08_superfluid_2018_mar25 (1182299), страница 3
Текст из файла (страница 3)
И фононы, и ротоны, как всякие квазичастицы,описывающие колебания среды, являются бозонами и подчиняются бозевской статистике.Однако для ротонов, из-за достаточно большой щели, в большинстве случаев можнопренебречь единицей в бозевском распределении и пользоваться больцмановскойстатистикой.107 Термин «ротон» возник исторически, разные источники приписывают его появление Л.Д.Ландау илиИ.Е.Тамму. На первых этапах становления теории сверхтекучести ротоны считались вторым типомвозбуждений гелия-II, связанным с квантованными вращениями сверхтекучей жидкости, Фейнман предлагалинтерпретацию ротона как вихревого кольца очень малого (атомного) размера.
Эти интерпретации, однако,имеют только исторический интерес. Эксперимент показывает, что в ротонном минимуме у квазичастиц нетмомента вращения, ротонный минимум непрерывно переходит в фононную часть спектра при малыхволновых векторах — таким образом при данном значении волнового вектора есть только один тип ротонов,спин ротона равен нулю. Термин «ротон» прижился в теории сверхтекучести, но к нему надо относитьсяпросто как к устоявшемуся термину, как, например, мы относимся к названиям «ароматов» частиц в ядернойфизике.8 Например, мы это видели в модельной одномерной цепочке атомов.9 При температатуре 1К число заполнения в максимуме (энергия 14К) меньше числа заполнения в минимуме(энергия 8К) в e 6≈400 раз.10 Это формально аналогично тому, как для полупроводников при низкой температуре можно пренебречьединицей в фермиевской функции распределения.стр.
12 из 3025.03.2018Отметим также интересную особенность спектра — его окончание в некоторой точке (точкеПитаевского). В этой точке энергия квазичастицы равна удвоенной ротонной щели, а импульснесколько меньше удвоенного положения ротонного минимума. Соответственно, в этойточке становится возможным распад квазичастицы в два ротона, движущихся под некоторымуглом друг к другу, который оказывается и кинематически выгоден. Подробный анализ этоговыходит за рамки нашего курса, вопросы критериев выгодности распада квазичастицрассматриваются, например, в [12] §34.Фононный и ротонный вклады в теплоёмкость гелия.Спектр элементарных возбуждений позволяет вычислить термодинамические функции гелияв сверхтекучем состоянии.
Проиллюстрируем эти вычисления на примере теплоёмкости. Видеальногазовом приближении фононный и ротонный вклады вычисляются независимо. Приэтом для низких температур мы можем везде пользоваться быстрым убыванием чиселзаполнения и распространять интегрирование до бесконечности, а для ротонов считатьстатистику больцмановской.Для фононов энергияE=∫ ℏ ω∞42V d3k4πVx34π VT=Tdx=∫ e x−1 30 (ℏ s )3e ℏ ω/ T −1 (2 π)3 ( 2 π)3 ℏ3 s 301и теплоёмкость C фон =2 π2 V T 3.15 (ℏ s)3Кубический вклад в теплоёмкость соответствует эксперименту.Для ротонов энергия()()(k −k 0 )2 −(Δ +ℏ (k−k ) /(2 m ))/T V d 3 k 4 π V −Δ /T ∞ℏ2 ξ 2 −ℏ ξ /(2 mT )e=eΔ+e( ξ+ k 0 )2 d ξ∫332m2m−∞( 2 π) (2 π)здесь сделана замена k =ξ+ k 0 после чего интегрирование распространено на всю ось. Прираскрытии скобок в подынтегральном выражении нужно оставлять только чётные степени.E=∫ Δ+ ℏ 2(2202)222ℏ k 0 2 ℏ 2 4 −ℏ ξ /(2 m T )V e−Δ /T ∞ 2V e−Δ /T 2 √ 2 mT ∞ −xE=kΔ+(Δ+)ξ+ξedξ=k0 Δ∫∫ e dx+022ℏ −∞2m2m2 π −∞2π.5ℏ 2 k 20 √2 mT 3 ∞ 2 −xV e−Δ /TV e−Δ /T ℏ2 √ 2 mT ∞ 4 − x+Δ+∫ x e dx+ 2 π 2 2m ℏ −∞∫ x e dx2ℏ2m−∞2π()()222(2)2ℏ 2 k 20(отличиеΔ≪2mпримерно в 20 раз).
Кроме того, удержание последнего слагаемого будет превышениемточности, так как члены того же порядка по температуре возникнут из учёта отклонениязакона дисперсии от квадратичного. Используя табличные интегралы 12, окончательнополучаем:Подстановкой чисел (и из вида спектра 11) можно убедиться, чтоE≈V e−Δ /T2 π3 / 2(√ 2 mT k 2 Δ 1+ 1 T0ℏ2Δ),11 Это условие графически соответствует тому, что ротонный минимум достаточно острый, так чтоквадратичная экстраполяция пересечёт ось ординат на уровне гораздо выше положения минимума.∞12∫ e−x dx= √π ;−∞2∞x 2 e−x dx= √ π∫2−∞2∞;∫ x 4 e−x dx=−∞2стр.
13 из 303 √π425.03.2018T. Таким образом, следующее заΔ < 0.21 слагаемые в скобках — это только небольшая поправка и при самых низких температурахеё можно отбросить, откуда сразу следует низкотемпературная асимптотика энергии1 −Δ / Tротонного газа E ∝ √ T e −Δ /T и его теплоёмкости C ∝ 3 / 2 e.Tидеальногазовое приближение верно для гелия приТочным дифференцированием выражения для энергии получим для ротонного вклада втеплоёмкость13C рот ≈()1 /2V e −Δ / T √ 2 m 2 1 −1/ 21−3 / 2 3 TkΔT+ΔT++ T −1 /2 =03 /2ℏ24Δ22π.2V e−Δ /T √ 2 m 2 Δ 2T 3 T=k 0 3 /2 1+ Δ +4 Δ2 π3 /2 ℏT(( ))Ротонный вклад экспоненциально вымерзает при низких температурах, но становитсядоминирующим выше примерно 0.8К.Критерий Ландау.Покажем, что из имеющегося в гелии спектра возбуждений (рисунок 8) с необходимостьюследует возможность бездиссипативного течения такой жидкости при не слишком большихскоростях потока.Рисунок 9: Сверхтекучая жидкость, протекающая через капилляр с неоднороднымистенками (схематический рисунок).Предположим, что гелий находится при абсолютном нуле температуры, то есть в своёмосновном энергетическом состоянии.
Рассмотрим течение жидкости через капилляр соскоростью ⃗v . Удобнее перейти в систему отсчёта, движущуюся вместе с жидкостью, тогданеоднородности на стенках капилляра будут создавать переменные во времени граничныеусловия и могут приводить к генерации квазичастиц (рисунок 9). Если с генерируемымиквазичастицами окажется связано движение против потока жидкости как целого, это будетозначать увлечение части жидкости стенками — то есть возникновение вязкого трения.Система координат, движущаяся вместе с жидкостью, по определению движется вместе сжидкостью без квазичастиц, то есть с жидкостью, находящейся в основном состоянии. Пустьтеперь в этой жидкости появилась квазичастица с импульсом ⃗p и энергией ε( ⃗p ) (всистеме отсчёта, движущейся с жидкостью).
Отметим, что по постановке эксперимента намизвестен именно спектр квазичастиц в системе отсчёта, в которой жидкость покоится13d α Δ/TT e =( α T α−1+ Δ T α −2) e−Δ /TdTстр. 14 из 3025.03.2018(рисунок 8). Вернёмся в неподвижную систему отсчёта. Как изменится энергияквазичастицы?Ответ для преобразования энергии и импульса известен из механики, мы выведем его здесьповторно для простого случая невзаимодействующих частиц 14. Квазичастица — этонекоторое коллективное движение всех «настоящих» частиц жидкости. Импульсквазичастицы в движущейся системе координат (в системе покоя жидкости до возникновенияквазичастицы) может быть представлен как сумма импульсов всех частиц ⃗p =∑ p⃗i 0 ,iсуммирование идёт по всем частицам, индекс «ноль» указывает на систему покоя жидкости(до возникновения квазичастицы).
Полная энергия состояния с одной квазичастицей вp2системе покоя жидкости ∑ i 0 включает в себя энергию квазичастицы ε и энергию2mip2движения частиц в основном состоянии жидкости E 0 : E=∑ i 0 =ε+ E 0 .i 2mВ лабораторной системе координат импульс i-ой «настоящей» частицыполная энергия равнаE=∑ip i= p⃗i 0 + m ⃗v , а⃗p 2i( p⃗io + m⃗v ) 2p 2i 0mv 2Mv 2.=∑=∑+⃗v⋅∑ p⃗i 0 + ∑=ε+ ⃗p⋅⃗v + E 0 +2m i2m2m22iiiДва последних слагаемых соответствуют энергии основного состояния жидкости и еёдвижению как целого, два первых описывают изменение энергии жидкости при появленииквазичастицы и, следовательно, и задают энергию квазичастицы в лабораторной системеv .
Перестройка спектра проиллюстрирована на рисунке 10.координат ε' =ε+ ⃗p⋅⃗Полныйимпульсвсехчастиц⃗⃗P ' =∑ ⃗p i=∑ p⃗i 0 + ∑ m ⃗v = ⃗p+ P, гдеiiiвлабораторной⃗P =M v⃗ - импульссистемекоординатдвиженияжидкости,находящейся в своём основном состоянии, как целого. Импульс квазичастицы есть поопределению добавка к движению системы как целого, возникающая при появленииквазичастицы.
То есть⃗p ' = ⃗p и импульс квазичастицы является галилеевскиминвариантом.Числа заполнения квазичастиц определяются бозевской функцией распределения,химпотенциал для квазичастиц равен нулю. В лабораторной системе координат:1n(ε ')= ε' /T. При T → 0 числа заполнения будут малы при ε’> 0 , а при ε’=0e −1число заполнения станет не определено. Это соответствует самопроизвольному появлениюквазичастиц с ε’=0 . Такое свойство является общим для всех описаний свойствразличных систем на языке квазичастиц — если энергия каких-то квазичастиц становитсяравной нулю, то такие квазичастицы начинают рождаться сами в большом количестве15.14 Точнее, мы считаем жидкость несжимаемой, тогда потенциальная энергия взаимодействия частиц неизменится.15 Количество рождающихся квазичастиц может быть ограничено какими-то процессами их взаимодействия.Во многих случаях такое массовое рождение («конденсация») квазичастиц является признаком фазовогоперехода — изменения состояния «вакуума» относительно которого и вводились квазичастицы.
Например,фазовый переход, при котором в цепочке атомов с периодом a происходит димеризация: атомы попарносближаются навстречу друг другу со статическим смещениемun=δ (−1)n, так что расстояния междусоседними атомами теперь чередуются как a (1±δ ) , может быть формально описан как «конденсация»фононов с волновым вектором π / a и нулевой энергией (то есть частотой, что соответствует стоячейволне деформации).стр. 15 из 3025.03.2018Рисунок 10: Преобразование спектра квазичастичных возбуждений при переходе влабораторную систему координат. Верхний рисунок: спектр возбуждений в системе покояжидкости и вклад pv для некоторой скорости меньшей критической. На среднем рисунке:спектр возбуждений в лабораторной системе координат при скорости течения меньшекритической.
На нижнем рисунке: спектр при критической скорости течения, стрелкойотмечен импульс при котором "конденсируются" квазичастицы.В нашем случае при критической скорости происходит касание уровня ε’=0 в точке симпульсом, противоположным скорости течения (рисунок 10). Это означает, чторождающиеся квазичастицы несут импульс против движения жидкости как целого, то естьчасть жидкости увлекается (тормозится) стенками. Это и есть вязкость.Таким образом, вязкое увлечение жидкости стенками становится возможно, если скоростьε( p)течения жидкости v >. Полученное неравенство называют критерием Ландау.pЭто уравнение может быть решено графически: спектрстр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
