08_superfluid_2018_mar25 (1182299), страница 4
Текст из файла (страница 4)
16 из 30ε( p) известен из эксперимента25.03.2018(рисунок 8), а v p - уравнение прямой, проходящей через начало координат. Критическаяскорость определяется касанием этой прямой с графиком ε( p) (рисунок 11).Таким образом, при малых скоростях жидкость будет течь бездиссипативно, без вязкости.Подчеркнём, что, как мы показали, из формы спектра возбуждений однозначно следуетвозможность существования бездиссипативного потока в этой системе. Этот вывод позднеепонадобится нам при анализе явления сверхпроводимости. Также отметим, что дляквадратичного спектра обычных частиц критическая скорость оказывается равной нулю.Рисунок 11 К решению задачи о критической скорости. Спектр возбуждений из работы[11], красная заливка отмечает область скоростей течения, при которых возможнорождение квазичастиц.Касание происходит почти в ротонном минимуме, поэтому для критической скоростиΔ(скорости Ландау) v L≈ ℏ k ≈60 м / сек .
Точка касания определяет, какие квазичастицы0возникнут первыми. На практике эта оценка для скорости потери сверхтекучести оказываетсязавышена примерно на порядок, что связано с возможностью появления возбужденийдругого типа: квантованных вихрей в сверхтекучем гелии.Двухжидкостная модель гелия-II.†Нормальная и сверхтекучая компоненты жидкости.Эксперимент Андроникашвили показывает, что неувлекаемая вращением маятника массажидкого гелия плавно возрастает при понижении температуры ниже лямбда-точки и толькопри самых низких температурах вся жидкость становится сверхтекучей.Это соответствует нашему рассмотрению течения жидкости через капилляр: при T ≠0 вжидкости уже есть возбуждения, которые могут при столкновении со стенками передавать имимпульс.
Поэтому та часть жидкости, которая увлекается движением возбуждений будетвести себя как нормальная жидкость и будет тормозиться благодаря трению о стенки. В то жевремя, условие генерации новых возбуждений не зависит от наличия возбуждений вжидкости (имеющиеся тепловые возбуждения лишь дадут вклад в энергию E 0 жидкости).То есть, и сверхтекучий характер движения должен сохраняться при ненулевой температуре.стр.
17 из 3025.03.2018Все эти рассуждения могут быть сведены в двухжидкостную модель гелия-II.16 В гелии-IIмогут одновременно сосуществовать два вида движения: бездиссипативное сверхтекучеедвижение со скоростью v⃗s и нормальное вязкое движение со скоростью v⃗n . Долюжидкости, которая увлекается возбуждениями — нормальной компоненты жидкости —ρn , соответственноудобно характеризовать плотностью нормальной компонентыостальная часть жидкости в нормальном движении не участвует и характеризуетсяплотностью сверхтекучей компоненты ρs . Эти плотности зависят от температуры, влямбда-точке плотность сверхтекучей компоненты обращается в ноль, а в нуле температурыплотность нормальной компоненты зануляется.
Такое рассмотрение жидкости как «смеси»двух «частей» является способом выражения, не означающим реального разделенияжидкости на две части. Это некоторая традиционная проблема нехватки «обычного» языкадля описания квантовых явлений.Полная плотность жидкости постоянна ρ=ρn+ρ s , полный поток жидкости (импульсединицы объёма) выражается через сумму вкладов обоих движений ⃗j =ρn v⃗n +ρ s v⃗s .Сверхтекучая компонента по определению связана с отсутствием возбуждений. Это вчастности означает, что поток сверхтекучей компоненты не связан с переносом тепловойэнергии. Следовательно, поток тепла в жидком гелии (перенос энтропии) связан с движениемтолько нормальной компоненты.Это определение позволяет уточнить к какой системе отсчёта относится экспериментальнонаблюдаемый спектр возбуждений ε(⃗p) : по постановке эксперимента возбуждениерождается из сверхтекучей компоненты, поэтому этот спектр измеряется в системе покоясверхтекучей компоненты.
В системе относительно которой сверхтекучая компонентадвижется со скоростью ⃗v s энергия возбуждения ε'=ε( ⃗p )+ ⃗p ⃗v s .Плотность нормальной компоненты.Для того, чтобы узнать плотность нормальной компоненты — то есть долю жидкости,увлекаемую за движением возбуждений — вычислим импульс, связанный с этим движениемвозбуждений. Для упрощения задачи мы можем задать удобную геометрию: пусть газвозбуждений движется относительно покоящейся в лабораторной системе координат⃗v .
Это движениесверхтекучей компоненты жидкости с «дрейфовой» скоростьювозбуждений может быть создано какими-то неравновесными внешними условиями. 17Как и при получении критерия Ландау здесь оказывается важным тот факт, что спектрвозбуждений ε(⃗p) известен нам в системе покоя сверхтекучей жидкости. Движущийся газвозбуждений представляет собой неравновесную ситуацию в лабораторной системекоординат, для его описания удобно перейти в систему отсчёта, в которой газ возбужденийпокоится. В этой системе координат сверхтекучая компонента жидкости движется соскоростью −⃗v . Соответственно, энергия возбуждения с квазиимпульсом ⃗p в этойсистеме ε( p)−⃗p ⃗v .
Тогда в этой системе отсчёта полный импульс газа квазичастиц (наединицу объёма):d3 k⃗P=∫ ⃗p n(ε−⃗p ⃗v )p=ℏ ⃗k .3 , где ⃗(2 π)16 Двухжидкостная модель на качественном уровне была предложена Лондоном и Тиссой в 1938 году и болеестрого и количественно развита Ландау в 1941 году. Эксперимент Андроникашвили был стимулированпредсказаниями Ландау. Гипотеза Лондона и Тиса предполагала, что каждая компонента жидкости содержитопределённое число атомов, в то время как теория Ландау говорит о двух сосуществующих при конечнойтемпературе видах движения: сверхтекучего движения и «нормального» вязкого движения жидкости.17 Например, наша жидкость находится в трубке, один из концов которой нагревается.стр.
18 из 3025.03.2018Здесь мы воспользовались тем, что импульс квазичастицы является галилеевскиминвариантом, а функция распределения n (ε−⃗p ⃗v ) записана в системе покоя газавозбуждений.Для малых скоростей движения можно разложить функцию распределения по степенямdn⃗p ⃗v . Сразу можно отметить, что в силу изотропности функции⃗p⃗v : n (ε−⃗p ⃗v )=n(ε)−dεраспределения член нулевого порядка обратиться в ноль.В первом порядкеd n d3 k⃗P=−∫ ⃗p ( ⃗p ⃗v).d ε (2 π)3Усреднение по направлениям импульса даёт3⃗v2 dn d k⃗P=− ∫ p.3d ε (2 π)3Полученный интеграл ненулевой — это соответствует тому, что некоторая масса реальноувлекается за газом квазичастиц, эта увлекаемая масса и есть нормальная компонента1d n 2 d3 kpжидкости.
Её плотность, таким образом, есть ρn= ∫ −.3dε(2 π)3( )При низких температурах (меньше 1К) эта плотность определяется фононным вкладом.ε/Tdn d11e==−ε=ℏskТогдаи d ε d ε ε/TT ( e ε/T −1 )2 , откудаe −12ρ n=∞ℏ s k /T44∞x4241 ℏ 1 ek dk 1 T=∫∫ e x dx = 2 π T3 2 π T 0 ( e ℏ s k/ T −1 )2 6 π ℏ 3 s5 0 ( e x −1)2 45 ℏ3 s5 .Объяснение фонтан-эффекта.Двухжидкостная модель позволяет нам объяснить и фонтан-эффект. Напомним, чтоэкспериментально наблюдается натекание жидкости в объём, отделённый пористой пробкойот основной части гелия при нагреве жидкого гелия внутри этого объёма. Мы ограничимсятолько качественным рассмотрением.Одним из условий равновесия в сверхтекучей жидкости является постоянство концентрациисверхтекучей компоненты.
Нагрев гелия в объёме рождает возбуждения — часть гелияпереходит из сверхтекучего состояния в нормальное. При этом «лишняя» нормальнаякомпонента не может протечь через пористую пробку, а вот «недостающая» сверхтекучаякомпонента может затечь внутрь нашего объёма. За счёт этого тока сверхтекучей компонентыувеличивается количество жидкости в нагреваемом объёме, что и вызывает подъём уровняили даже возникновение фонтана.Подчеркнём, что сверхтекучая часть самопроизвольно течёт из холодной области в горячую.Это означает, что, чтобы не нарушать основы термодинамики, движение сверхтекучейкомпоненты не сопровождается переносом тепла — то есть экспериментально доказывает,что энтропия сверхтекучей компоненты равна нулю.Второй звук в сверхтекучем гелии.Наличие двух компонент в гелии-II приводит к тому, что длинноволновые колебания этойнеобычной жидкости могут быть устроены двумя способами [2] (см. §10): В одном типестр.
19 из 3025.03.2018колебаний нормальная и сверхтекучая компоненты колеблются в фазе, их скорости всё времяравны. В другом типе колебаний нормальная и сверхтекучая компоненты колеблются впротивофазе так, что потока массы в такой волне нет вовсе.
Это отдаленно напоминаетразличие колебаний акустической и оптической мод в кристалле из атомов двух сортов.Оба типа колебаний имеют линейный спектр при малых k . Первый тип колебанийсоответствует обычному звуку с колебаниями давления и плотности. Второй тип колебанийсоответствует так называемому второму звуку.
В волне этого типа нет переноса массы и,соответственно, колебаний давления. Однако так как при этом происходят встречныеколебания переносящей энтропию нормальной компоненты и не переносящей энтропиюсверхтекучей компоненты, то в такой волне колеблется удельная энтропия среды исопряженная ей температура — волны второго звука оказываются волнами температуры.Скорость второго звука зависит от температуры, обращается в ноль в лямбда-точке, равнаs≈140 м /сек ниже 0.5К.примерно 20 м/сек при температурах 1.2-2 К и возрастает до√3Бозе-конденсация, основное состояние сверхтекучей жидкости иквантованные вихри.Описание свойств сверхтекучего гелия в двухжидкостной модели — феноменологическое,оно не объясняет откуда берётся сверхтекучая компонента. Микроскопическая теориясверхтекучести в реальном гелии-4 с сильным взаимодействием атомов сложна и сильновыходит за рамки курса.
Однако главное физическое явление, которое связано сформированием коллективного состояния в гелии-4 можно заметить уже в простой моделибозе-газа.NПустьбезспиновых нерелятивистских невзаимодействующих бозевских частицV при температуреT . Установится равновесное бозевскоепомещены в объём1распределение по энергиям с числами заполнения n= (E−μ)/ T, полное число частицe−1может быть выражено стандартным образом:N=∞V3ndk=∫∫ n(E) D (E)dE ,(2 π)30D(E)где— плотность состояний, равная для безспиновых классических частиц в3 /2dN dN1V 2 mVmD(E)===k=трёхмерном случае√E .d E d |k| d E/d |k| 2 π2 ℏ2 k √2 π 2 ℏ 3Nm√ E dE=.2 3 ∫ (E−μ)/TV √2 π ℏ 0 e−13/ 2Таким образом∞В левой части стоит константа, таким образом это уравнение является интегральнымуравнением на зависимость химпотенциала бозе-газа от температуры 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
