08_superfluid_2018_mar25 (1182299), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Отметим, чтоинтеграл будет расходится при положительном μ - для невзаимодействующих бозоновхимпотенциал всегда отрицателен или равен нулю. Прямым дифференцированием потемпературе можно убедиться, что химпотенциал должен быть убывающей функциейтемпературы:∞0=∫01(e(E−μ)/ T2−1)e (E−μ)/T(E−μ μ ' (T )+TT2)√E dE ,18 Формально похожие вычисления мы делали при анализе зависимости химпотенциала электронного газа оттемпературы.стр. 20 из 3025.03.2018так как интеграл от первого слагаемого положительный (дляμ ' (T )<0 .μ≤0это очевидно), тоОднако, как легко проверить, всегда существует конечная 19 температура T c при которойусловие на постоянство концентрации будет выполняться для нулевого значенияхимпотенциалаNm3/ 2√ E dE = m3/ 2 T 3 /2 √ x dx=∫∫V √ 2 π2 ℏ3 0 e E /T −1 √2 π2 ℏ 3 c 0 e x −1∞∞сИнтеграл сходится и выражается через дзета-функциютемпературыT c=( )3.32 ℏ2 NmVΓ(3/ 2)ζ (3/ 2)≈2.31 , откуда для2 /3.Что будет, если понизить температуру ниже T c ? Химический потенциал больше не можетувеличиваться с охлаждением — он должен оставаться неположительным.
Но тогда нашподсчёт не даст полного числа частиц! Противоречия однако нет — переход кинтегрированию подразумевает малость изменения чисел заполнения при переходе междусоседними энергетическими уровнями, в более строгой записи нам нужно суммировать повсем состояниям. И тогда появляется возможность «недостающему» в нашем вычисленииколичеству частиц собраться в состоянии с наименьшей энергией. Ниже температуры T c всостоянии с нулевой энергией оказывается макроскопически большое число частиц, равное3 /2TN 0=N 1−.Tc( ( ))Это явление называют бозе-конденсацией (или конденсацией Бозе-Эйнштейна), а самколлектив частиц в основном состоянии называют бозе-конденсатом. Подчеркнём ещё раз,что это связано с бозонной природой частиц — нет запрета Паули, запрещающего имсобраться в одном состоянии.
«Конденсация» частиц имеет место в k-пространстве, вреальном координатном пространстве частицы конденсата делокализованы по всему объёмубозе-газа.Интересно отметить, хотя это и явно выходит за рамки применимости газовой модели, чтодля плотности жидкого гелияn=2.18⋅1022 1/см 3 вычисленная температура бозеконденсации T c≈3.1 К [7], что достаточно близко к лямбда-точке.Связь бозе-конденсации и сверхтекучести не столь однозначна. Для трёхмернойсверхтекучести необходима бозе-конденсация. Однако при этом еще необходимо и вполнеопределённое взаимодействия между частицами (отталкивание), которое сделает спектрвозбуждений линейным, а не квадратичным как для свободных частиц газа.
Действительно,при квадратичном спектре критерий Ландау будет давать нулевую скорость разрушениясверхтекучести. Кроме того, в бозе-системах с взаимодействием соответствие междуколичеством частиц в конденсате и плотностью сверхтекучей компоненты в двухжидкостноймодели оказывается более сложным. Взаимодействие не позволяет всем частицам собраться всостоянии с E=0 , часть частиц остаётся вне конденсата20. Например, в гелии-4 приT =0 плотность сверхтекучей компоненты равна плотности жидкости, но при этом всостоянии бозе-конденсата находится только около 10% всех частиц [7]. Однако подробное19 Отметим, что это результат существенно трёхмерный. При понижении размерности до двумерной (случайтонких плёнок гелия) такого не будет.20 Аргументация аналогична различию между функциями распределения ферми-газа и ферми-жидкости приT =0 .стр.
21 из 3025.03.2018обсуждение этих вопросов существенно выходит за рамки нашего курса.Все частицы в состоянии бозе-конденсата описываются одной волновой функцией Ψ0 (⃗r ) .Часто у этой волновой функции выбирают нормировку на число частиц в конденсатеiΦΨ0= √ N 0 e , где Φ фаза волновой функции. Фаза может зависеть от координаты, этазависимость определяется условиями в которых находится бозе-газ.Движение конденсата как целого соответствует движению сверхтекучей компонентыжидкости: передача энергии возможна только за счёт создания возбуждений, условиегенерации которых определяется критерием Ландау.
Действуя оператором импульса⃗ Φ ) Ψ . Откуда, заменяя в рамках⃗ на Ψ0 легко заметить, что ⃗^p Ψ =(ℏ ∇⃗^p=−i ℏ ∇00квазиклассического подхода операторы на соответствующие физические величины, дляℏ ⃗Φ . Таким образом, градиент фазыскорости сверхтекучего движения получаем v⃗s= ∇mопределяет скорость сверхтекучего движения.Это свойство по аналогии с электростатикой называют свойством потенциальности скоростисверхтекучей компоненты: фаза волновой функции имеет смысл электростатическогопотенциала, а скорость сверхтекучего движения — напряжённости электрического поля.У этой аналогии есть, однако, одно исключение.
В отличие от электростатическогопотенциала фаза определена с точностью до слагаемого кратного 2 π , набег фаз кратный2 π не меняет волновую функцию. Поэтому теорема о циркуляции будет иметь видh∮ v⃗s d ⃗l = mℏ 2 π n= m n . Это означает, что возможны такие состояния сверхтекучейжидкости, когда циркуляция сверхтекучей компоненты не равна нулю. В простейшем случаецилиндрической геометрии такое состояние называют вихрем.
Скорость движенияℏсверхтекучей компоненты зависит от радиуса до оси вихря v s=, видно что на малыхmrрасстояниях эта скорость превысит критическую скорость Ландау. Следовательно,сердцевина вихря (его «кор», от английского «core») будет состоять не из сверхтекучей, а изнормальной жидкости. Рождение таких вихрей на неоднородностях поверхностиэкспериментальной ячейки в реальных экспериментах наступает на скоростях течения напорядок меньших скорости Ландау и ограничивает область существования сверхтекучести.Отметим, что теорема о циркуляции допускает существование многоквантовых n>1вихрей. Однако такие состояния энергетически не выгодны. Кинетическая энергия nквантового вихря в n2 раз больше энергии одноквантового вихря, поэтому такому вихрювыгодно распасться с сохранением момента импульса на n одноквантовых вихрей.стр.
22 из 3025.03.2018Термодинамика сверхпроводников I рода.Основные экспериментальные факты.Рисунок 12 Слева: данные Камерлинг-Оннеса, первое наблюдение сверхпроводимости вртути (1911). По книге [5]. Справа: зависимость сопротивления в проволочке NbTi оттемпературы, данные автора. Синяя кривая — линейная зависимость сопротивления оттемпературы выше точки перехода (по оси температур масштаб логарифмический).Данные получены на простом демонстрационном стенде, часть проволочки была при болеевысокой температуре и оставалась в нормальном состоянии, что объясняет остаточноесопротивление ниже температуры перехода.Перечислим некоторые экспериментальные наблюдения 21, необходимые для обоснованиянаших рассуждений.Явление сверхпроводимости было открыто Камерлинг-Оннесом при изучении зависимостисопротивления ртути от температуры.
Он обнаружил, что при температуре около 4.2 Ксопротивление ртути скачком меняется не менее чем на 4 порядка (Рисунок 12). Аналогичноескачкообразное понижение сопротивления до нуля было обнаружено и в ряде другихметаллов и сплавов (при этом не все хорошие металлы становятся сверхпроводниками).Температуры перехода в сверхпроводящее состояние для некоторых металлов и сплавовпредставлены в таблицах 1 и 2. Точные измерения позволяют утверждать, что сопротивлениениже точки перехода точно обращается в ноль.
Это проверялось, например, возбуждением вкольце из сверхпроводника индукционного тока, затухание которого далее контролировалосьизмерением магнитного поля этого витка. Эксперимент длящийся около года не показалзаметного уменьшения тока в таком кольце.Температуры перехода для чистых элементов составляют обычно градусы кельвина, всплавах температура перехода может достигать 10-20К. В некоторых соединениях21 Приводимая подборка экспериментальных фактов ориентирована на обсуждение термодинамикисверхпроводников I рода и не полна. Другие важные факты, такие как зависимость температуры перехода отизотопного состава (изотоп-эффект), необычные туннельные эффекты в сверхпроводниках (эффектДжозефсона) будут обсуждаться далее в соответствующих разделах курса.стр.
23 из 3025.03.2018(YBa2Cu3O7 и другие оксиды) обнаружена сверхпроводимость при более высокихтемпературах, такие соединения называют высокотемпературными сверхпроводниками.Оказалось, что сверхпроводящее состояние может быть разрушено приложением достаточносильного магнитного поля. Величина этого поля, называемого критическим полем, растёт спонижением температуры и равна нулю в точке перехода. Характерные величиныкритического поля для чистых элементов обычно не больше килоэрстеда, для сплавоввеличина критического поля при самой низкой температуре может достигать 20 Тл (Nb3Sn).Зависимость критического поля от температуры для элементов, демонстрирующих переход всверхпроводящее состояние, имеет вид перевёрнутой параболы и может быть представлена2Tэмпирическим законом H c (T )=H c 0 1−.
Таким образом, на плоскости H-T можетTc( ( ))быть построена фазовая диаграмма сверхпроводника (рисунок 13), температура и внешнеемагнитное поле являются термодинамическими переменными, определяющими состояниесверхпроводника. Отсюда сразу следует, что сопряжённая к магнитному полю величина —dE⃗⃗ ⃗⃗намагниченность M=−⃗ (или индукция поля внутри сверхпроводника B = H +4 π M )dH— будет функцией состояния сверхпроводника.Таблица 1: Температура сверхпроводящего перехода и экстраполированное к нулевойтемпературе значение критического поля для некоторых элементов-сверхпроводников.
Изкниги [4].Tc , KЭлементAl1.18Be0.026Cd0.52Ga1.08Hf0.13Hg-α4.15Hg-βH c (0) , Э105ЭлементTc , KH c (0) , ЭOs0.66Pa1.428Pb7.2080359Re7.70200Ru0.4969411Sn3.723053.95339Ta4.47829In3.41282Tc7.81410Ir0.1116Th1.38160La-α4.88800Ti0.456La-β61100...1600Tl2.38178Lu0.1V5.401408Mo0.9296W0.0151.15Nb9.252060Zn0,8554стр. 24 из 307025.03.2018Таблица 2: Критические температуры некоторых сплавов и ВТСП. По книге [4].СоединениеTc , КСоединениеTc , КNb3Sn18.1Bi2Sr2Ca2Cu3O10111(Nb3Al)4+Nb3Ge20Tl2Sr2Ca2Cu3O10123La0.95Sr0.075CuO434HgBa2Ca2Cu3O8133YBa2Cu3O792.4Рисунок 13 Слева: зависимость критического поля от температуры для некоторыхэлементов-сверхпроводников. Справа: связь критического поля с температурой перехода. Изкниги [5].Оказывается, что для многих элементов-сверхпроводников критическое поле и температураперехода связаны друг с другом: чем больше температура перехода, тем больше критическоеполе (рисунок 13).Наконец, было обнаружено, что сверхпроводник «выталкивает» из себя магнитное поле, этотэффект назвали эффектом Мейснера.22 Эффект Мейснера проявляется в том, что при переходев сверхпроводящее состояние в образце сверхпроводника возникает диамагнитнаянамагниченность.
Оказалось, что есть два типа сверхпроводников, называемыхсверхпроводниками I и II рода. Сверхпроводники I рода демонстрируют полный эффект⃗ =0 и намагниченность образцаМейснера: в толще сверхпроводящего образца везде B1⃗ =−⃗ соответствует идеальному диамагнетику. Сверхпроводники II родаMH4πдемонстрируют частичный эффект Мейснера: при поле выше некоторого пороговогозначения (но ниже поля полного разрушения сверхпроводимости) магнитное поле как-топроникает вглубь образца и намагниченность образца оказывается меньше намагниченностиидеального диамагнетика (рисунок 14). Для сверхпроводников второго рода выделяют двакритических поля: нижнее критическое поле H c1 , ниже которого эффект Мейснераполный (это поле обычно относительно невелико и не превышает 1 кЭ), и верхнеекритическое поле H c 2 , в котором сверхпроводящее состояние (т.е. ρ=0 ) разрушается(верхнее критическое поле в рекордных сверхпроводниках II рода превышает 20 Тл).
Какправило, чистые элементы оказываются сверхпроводниками I рода, а сплавы и сложныесоединения — сверхпроводниками II рода. Сейчас мы будем рассматривать только свойствасверхпроводников I рода.22 Иногда также называется эффектом Мейснера-Оксенфельда.стр. 25 из 3025.03.2018Рисунок 14 Кривые намагничивания различных сверхпроводников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
