Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(\jf-<p;)=--sшЕаQpр;ЛNЕт cos(11r'У hd\jf =dtrn)·(8.55)'t' 'dP.a12_т_ +-Р.а= f!.!:_ ЛNЕ sin(11r - rn)·111dtТhт'У't''2dЛNЛN -ЛNоdt1iЕ111 Р/:, . ()\jf-<p.--+----= - -- sшhПоскольку (l)л '"' (l)P, тоro; - ro; = ((l)p -(l)л )((l)p + (l)л)2rолz (l)p -2rол(l)л·Учитывая это соотношение в первом уравнении системы(8.55),перепишемсистему в видеdE111dt-- =ffiлffipdP::, = _ _!_ Р.а +dtТ2 тdЛNdtа.---Е111 +-Рт SШ(\jf-<p);2Qp2Еар; ЛNЕпЛN -ЛNо111sin(11r - rn)·'УЕ111Р::_ . (--+----=---sшТ1d <р= (ffip -dtd\jf-dtСистема(8.56)2't''п)\jf-<p;(8.56)ffiл Р/:,ffiл )- -- cos(\jf- <р);2Еа Е111РеЕтпр,::_=-ЛN-cos(\jf-<p).описывает как стационарные, так и нестационарные процессы.
В этих уравнениях поле и инверсная населенность усреднены и не зависят откоординат. Учет пространственных вариаций поля и инверсной населенностизначительно усложняет задачу, результаты же незначительно отличаются от результатов, полученных при пространственном усреднении.3508.Взаимодействие электромагнитного поля с активной средойДля оптического диапазона уравнения можно упростить, учитывая, что ширина JШНии излучения ЛЮл намного больше ширины резонансного пика Лrор ир:dP,;->>--TzdtПри этом согласно второму уравнению системы(8.56)2Р,; = р; Т2ЛNЕт sin('Jf- <р),и систему(8.56) можно привести к видуdEmffipФл р;. 2- - =---Ет +--Т2ЛNЕт sш ('Jf-<p);dt2Qp2headЛN + ЛN -ЛNор; Т ЛNЕ2т sm. 2()Т,= --2 2'Jf- <р ;-dtd<pdt = (ffip d'JfdthI(8.57)Флр;.ffiл ) - 2hea Т2ЛN COS('Jf - <р) SШ('Jf- (j));=~ ctg('Jf - <р).Т2Скоростные, или кинетические, уравнения, аналогичныеdJ ro-+__g_JdtQp(8.38), имеют вид= vcr(ro)ЛNJ;dЛN- +ЛN- --ЛN- -0 -_ -2cr( ro)JЛN ,(8.58)Т1dtгде-интенсивность излучения;-сечение радиационного перехода.Первое уравнение системы(8.58)описывает изменение интенсивности коrолебаний в резонаторе во времени.
Здесь величина _Р J характеризует умень-QРУсиление в резонаторе8.3.351шение интенсивности за счет потерь в резонаторе;v cr(ro)ЛNJ -увеличениеинтенсивности за счет индуцированного излучения. Влиянием спонтанного излучения ввиду его малости пренебрегаем.Второе уравнение(8.58)описывает изменение разности населенностейуровней во времени. Здесь слагаемоехарактеризует уменьшение инверсной населенности за счет релаксационнь1хпроцессов и ее увеличение за счет источника возбуждения. Член 2cr(ro)JЛN определяет уменьшение инверсной населенности за счет индуцированного излучения. Множитель«2»появляется вследствие того, что в двухуровневой системепри переходе одной частицы с верхнего уровня на нижний и излучении одногофотона разность населенностей уровней изменяется наКинетические, или скоростные, уравнения2.в отличие от(8.58)(8.57)не определяют изменение фазы поля и поэтому не используются для описания различных нестационарных процессов.При работе в стационарном режимеdEm _ dЛN _ d<p _ d'Jf _ О---------- 'dtdtdtdtи система уравнений(8.57) принимает вид2-ООр Е + ООлРе Т2 ЛNЕ sin 2 (11r -2Qpт2nfaт"'fn)= О·'t''2ЛN-ЛN____о = _f!..::_Т ЛNЕ,п2 sin 2 (1'У1r 2 2Т,1nfn)·'1"•О) р2( ООр - ООл) - ~ Т2ЛN cos('Jf - (j)) sin('Jf - (j))2nfa1-ctg('Jf-<p)Т2(8.59)= О;= О.Согласно последнему уравненmо системыт.
е. поляризация опережает поле по фазе наполю. При этом уравнения системы(8.59)rt/2 и энергия(8.59) имеют видот среды передается3528.Взаимодействие электромагнитного поля с активной средойЛNо - дNт1-р; Т ЛNЕ2.2п2(8.60)m'Отсюда в стационарном режимедN=nEa.2'QppeT2(8.61)(8.62)При генерироваюrn амrшитуда Ет отлична от нуля, что в соответствии с(8.62) возможно при условиидNО~nEa2Qpp,T2•Знак равенства в этом выражении соответствует пороговой ив:версной населенности.
Таким образом, пороговая инверсная населенность(8.63)Подставляя(8.63)в(8.62),получаем окончательное выражение для амплитуды поля в резонаторе:(8.64)Согласно выражению(8.64),чем больше добротность резонатора и превышение значения ив:версной населенности, создаваемой источником возбуждения, порогового значения, тем больше амплитуда поля в резонаторе.Стационарное значение разности населенностей в резонаторе согласно(8.61)и(8.63) равно пороговому значению:ЛN= ЛNопор·Пороговая инверсная населенность создается при пороговой мощности источника возбуждения.
Казалось бы, что при мощности возбуждения больше по-Усиление в резонаторе8.3.353роговой значение инверсной населенности ЛN должно превышать пороговоезначение ЛNопор; однако этого не происходит, так как при увеличении мощностивозбуждения возрастает число частиц в единицу времени, покидающих верхнийуровень. При этом инверсная населенность поддерживается на постоянномуровне ЛN0 пор, а энергия, запасаемая резонатором, и мощность на выходе увеличиваются.Для стационарного режимаdJ -_ dЛN -О-dtdtи кинетические уравнения(8.58) преобразуются к видуQ: J = vcr(ro)ЛNJ;О)(8.65)ЛN -ЛNо = -2cr(ro)J ЛN.Т1Отсюда стационарное значение инверсной населенностиЛNстац=О)Р(8.66)QP vcr( ro) 'а интенсивности излучения1-где ЛN0ЛNо=-~--стац -12cr( ro)T1слйо -1)(8.67)'начальная нормированная инверсная населенность, созда-ЛNстацваемая источником возбуждения.Кинетические уравнения(8.58)удобно представить в нормированных величинах:ЛN-ЛN= --- ;ЛNстац-ЛNоЛNо= ---;-]= -ЛNстацJ] стац'т.
е.d]dtФр QproP Qp-- + - J = - JЛN;dЛNЛN-ЛN0dtТ1- - +- - - - =лйо-1 - ---- JЛN.Т1(8.68)3548.Здесь ЛNВзаимодействие электромагнитного поля с активной средой-нормированная инверсная населенность в единице объема;нормированная интенсивность излучения; Т1 стояний при наличии источника возбуждения.Уравнения(8.68)Jвремя жизни возбужденных сосправедливы, если ширина линии излучения намного больше ширины резонансной кривой резонатора. Эти уравнения пригодны для случая однородно уширенной линии.
В них не учтено спонтанное излучение, которое сравнимо с индуцированным излучением лишь в начальный момент генерирования. В стационарном режиме интенсивность индуцированного излучения намного порядков превьшшет спонтанное.Запишем уравнения(8.68) для стационарного режима:~:j(l-ЛN) = О;л&-л&0л&0 -1- -----+---JЛN=0.1iТ1Легко убедиться, что эти уравнения имеют два решенияЛN=j=1;(8.69)ЛN=ЛN0 ; j=o.(8.70)Решение (8.70) соответствует отсутствию колебаний ( J =О), поэтому ус(8.69). Исследуем на устойчивость решение (8.69) (см.§ П.18). Зададим малые отклонениятойчивым стационарным колебаниям соответствует только решениеот стационарного значения:= 1 + oi(t);ЛN(t) = 1 + оп(t),j(t)где о<<1.Подставляя(8.71)в(8.68)(8.71)и ограничиваясь членами первого порядкамалости по о, получаемdiФрdtQp '-=-п·--dn ЛNо1-ЛNо.-+--n=---i.dt1i1iХарактеристическое уравнение этой системы имеет видk2Корни этого уравнениялRоropт;Qрт;-+-k--(1-ЛN0 )=0.Усиление в резонаторе8.3.355лilok12=---±'21;имеют отрицательные действительные части прилi10 > 1,следовательно, выражение(8.72)(8.72)является условием существования стационарных колебаний в резонаторе.Аналогично можно показать, что решение(8.70),соответствующее отсутствию колебаний, устойчиво прилi10 <1.Условиеявляется пороговым, так как при ЛN0 > 1 колебания существуют, а при ЛN0 < 1отсутствуют.Согласно(8.66)ЛN О порО)р= -Q-p(J~( - )(1) VРоль источника возбуждения сводится к поддержанию в среде достаточновысокой начальной инверсной населенности, чтобы выполнялось условие(8.72).Если источник возбуждения перестает работать, населенность уровней стремится к тепловому равновесию ЛNравн с постоянной времени Т1 • При переходе одной частицы с верхнего уровня на нижний и излучении кванта энергииразность населенностей уровней изменяется на2.hro21Эти переходы происходят ипри работе источника возбуждения, действие которого сводится к компенсацииубыли частиц, связанной с этими переходами.
Плотность мощности возбуждения, требуемая для поддержания инверсной населенности ЛNO в единице объема активной среды,Рвозб= hffiz1 ( ЛNо - ЛNравв)27i.·Отсюда найдем пороговую плотность мощности возбужденияР пор.возб= hro21 ( ЛNО пор - ЛNравв)2Т.·(8.73)1Для вывода излучения из резонатора зеркала изготавливают полупрозрачными . За счет неполного отражения от зеркал происходит уменьшение энергии,запасенной в резонаторе, которое характеризуется выражением8. Взаимодействие электромагнитного поля с активной средой356w(t) = w(O) · e-r/,, ,где w(t) -(8.74)плотность энергии, запасенной в резонаторе;гии в момент времениt=О; 't3w(O) -плотность энервремя релаксации энергии за счет неполного-отражения от зеркал.Условие существования стационарного режимаплитуд (см.§-это условие баланса ам8.1)(8.75)При однократном отражении электромагнитной волны от каждого зеркалаамплитуда уменьшается, но это уменьшение компенсируется усилениемв активной среде при прохождении волной расстояния, равного удвоенной длинерезонатора.Время прохождения волной расстояния, равного двум длинам резонатора,2lt= -,Vгдеl -длина резонатора;скорость распространения электромагнитнойv -волны.
Уменьшение запасенной энергии в результате неполного отражения отзеркал согласно(8.74) и (8.75)определяется выражениемг2г21 2_-е- 2l/(v, ,),откуда время релаксации энергииl(8.76)'t =-- - - эvlnГ1 Г2Мощность излучения, приходящаяся на единицу объема активной среды, всоответствии с(8.74) равнаw(O)dwризл=--=-- -.dt'tэВ стационарном режимеw=или с учетом/i(J.)21J стац'V(8.67)w- 1i~1- 2cr(ffi)7i VcлilО-1)'и мощность излучения (отнесенная к единице объема активной среды)Ризл=liffi211 V't2 (J((J.))7'1 3cлilО-1)•8.4.Электромагнитная волна в электронном потоке357Условие работы резонатора в режиме регенеративного усиления определяется выражением (8.5). Введение положительной обратной связи приводит к повышению коэффициента усиления и уменьшению полосы пропускания.8.4.Электромагнитная волна в электронном потокеПри взаимодействии электромагнитного поля с электронным потоком, еслипоток тормозится полем, энергия поля увеличивается.
Монохроматическое полебудет тормозить электроны только в течение той половины периода, в которойнаправление электрической составляющей совпадает с направлением движенияэлектронов. При этом поле усиливается за счет излучения электронов.Если поток электронов непрерывен, то часть электронов тормозится высокочастотным полем, а часть ускоряется.
В этом случае поток разбивается на группы(рис.8.11).Процесс группировки электронов зависит от соотношения скоростиэлектронов v 0 и фазовой скорости vФ электромагнитной волны. Если бы электроныv 0 = vФ (рис. 8.11 , а), то они синхронно перемене взаимодействовали с полем ищались бы с полем и все время находились в точках с одним и тем же значениемнапряженности и направлением электрической составляющей поля бегущей волны (пунктирные прямые на рис.8.11,а). При взаимодействии с полем электроны,находящиеся в области тормозящего поля, тормозятся и отстают от бегущей воm1ы.Электроны, находящиеся в области ускоряющего поля, ускоряются и опережаютвоШiу. В результате электроны образуют сгустки в области, где продольное поле Еравно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
