Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 25
Текст из файла (страница 25)
§ 3.1) поле E c2)(ro) возбуждает внелинейной среде волну нелинейной поляризацииP c2)(2ro), определяемую выражениемP(2)(2ro)гдеk Р (2ro) -= рm(2)(2ro) е- j[2wt-kp(2w)rJ,постоянная распространения волны нелинейной поляризации,равная(4.20)Амплитуда второй гармоники волны поляризации Рт( 2) (2ro) согласноучетом(2.3)с(4.12) определяется выражениемРт( 2) (2ro) =Е 0 Х 2 (2ro)E,;(2) ( ro)Волна поляризацииволновому уравнениюP(2)(2ro)(4.19),=Е0Х2 (2ro)P'; ( ro)E;;, ( ro).является источником поляE (2)(2ro).( 4.21)Согласноограничиваясь низшим нелинейным приближением для второй гармоники, получим(4.22)где-постоянная распространения волны второй гармоники в нелинейной среде.Решение неоднородного уравнения(4.22) равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Очевидно,что в изотропной среде направление вектораE(2)(ro) совпадает с направлениемвторой гармоники вектора поляризации Рс 2) (2ro) и направлением второй гармоники вектора напряженности поля Е( 2) (2ro). Таким образом, аналогично решению уравнения(3.12) получим4. Электромагнитное поле в ограниченных средах158, ( )Е т(2J (2 ro) = i Ет(2J2 roее- ;k(2)(2ro)r2+е4ro µOP,n(2/2ro) -;kp(2ro)r(2ro) - k/2) (2ro)k;-------еiили-Е111(2) ( 2 ro) + е1гдеi)(2ro) -е1( ) - jk(2)(2ro)[x2 sin1't(2ro)+x3 cos1't(2ro)]111(2) 2 ro е+Е'Р,11(2) ( 2 ro)-jkp(2ro)[ч sintlp(2ro)+xзcostlp(2ro)]е,ta2(ro)-fa2(2ro)угол между положительным направлением оси х3 и направлениемраспространения волны Е ( 2 ) (2ro);правлением(4.23)осих3иi)P (2ro) -направлениемугол между положительным нараспространенияволныполяризацииP(2)(2ro).Магнитная составляющая поля удвоенной частоты во второй среде определяется выражением(4.24)На границе раздела двух сред согласно(2.18)вьmолняются условияE1 (J) (2ro) = Е1 ( 2 ) (2ro); Н't(I) (2ro) =Н't(ZJ(2ro).Поскольку граничные условия удовлетворяются в любой момент времени,то отсюда следует, что в первой среде существует «отраженная» волна второйгармоники.
Поле «отраженной» волны второй гармоники описывается выражениемЕ о (2(J)'J~ =е1 Етое j(20Jl-ko(2ro)[x2sin0o(2ro)+чcos0o(2ro)]) ,гдеk0(2ro)= .JE~1(2ro)µ 0-(4.25)постоянная распространения волны; 00 (2ro) -уголотражения.Найдем магнитную составляющую поля «отраженной» волны второй гармоники:4.1.Наклонное падение электромагнитной волны= Emo(2ro)[eZo1 (2ro)159cos0 (2ro)-e sin0 (2ro)]ej{2(1)1-ko(2(J))[x2sineo(2(J))+x3cos0Q(2(J))]j.
(4.26)о2зНа границе раздела (при х3о=О) из условия непрерывности касательных составляющих электрического поля, согласно выражениям(4.23)и(4.25),для второй гармоники получим, (Еп(2)2') -jk(2)(2(J))sint}(20J)x2(J) е+pm(2) (2ro)fa2 (ro) - fa2 (2ro)е-jkp(2(J))sint}p(2(J))x2= Emo(2ro)e-jko(2oo)sш00 (2(J))ctz .=(4.27)Поскольку граничные условия выполняются в любой точке границы раздела, то равенство(4.27)выполняется при любом значении х2, еслиkcz) (2ro) sin 1}(2ro) = k Р (2ro) sin '!}Р (2ro) = k0 (2ro) sin 00 (2ro),атак както2k0 / ro) sin 0 = kp (2ro) sin '!}Р (2ro) = kcz) (2ro) sin 1З-(2rо) = k0 (2ro) sin 00 (2ro), (4.28)гдеk(l)(ro) = ro'1ra1(ro)µo; k(2)(ro) = ro'1ra2(ro)µo;kp (2ro) = 2kc2J (ro); k(2) (2ro) = 2ro-.Jra2 (2ro)µ 0 ;k0 (2ro) = 2ffi✓Ea 1 (2ro)µ 0 •Исходя из(4.28),получаем выражения, представляющие собой модифицированные законы Снеллиуса.
·"2kc1J(ro) .smv(2ro) = -~-s1n 0 =kc2J(2ro).sш 't}p(2ro)2kc1J(ro) .=~~-sш0=. 0 О (2(J)) =SШE1(ro) .E2(2ro)- - - sш 0;(4.29)kp(2ro)E1(ro) . 0.Е1 (2ro)--- SШТаким образом, в общем случае направление распространения волны второйгармоники в нелинейной среде Е(2) (2ro) отличается от совпадающих направленийраспространения преломленной волны основной частоты Ес 2 ) (ro)и волны нелиней-4.160Электромагнитное поле в ограниченных средахЛинейнаясредаНелинейнаясредаa(2w)Рис.E<2j(ro), P(2)(2w)Ет(2w)4.5. Наклонное падение волны на границу с нелинейной средойной поляризации Р( 2) (2ro); направление распространения «отраженной» волны второй гармоникивозникающей в первой (линейной) среде, не совпадает с наE 0 (2ro),правлением распространения отраженной воm1ы основной частоты Е 0 ( ro) (рис.4.5).Направление распространения поля второй гармоники в линейной и нелинейной средах зависит от их дисперсионных свойств.Если первая средагласно-вакуум (линейная недиспергирующая среда), то со(4.29) получим.SШ i}(2ro)sin 0= --;===;.
·"' ( 2 )SШvpО)✓E2(2ro)0= ✓Еsin2 (Ф);sin 0 0 (2ro) = sin(4.30)0,т. е. «отраженная» волна второй гармоникиE 0 (2ro)в вакууме распространяетсяв том же направлении, что и отраженная волна основной частоты Е ( ro). Волна0нелинейной поляризации Р( 2 ) (2ro) в нелинейной среде распространяется в томже направлении, что и преломленная волна поля основной частоты E (2)(ro). Нонаправление распространения волны второй гармоники поля Е(2) (2ro) в общемслучае, когдаE (2) (ro),E2 (2ro) "# E2 (ro),и лишь в случаене совпадает с направлением распространенияE2 (2ro)= E2 (ro)или нормального падения направленияраспространения этих волн совпадают.Соотношения между амплитудами волн вторых гармоник также получаютсяиз граничных условий(2.18):E1:(1)(2ro) = E1:(2) (2ro);Н1:<J) (2ro) = Н1:<2) (2ro)4.1.или согласноНаклонное падение электромагнитной волны161(4.27) и выражениям (4.23)-(4.26), (4.20) и (4.21)Ет(2) (2 СО) -ЕтО (2 СО)=4oiµ 0 E0 X2 (2co)P§(co)E2 ( )·22т СО ,4k(2)(co)-k(2)(2co)(4.31)✓Е 2 (2co)Em(2 ) (2со) cos~2co) + ✓Е 1 (2co)Em0 (2co) cos 0(2со) =_-где 0(2со)4со µ0Е02Х2 (2co)~Pi( со) Е2 ( )2т СО cos v,2_<:,(4.32)4k(2) (со) - k< 2 ) (2со)= п-0 0 (2со).Решая эти уравнения совместно, получаем выражения для амплитуд «отраженной» и «преломленной» волн второй гармоникиЕ (2со) = Е2 (со) Х2(2со)Р;(со) хтОтЕ2(СО)-Е2(2СО)✓Е 2 (2со) cos ~2со) - ✓Е 2 (со) cos~(4.33)Х---;====-----,====-----·✓Е2(2со) cos ~2со) + ✓Е1 (2со) cos 0(2со) 'Ет z (2со) = -Е;, ( со) Х2 (2co)Pi ( со) х()Ez(CO)-E2(2co)~ cos~(co)- ✓E 1 (2со) cos0(2co)х ✓Е 2 (2со) cos~(2co) + ✓Е 1 (2со) cos0(2co)'(4.34)которые представляют собой модифицированные формулы Френеля для полягоризонтальной поляризации.Умножаячислительизнаменательвыражения(4.33)навыражение✓Е 2 (2со) cos~(2co) + ,JE2 (со) cos~ с учетом законов преломления (4.8) и (4.29),получаем:Е(2) = Е2( )то wX2(2w)Pi(W)т w [ ✓e2 (2w)cost}(2w)+ ✓e2 (w)cos'\}][✓E2 (2w)cos1}(2w)+ ✓e1 (2w)cos0(2w)JТаким образом, амплитуда «отраженной» волны пракгически не зависит отрассогласования фазовых скоростей волн, распространяющихся в нелинейном диэлектрике .
«Оrраженное» поле второй гармоники определяется поверхностнымслоем нелинейной среды толщиной порядка длины волны. Так как преобразованиеэнергии на границе раздела мало, реакцией поверхностного слоя на падающую волну можно пренебречь и амплитуду падающей волны можно считать постоянной.Полное поле второй гармоники в нелинейной среде определяется выражением(4.23). Всоответствии с выражениемk Р (2co)r - k 2 (2co)r =2(4.29)со Хз [ ,JE2 (со) cos~p (2co)-,JE2 (2со) cos~(2co) ],сЭлектромагнитное поле в ограниченных средах4.162следовательно, с учетом.Е(2) (2со)-1х е[выражение(4.31)= el{(4.23) можнопредставить в видеР,п(2) (2ro)+------хЕто (2со)f,a2 ( со) - f,a2 (2со)200сx 2 [.je2 (ro) cosf}p (2ro)- .je2 (2w) cos1'}(2ro)Jхеj{ 20Jt- k(2) (2w)[xz sin1'}(2w)+х3 cos1'}(2w)] )]}-1х.Для значений х3 , удовлетворяющих условию2со х3 [ .Je, 2 (со) cos i}p (2со)- ✓Е2 (2со) cosi}(2co)] «1,ссогласно приближенной формулее-х "" 1 -хполучаем.{рт(2) (2ro).Е (2)(2со)=е1 Ето(2со)-1------2соfa2(CO)-fa2(2co) сХ3Хх [ ,J,,(ro) oos f>р (2ro) - ,},,(2ro) cos iJ(2ro)]} е дzw-•щ <2•J•J.Умножимчислитель.Je,2(со) cost}P (2со) + .Je,·Е< 2) (2со)= е12знаменательполученноговыраженияна(2со) cost}(2co) и учтем выражение (4.29):Ето (2со){иР,п(2) (2со)--х:з2ro}foC- J ---== = - - - - - - - - - ; ======= - - - - - х2 ( со) cos i}P (2со) +2 (2со) cosi}(2co)..Je,хе.Je,j[2o:t- k(2) (2oo)r ].(4.35)Таким образом, начальная амплитуда «преломленной» волны второй гармоники (при х3=О) равна амплитуде «отраженной» волны; составляющая, зависящая от нелинейной поляризации, возрастает пропорционально расстоянию отграницы раздела при согласовании фазовых скоростей или при согласованиинормальных составляющих скоростей:✓Е2 (2со) cost}(2co) =.Je, (co) cosi}p(2co),2(4.36)так как касательные составляющие согласованы в силу граничных условий.Соотношение(4.36) выполняется при.Je,2 (2со) =.Je,2 (со);cos t}(2co) =cos -t} р(2со),4.2.Полное прохождение поля при наклонном падении163т.
е. при условии волнового синхронизмаkp (2ro) = k<2/2ro).Поскольку практически все среды обладают дисперсией иЕ 2 ( ro) 7'- Е 2 (2ro),то согласование возможно лишь в анизотропных средах с двойным лучепреломлением.Если условия волнового синхронизма не выполнены, то амплитуда напряженности поля будет осциллировать с изменением значения х3 . Расстояние пооси х3 между соседними максимумами напряженности поля определяется из условияl200с[.JE 2(ro) соs'\З-р (2ro) -✓Е 2 (2ro) cos'\З-(2ro)] = 21t.Это расстояние соответствует удвоенной длине когерентности.«Преломленная» волна второй гармоники представляет собой неоднородную плоскую волну.
Плоскости равных амплитуд не совпадают с плоскостямиравных фаз, параллельны плоскости раздела и определяются выражением3 =const.хАмплитуда напряженности поля «преломленной» волны второй гармоникиво много раз больше амплитуды напряженности поля «отраженной» волны второй гармоники, так как в создании поля «отраженной» волны участвует лишьповерхностный слой нелинейной среды толщиной порядка ДJШНЫ волны, а всоздании «преломленной» волны по мере ее распространения принимают участие все новые и новые диполи нелинейной среды.4.2. Полное прохождение электромагнитного поляпри наклонном падении на границу раздела линейных сред без потерь.Угол БрюстераВ случае горизонтальной линейной поляризации отраженная волна отсутствует, если ГЕ= О или согласно формулам Френеля (4.13)Z O2 cos 0 - Z O1 cos 1З- = О.Учитывая закон преломления Снеллиуса (4.8), получаемk2Zo2cos0-Zo1 1- ; ) sin 2 0 =О,k(2)или(4.37)1644.Электромагнитное поле в ограниченных средахТаким образом, в случае сред без потерь для полного прохождения волнынеобходимо направлять ее под углом, определяемым выражением (4.37).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
