24_10_11 (1183945), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В этот моментvрасщепленный участок толстой струи (брони) окажется равен длине тонкой струи. Такимобразом, толщина брони, пробиваемой кумулятивной струей, оказывается равной длине этойструи (при равенстве плотностей материалов струи и брони). В примере из статьиЛаврентьева это 20 см. Современные снаряды пробивают броню толщиной более 1 м.6. Метод конформных отображений для течений со свободной поверхностью.Детальный анализ формы струи сложнее.

Один из первых подходов, развитыйГельмгольцем для струи из щели в 1868 г, использовал метод конформных отображений.Идея метода заключается в том, что линии тока, совпадающие со стенками сосуда, привытекании из него образуют свободную поверхность, на которой известен модуль скорости.А асимптотическе поведение на бесконечности скорости в струйном течении известно. Этооднозначно определяет комплексный потенциал w  z     i на границе области течения ипозволяет решить задачу Дирихле, связывая переменную z  x  iy , с изменениемdwкомплексной скорости vˆ  u  iv и комплексного потенциала vˆ  vˆ  w  :dzdwz.vˆ  w В практических расчетах пользуются параметрическим представлением этихсоотношений, отображая комплексную скорость на плоскость комплексной переменной t приdwпомощи аналитической функции vˆ  t  , а затем отображая на эту же плоскостьdzкомплексный потенциал с помощью функции w  f  t  .

Тогда связь потенциала сf   t  dtпеременной z устанавливается при помощи соотношения z  .vˆ  t Годограф.Метод годографа – это метод отыскания отображений R2  x , y   R2  u, v  , определяемыхформулами u  u  x , y  , v  v  x , y  . Плоскость R2  u, v  называется плоскостью годографа.Отображение определяет образ множества на плоскости R2  u, v  . Вектор скоростиизображается радиусом-вектором точки  u, v  . Интеграл Бернулли ограничивает модульскорости струйного течения в любой регулярной точке, поэтому годограф любого течениясодержится внутри круга радиуса vmax.Область комплексного потенциала струи ограничена линиями тока   const ,параллельными действительной оси на плоскости w.

Для неограниченной струи это полоса,а при обтекании препятствия с образованием каверны - полуплоскость с разрезом.4Комплексная скорость vˆ  vˆ  w  связана с потенциалом соотношениемdw vˆ  u  iv  Ue  i , где U – модуль скорости, а θ – угол наклона вектора скорости к осиdzабсцисс (оси Ох).Пример. На рис. приведен пример построения годографа для течения в плоской трубешириной 2b, которое затем переходит в струйное.В точке А вдали от устья трубы скорость параллельна оси Ох и равна U, где U  vmax . Наплоскости ζ точка А лежит на оси абсцисс.

В точке В скорость равна нулю, а затем растет помере движения к устью, достигая максимального значения в точке С, равного значению насвободной линии тока. Поскольку направление вектора скорости на участке ВС составляетугол  с горизонталью на плоскости ζ этому изменению соответствует отрезок прямой,составляющий угол  с осью u. /Отношение проекций скоростей остается постоянным/.Направление свободной линии тока заранее неизвестно. При перемещении от точки С кточке D направление вектора скорости изменяется от наклонного до горизонтального, что ивыражается наличием дуги на плоскости комплексной скорости.

Нижняя граница потока –ось симметрии, направление скорости на которой не изменяется (участок АD). / v̂ Годограф в виде сектора АВСD при помощи отображения   переводится в vmax 11полукруг, а затем, используя отображение Жуковского t       , - в верхнюю2полуплоскость комплексой переменной t.

Расположение характерных точек на оси абсциссизображено на рис…Комплексный потенциал w  z     i удовлетворяет внутри трубы вдали от устья  vmax , v  0 . Потенциал течения (от оси симметрии) вусловию u x yyxверхней полуплоскости y  0 декартовых координат соответствует на плоскости φ,ψ точкамобласти, ограниченной линиями тока   0 и   Ud , как показано на рис… Найдемконформное отображение этой полосы на полуплоскость Im t  0 так, чтобы точки АВСDполосы совпали с точками отображения годографа на ней.

Для этого сначала отобразимполосу   0 ,   Ud на верхнюю полуплоскость переменной q при помощи преобразованияUbt  tAwln  , а затем совместим точки А и -1 при помощи преобразования  .t15Зависимость между комплексным потенциалом w и комплексной скоростью v̂ теперьустановлена в параметрическом виде: / 1   /  1 Ub t  t A,t        wln.2 t1 Течение Гельмгольца.iyИспользуя этот подход, Гельмгольц рассчиталтечение из щели в стенке большого резервуара,изображенной на рис...Годограф этого течения представляет собойABDEv̂-ddxполукруг на плоскости  , а его отображение наvmax11верхнюю полуплоскость t       показано на2-iηDCE AO-d0d0CiImtBAB C-1 ODE1Retξрис..Потенциал w этого течения на плоскости w    i изображается полосой, параллельнойоси абсцисс.

Будем считать потенциал точек В и D равным нулю.  vmax . Отсюда   x ,    vmaxx ,В окрестности точки С поток однороден, а v  xпоэтому ширина полосы   D   B  2d0 vmax .Отображение полосы на полуплоскость Im t  0 можно осуществить при помощи2v dфункции w   max 0 ln t . Если представить t в виде t  rei ,iψEDC`2 vmax d0Oφто w    i   ln r  i  . Чтбы отображениеосуществлялось в верхнюю полуплоскость переменной t, гдеA -d0vmax BC0     , удобно выбрать потенциал так, чтобы   0 /см. рис/.Выбор знака «минус» перед логарифмом обеспечивает отображение точки С на плоскостикомплексного потенциала в точку tC  0 .В области струи (в окрестности точки С) потенциал и функцию тока на оси абсциссудобно представить в виде2v d12v d  max 0 ln ,   max 0  .rВ точке D   D  0,   D  0 , а ее отображение на плоскость t имеет вид: tD   1,0 r  1,   0 . Аналогично для точки В   B  0,   B  2 vmaxd0 , так что ее отображениеtB   1,0  , т.е.

r  1,    .2v d11v̂Конформные преобразования t       , где  и w   max 0 ln t2vmaxотображают характерные точки плоскости z  x  iy и плоскости годографа в одинаковые6точки плоскости переменной t, что позволяет установить зависимость комплексногоdwпотенциала от пространственных точек при помощи соотношения vmax dz .  w11Исключая t получим t  e  q       , где q w.22 vmax d0Решая квадратное уравнение  2  2 eq  1  0 , получим зависимость  w   eq  i 1  e2 q . Знак «плюс» выбран так, чтобы отображение находилось в верхнейполуплоскости переменной ζ. Отсюдаdz 2 d0dq. e  i 1  e 2 qТеперь нетрудно определить коэффициент сжатия струи, вычисляя интеграл по линиитока   D  0 . Нас интересует только действительная часть перемещения по линии тока отточки С до точки D:2d2dx  Re z  0   e  q dq  0 .q02Полуширина струи вблизи отверстия d  d0  x  d0  1   , а коэфициент сжатияd0 0,61 .d  2Течение с каверной.В 1869 г.

метод Гельмгольца был использован Кирхгофом для расчета течения с кавернойвокруг пластинки (см. рис…). Годограф для этого течения изображен на рис….AiyB-d ОDdiη A,C,+iExBCE-1ОD+1 ξОбласть полукруга годографа   1, 0     можно отобразить на верхнююполуплоскость комплексной переменной t при помощиiImtпреобразования Жуковского11t      .DB2-1 O1RetОбласть комплексного потенциала w    i для этоготечения устроена иначе. Потенциал φ растет вдоль линий тока. Выберем wO  0 .

Линиятока, совпадающая с осью симметрии потока, в точке Оiψразветвляется, поэтому комплексный потенциал изображается наплоскости w, разрезанной вдоль оси абсцисс от нуля доDEбесконечности.Чтобы отобразить плоскость w на плоскость ť,нужно выбратьAО BC φнормировку потенциала так, чтобы точки D и В отображались вточки 1 и -1, соответственно: w  w /   B , а затем отобразить плоскость потенциала w наверхнюю полуплоскость ť при помощи преобразования t  w1/2 . После этого применяя7инверсию и изменяя знак, чтобы совместить точки B и D, получим искомое отображение1потенциала t   1/2 .

Теперь нетрудно установить зависимость скорости ζ от потенциалаw2 2  1/2   1  0 .qРешая это уравнение относительно ζ, получим11  w   1/2 1 .wwВыбор знака обеспечивает выполнение условия w  0   0 .Это приводит к дифференциальному уравнению  B dw11  w  1/2 1 ,V0 d dz wwрешая которое получим комплексный потенциал как функцию пространственных координат.Вычисляя теперь скорость вдоль линии тока от точки О до точки В или D, нетрудноопределить давление, оказываемое потоком на пластинку, при помощи уравнения Бернулли.Расчеты Кирхгофа в предположении, что давление воздуха в каверне равно давлению впотоке, приводит к выражению для силы сопротивленияF  0,88FДин .Этот результат плохо согласуется с экспериментом, в котором сопротивление пластинкипри образовании каверны оказывается приблизительно вдвое больше, чем динамическоедавление.

Различие обусловлено тем, что каверна не простирается до бесконечности. Заплстинкой образуется «застойная зона», в которой существует вихревое течение,нарушающее предположения, положенные в основу расчетов модели.В настоящее время для расчета течения с каверной используются более совершенныеметодики, учитывающие образование вихрей.Ниже представлены некоторые фото течений со свободной поверхностью.8.

Характеристики

Список файлов лекций