Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 65
Текст из файла (страница 65)
П.3. Графическое представление векторного полягдеn0-орт внешней нормали, направление наиболее быстрого возрастанияскаляра <р. Градиент <р можно записать через проекции на оси координат следующим образом:Или(П.5)grad q, = Vq,,гдеддддх1дх2дхзV =е 1 -+е 2 -+е 3 -оператор Гамильтона («набла»), который можно рассматривать как вектор.Под оператором Гамильтона понимается совокупность математических действий, в данном случае дифференцирование.
Сам по себе оператор Гамильтонаничего не означает, он имеет смысл, будучи применимым к какой-либо величине.Градиент является дифференциальной характеристикой скалярного поля.Проекции оператора Гамильтона на оси координат имеют видВекторное поле-область пространства, каждая точка которого характеризуется некоторым значением вектора (рис. П.3)A(r) = А(х;)илиA(r, t)= А(х;, t).Примерами векторных полей являются электрическое, магнитное и гравитационное поля.
Поле градиента скалярного поля также является векторным.Векторное поле графически характеризуется векторными, или силовыми,линиями. Векторной, или силовой, линией называется кривая, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением векторного поля. ВекторныеП2.
Векторный анализ413линии характеризуют не только направление, но и величину поля. Плотность ихбольше там, где веШiчина поля больше (см. рис. П.3).Дифференциальными характеристиками векторного поля являются:дивергенция, или расходимость, вектора.дА~дАдЛдх1д,½д.хз2d1vA=(v'A)=v'-A = - + +-"_з.i'(П.б)ротор, или вихрь, векторае1rotA = [v'А]=_l__дх1А1е2д=дх2~=(дАз - д~ )е1 +(дА~ - дАз )е2 + (дА2 - дА~ )ез .д,½д.хзд.хзд.х~д.х~дх2(П.7)Производные второго порядка:div gradq, = (v'v'q,) = Лq,,где Л = v' 2д2=-2дх1д2+-2дх2д2+-2дхз-(П.8)оператор Лапласа в декартовой системе коор-динат (лапласиан),rot grad q, = [v'Vq,] = О;div rot А = (v'[VА]) = О;rot rotA =[v'[VА]]= v'(VA ) -A(v'v') = graddiv А-ЛА;grad(q>'lf) = V ( (()'lf) = q>v''lf + 'lfv'q, = q, grad 'lf + 'lf grad q,;div(q,A) = (V ( q,A)) = q,(VА)+ A(Vq,) = q, div А+ А grad q,;rot( q,A) = [v'q,A] = <p[VА]+ [v'q,A] = q,rot А + [grad q,A];(П.9)(П.10)(П.11)(П.12)(П.13)grad(AB) = v'(AB) = v'(AcB) + v'(ABc).Здесь индекс «с» означает, что величина с этим индексом при взятии производной считается постоянной.Согласно формуле (П.4)[А[ВС]]v'(AcB)= В(АС) - С(АВ);= В(Аv') + [A[v'B]] ;v'(ABC) = A(Bv') + [B[v'А]].Таким образом,grad(AB) = (А v')B + (Bv')A + [А rot В]+ [В rot А];div[AB] = (v'[AB]) = B[v'A] - A[v'B] = BrotA - ArotB;rot[AB] = [v'[AB]] = [v'[AcB]] + [v'[ABJ].(П.14)(П.15)Математические и физические дополнения414оРис.
П.4. К определению циркуРис. П.5. К определению потокаляции векторавектора через поверхностьSВоспользовавшись формулой (П.4 ), получим[v'[АсВП= A c(v'B)- B(v'А с) = А divB - (А v')B;[v'[ABJ] = A(v'Bc) - В с (v'A) = (Bv')A- Bdiv Аи окончательноrot[AB] = (Bv')A-(A v')B + А div В -В div А.(П.16)Циркуляция и поток вектора. Криволинейным интегралом векторнойфункцииA(r) называется интеграл от скалярногопроизведения видаf Adl,(П.17)LгдеL -кривая (путь интегрирования);направленный элемент кривой.dl -Выражение (П.17) является скалярным и представляет работу векторного поля Авдоль кривойL.Если контурконтуруLзамкнутый (рис.
П.4), то интеграл, взятый по замкнутомуL, называется циркуляцией вектора; записывается ввиде~Adl.LЕсли одно из направлений нормалиn0ложительное направление обхода контурапринять за положительное, то за поLпринимается правое вращение поотношению к этому направлению нормали.ПотокомNвектора А через поверхностьS(рис. П.5) называется поверхностный интеграл от скалярного произведенияN=fAdS=fAпdS,ssП2. Векторный анализгдеS-поверхность интегрирования;dS -415направленный элемент поверхности, направление которого совпадает с направлением внешней нормали к поверхности, а величина его равнаdS, т.е.dS = n 0 dS.Поток вектораскалярная величина, характеризуемая числом силовых ли-ний, пронизывающих поверхность.Если поверхность замкнутая, тоN = РА dS = рлп d sn.ssТеорема Стокса.
Циркуляция вектора А по замкнутому контуру равна потокуrot Ачерез поверхностьS, опирающуюся на этот контур:(П.18)pAdl= protAdS,LSилиpAdlгдеrotnA -проекцияrotA= protn AdS.SLна направление нормалиn 0 к поверхности S.Если поверхность ЛS столь мала, что во всех ее точкахrotn Аможно считать постоянным, тоВ пределе при ЛS•ОrotпPAdllim - - .А=ЛS➔ОВектор всегда больше своей проекции. Проекциякогда n 0 совпадает сrot А.Очевидно, что(П.19)ЛSrot Аrotn Абудет наибольшей,направлен по нормали к плоскости, в которой циркуляция вектора максимальна. Модуль вектораrot Ав даннойточке поля равен пределу отношения циркуляции вектора А по границе площадки, проходящей через эту точку и совпадающей с плоскостью, где циркуляциямаксимальна, к величине площадки, когда она стягивается в эту точку.Теорема ОстроградскоговерхностьS-равен интегралу отГаусса.
Поток вектора А через замкнутую поdiv А,взятому по объемуV,ограниченномуэтой поверхностью, т. е.fрА dS= div А dV.SV(П.20)Математические и физические дополнения416Если объем Л V так мал, чтоdiv Ав любой точкеной, томожно считать постоянV.рА d S "' div АЛsВ пределеpActSdiv А= lim _s_ _ЛV➔О(П.2 1)ЛVДивергенция вектора А в данной точке равна пределу отношения потокавектора А через замкнутую поверхностьобъемуV,ограниченному поверхностьюДивергенция-S, содержащую внутри себя эту точку,S, когда она стягивается в точку.кскалярная величина, характеризующая интенсивность источников или стоков поля. Те точки поля, гдеdiv А< О,называются стокамиполя, векторные линии сходятся к этим точкам; те точки поля, гдеdiv А > О,называются источниками поля, векторные линии расходятся из этих точек. Еслиdiv А= О,то поле не имеет ни источников, ни стоков.Классификация векторных полей. Потенциальное поле-это безвихре-вое поле, для которогоrotE = О.(П.22)При этомЕ=-grad<p,(П.23)поскольку согласно (П.9)rot grad <р = О.Функция <р называется потенциальной функцией или потенциалом поля.
Потенциал поля определяется неоднозначно, так какgrad(<р + с) = grad <р.Знак«-» в (П.23) взят потому, что линии поля Е направлены в сторону убыванияпотенциала.В потенциальном полеdivE ;t: О,и, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению ПуассонаЛ<р ;t: О.Посколькуrot Е = О,то согласно теореме СтоксаPEdl=O.LФизически это означает, что работа вдоль замкнутого контура в потенциальномполе равна нулю.Согласно теореме Остроградского-ГауссаП2. Векторный анализ417PEdS # о,sт. е. поток вектора через замкнутую поверхность не равен нулю.Соленоидальное поле -поле, в котором нет источников и стоков:(П.24)divB=O.Соленоидальное поле можно характеризовать векторным потенциалом А:В(П.25)=rotA,поскольку согласно (П.10)divrotA = О.Векторный потенциал удовлетворяет уравнению ПуассонаЛА#О.Посколькуrot А #О, то в соответствии с теоремой Стоксат.
е. в соленоидальном поле работа вдоль замкнутого контура не равна нулю.Согласно теореме ОстроградскогоГаусса-pвdS=O,sт. е. поток вектора В через замкнутую поверхность равен нулю. Из этого следует, что линии поля вектора В или замкнуты, или уходят в бесконечность.При условииrotC=OиdivC=Oполе вектора С является безвихревым, не имеет источников и стоков. Такое поленазывается лапласовым и характеризуется одновременно векторным и скалярным потенциалами:С=-grad<p = rotA,которые согласно (П.8) и (П.11) при условииdiv А= Оудовлетворяют уравнениям ЛапласаЛ<р= О;ЛА=О.Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.Дифференцирование в криволинейныхортогональных координатах.Положение точки Мв пространстве определяется радиус-векторомты которогоq1, q2 , q 3 зависятr,координаот принятой системы координат.
Положение точкив пространстве можно однозначно определить пересечением трех поверхностей(рис. П.6), которые называются координатными. Пересечение двух поверхно-Математические и физические дополнения418Рис. П.6. Координатные поверхности, линии и оси ортогональной криволинейной системы координатстей дает линию, назьmаемую координатной; значения двух координат на этойлинии постоянны, а третьейменяется. Координаты точки-q1, q2,qз назьmаются криволинейными.Наиболее распространены ортогональные криволинейные системы, в которьrх касательные к координатным линиям в каждой точке пересекаются подпрямыми углами. Эти касательные называются координатными осями; направление их меняется от точки к точке.В общем случае координаты точки в обобщеююй криволинейной системесвязаны с координатами прямоугольной декартовой системы уравнениямиql =q1(X1, Х2, Х3);q2= q2(x1,х2, хз);% =q3(X1,X2,X3),и наоборотX1=X1(q1, q2, q3);= X2(q1,Х3 = X3(q1,Х2q2, q3);q2, q3).В криволинейной системе координат изменение координатыводит к перемещениюdl;вдоль координатной линии:dl;гдеh;q; на dq; при= h; dq; (i = 1, 2, 3),зависят от вида координат и называются коэффициентами Ламэ (повторение индекса не означает суммирования).
Действительно, элемент длиныординатной линии/222dl1 = v dx1 + dx 2 + dx 3 (q2 = const, q 3 =const),где(П.26)dl 1коП2. Векторный анализ419ОтсюдаАналогичноdl2 =hz dq2; dl3= h3 dq3 .На основании этого коэффициенты Ламэ можно записать в видеh,= (дх1 )2дq;+ (дх2 )2дq,+ (дх3 )дq;2(П.27)Интервал между двумя точками(П.28)Элементы координатной поверхности:= dl2 dlз = h2hз dq2 dqз;d s2 = dl1 dlз = h1hз dq1 dq3;ds3 = dl1 dl2 =h1h2 dq1 dq2 .d s1(П.29)Элемент объема(П.30)С помощью полученных соотношений проведем дифференцирование в криволинейной системе координат. В соответствии с выражениями (П.5) и (П.26)получимgrad1<рд<р1дl1h1 дq1д<рgrad2 <р = -дl2gradз <рд<р=- =--;д<р=-дlз1 д<р= ---;h2 дqz(П.31)1 д<р= --.hз дqз(П.32)Математические и физические дополнения420В соответствии с формулой (П.19)rotiА= _l_[д(hзАз) _ д(h2А2)];h2hзrot 2 Адq2дqз=-l-[д(h1A1) _ д(hзАз)];h1hздqз(П.33)дq1rotз А= _l_ [д(h2A2) _ д(h1А1)]·дq1h1h2дq2Согласно выражениям (П.8), (П.31) и (П.32)Выражения (П.31)-(П.34), переписанные для цилиндрической и сферической систем координат, широко применяют в теории электромагнитного поля.Цилиндрическая система координат (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
