЛN° = __! Р.а ЕдtТ1hттsin(,1( -"'т).'1'YcWteнue бегущей волны8.2.339Решение этой системы уравнений позволяет определить амплитуды и фазыполяризации и напряженности поля, а также значение инверсной населенности.В оптическом диапазоне ширина линии излучения рабочего квантового перехода достаточно велика, т.
е.(8.27)и уравнения(8.26) можно упростить.Согласно третьему уравнению системы(8.26),с учетом(8.27)2ра= l!..!...(n)т1i Т2 ЛNЕm sin('I'- 't'"Подставляяв(8.28)получаем(8.26),дЕтдЕтдtдх(8.28)--+ v--+ VСХ.пЕтдq>дq>(1)дtдх2Ea1i(1)2. 2= --реТ2ЛNЕтSШ ('!'-(f));2f,a1i2•-+ v- = ---peT2ЛNsш('lf-q>)cos('lf-q>);д'lf + (ro дtro21 ) =дЛNЛN-ЛNодtТ~(8.29)_!_ ctg('1' Т2q>);р;2 .
2Т2ЛNЕт sш ('!' - q> ).1i- - +- - - - =- - 2В стационарном режимеи система уравнений(8.29) принимает виддЕт- - + СХ.пЕтдхдq>-дх. 2= -ro- Ре2Т2ЛNЕт sш('!'- (j));'lf,afiV=(1)2.---реТ2дN SШ('lf-q>)COS('lf-q>);(8.30)'lf,afiVctg('lf - q>)= Т2 (ro- ro21 );2ЛN-ЛNо2 . 2- - - = -РеТ2дNЕт SШ ('!'- q>).2Т11iСогласно третьему уравнению системы(8.30) получаем3408.Взаимодействие электромагнитного поля с активной средой1sin(\jl-q>)=Т2 (ro- W21 ) 22,J1 +(8.31)T2(W-W21)=- - - ; = = = = = =2 .cos (\jl- <р)С учетом;✓1 + тi (ro- ro21)(8.31) систему уравнений (8.30) запишем вдЕтдх+<XnЕ _т -видеrop;T2ЛNEm,22Eanv[1 +Т2 (W-W21)]ЛN-ЛNоn2 [1+Т22 (W-W21) 2 ] '(8.32)rop;T2ЛN(ro-ro21)д<рдхРешение первого уравнения системы(8.32)определяет изменение амплитуды поля при распространении в среде:Ет=ЕтО•е(аус-а.ю, )Х•гдеrop;T2 ЛN_аус--22Eanv[1+T22(8.33)(W-W21) ]коэффициент квантового усиления.Согласно выражению(8.33)коэффициент квантового усиления возрастает сувеличением дипольного момента р, и плотности инверсной населенности ЛN,так как при этом увеличивается число излучающих частиц.
Коэффициентквантового усиления зависит от частоты поля и имеет резонансный характер(рис.8.7).Чем ближе частотаro кчастоте квантового перехода (J)z 1, тем большекоэффициент квантового усиления. Ширина резонансной кривой равна 2/Т2• Согласно второму уравнению(8.32) стационарная инверсная населенность(8.34)т. е. зависит от начальной инверсной населенностиЛN0 , которая создается сторонним источником возбуждения. По мере распространения волны в актив-___.______ной среде Е,~ увеличивается, а инверсная населенСО21ность ЛN уменьшается, квантовый коэффициент усио .__Рис.8.7. Контур(Оусиленияления аус•О и происходит насыщение.8.2.Подставляя(8.34)вYcWteнue бегущей волны(8.33),341получаем(8.35)Волна, распространяясь в активной среде, усиливается при условии(8.36)Для выполнения этого условия необходимо, чтобы начальная инверсная населенность превьппала пороговое значение, которое определяется из условийи потери в среде компенсируются излучением частиц.Согласно(8.35) пороговая инверсная населенностьт.
е. пороговое значение начальной плотности инверсной населенности уменьшается с увеличением дипольного момента р" так как мощность излучения частиц растет с увеличением р, и уменьшением расстройки относительно частотыперехода~1•Переходя в уравнениях(8.29)с учетом(8.31)к интенсивностям, с которымиобычно оперируют в оптическом диапазоне, получаемдJ-дtдJ+ v-дх= v[ cr(ro)ЛN -2а□от ]J;дЛN + ЛN-ЛNо =-2cr(ro)JЛN;дt(8.37)Т~д<рд<рдtдх- + v - = (ro21Т2-ro)-vcr(ro)ЛN,2гдеJ =_!:_LE22hro21т- средняя плотность мощности излучения (фотонов/(м 2-с)), интенсивность;( \_(J ())) -T2ro21P;2 2€anv[l+(ro-ro21) Т2]сечение радиационного перехода на частотеro,определяемоеотношениеммощности, поглощенной одной частицей, к мощности падающего излучения наединицу площади .8.342Взаимодействие электромагнитного поля с активной средойПервое уравнение системыописывает изменение интенсивности поля(8.37)при его распространении.
Первый член правой части этого уравнения определяет увеличение интенсивности распространяющегося поля за счет индуцированного излучения, второй член -уменьшение интенсивности за счет потерь.Второе уравнение системыv(8.37)vностеи уровнеи в единипу времени.определяет изменение разности населен-ЧленЛN-ЛN0---~т;характеризует уменьшениеразности населенностей уровней за счет релаксационных процессов и ее увеличение в результате возбуждения внешним источником. Член 2cr(ro)JЛN характеризует уменьшение разности населенностей за счет индуцированного излучения. Появление множителя2в правой части уравнения объясняется тем, что вдвухуровневой системе излучение происходит при переходе одной частицы сверхнего уровня на нижний.
При этом населенность верхнего уровня уменьшается на единицу, а нижнего увеличивается на единицу. В результате разностьнаселенностей при таком переходе изменяется наТретье уравнение системы(8.37)2.определяет изменение фазы в процессераспространения волны.Часто пользуются только двумя первыми уравнениями системыдJдJдtдхдЛNЛN-ЛN0дtТ~- + v- = v[ cr(ro)ЛN --+(8.37)2а00т ]J;(8.38)=-2cr(ro)JЛN,которые называются кинетическими или скоростными, так как они характеризуют скорость передачи энергии от среды поmо по мере распространения волны.В стационарном режимедJ = дЛN =0,дtи уравнениядt(8.38) принимают виддJдх =[cr(ro)ЛN-2a 00т]l ;ЛN-ЛN0- - -~т;Решение уравнения=-2cr(ro)JЛN.(8.39)(8.40)(8.39)определяет усиление интенсивности волны при распространении в активнойсреде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
