07_spectra_and_fermi_2018_mar16 (1182298), страница 5
Текст из файла (страница 5)
То есть,dtнаправления движения электрона в импульсном пространстве оказываются различными. Этопринципиально отличается от случая электрического поля, где все электроны одинаковосмещаются вдоль поля.3 Мы специально упрощаем рассмотрение. В реальных металлах (например меди) геометрия фермиповерхности более сложная. Разные сечения ферми-поверхности меди (представляющей собой соединённыеперетяжками сферы) имеют геометрию электронного или дырочного типа.4 Открытые ферми-поверхности в простейшем случае это «трубки» в k-пространстве (бесконечные впредставлении периодической зонной схемы), которые могут быть как электронными (заполнены состояниявнутри трубок), так и дырочными (заполнены состояния вне трубок). С открытыми ферми-поверхностямисвязаны также интересные явления, рассказ о которых не укладывается в рамки нашего курса.Интересующиеся могут обратиться к литературе, например [10].стр.
21 из 34v.16.03.2018Bdk/dtа)б)ddkddkdk/dtРисунок 15: Определение направления движения электрона в магнитном поле наэлектронной (а) и дырочной (б) ферми-поверхности. Магнитное поле направлено изплоскости рисунка, синяя заливка показывает занятые состояния.Формально, то что для частиц с одинаковыми значениями начального волнового вектораотличаются направления движения можно описать как различие знаков электрическихзарядов частиц. Электрон на ферми поверхности дырочного типа с этой точки зрениядвижется так, как если бы у него был положительный заряд.Найдём период вращения электрона по данному сечению ферми-поверхности.
Определимвектор ⃗k ⊥ как проекцию волнового вектора на плоскость, перпендикулярную полю. За1d k⃗время δ t этот вектор заметает площадь δ ⃗S = ⃗k ⊥ ×δ t Подстановкой уравнения2dtдинамики и применением формулы для двойного векторного произведения (пользуясь тем,что ⃗k ⊥ ⊥ ⃗B ) получаем[δ⃗S=]e ⃗ ⃗( k ⊥⋅∇ k ε) ⃗B δ t2 ℏ2 cИнтегрируя по периоду, находим период2T=2ℏ ceB∣∮∣δ⃗S⃗⃗( k ⊥⋅∇ k ε )он полностью определяется геометрией сечения ферми-поверхности 5. Конечно, мы здесь5 Эта связь может быть выражена более наглядно, что однако не требуется в рамках курса, поэтомуприводится здесь в ссылке. Рассмотрим подынтегральное выражениеплощади можно записать1δ S = k 2⊥ (φ) δ φ , где2φδS. Для приращения( k⃗⊥⋅∇⃗ k ε)отсчитываемый в плоскости сечения⃗k ⊥ на проекцию градиента энергии на это∂εнаправление, эта проекция как производная по направлению может быть записана в виде. Тогда∂ k⊥∂k⊥11 ∂ δ S .
Интегрирование тогдаподынтегральное выражениепринимает видk⊥δ ϕ=2∂ε2 ∂εазимутальный угол. В знаменателе стоит произведениестр. 22 из 34v.16.03.2018считаем, что период движения электронов гораздо меньше времени свободного пробега, тоесть процессы рассеяния не учитываются.2ℏ2 k 2⃗ ε )= ℏ ( ⃗k )2 , всякоеи (⃗k ⊥⋅∇km ⊥2m212 πmck ⊥ ) δ ϕ , откуда T =сечение ферми-поверхности будет окружностью и δ S = ( ⃗.2eBeBЭто движение электронов называют циклотронным, его частота ωc =называетсяmcциклотронной частотой. Для поля 10 Тл (т.е. 105 Гс ) циклотронная частота составляет (длямассы свободного электрона) 1.76⋅1012 1/сек (280 ГГц).ε=Для простого случая почти свободных электроновДля ферми-поверхности сложного вида из интегрирования выйдет постоянная сразмерностью массы, которую называют циклотронной массой, которая по определениюeBсвязана с циклотронной частотой как ωc =.
Циклотронная масса для данного сеченияmс c2δ⃗Sℏm=cферми-поверхности равна.Отметим, что циклотронная массаπ ∮ ⃗ ⃗( k ⋅∇ ε)∣⊥k∣совпадает с эффективной массой только для квадратичного закона дисперсии, впроизвольном случае она может отличаться от эффективной массы электрона.В качестве простого примера несферической поверхности Ферми можно рассмотретьℏ2 2 2модельный случай ферми-поверхности цилиндрической формы εF =( k +k ) . Если2m x yполе приложено под углом Θ к оси Z, то сечение ферми-поверхности, перпендикулярноеполю, это эллипс площадью π k 2F / cos Θ . При заданном законе дисперсии групповаяскорость всегда лежит в плоскости XY, поэтому удобнее рассматривать проекцию вектора⃗k ⊥ на направление групповой скорости, которая всегда равна k F . Отсюда после2πmc 1несложных преобразований T =.
Период вращения начинает зависеть отe B cos Θориентации, что открывает возможность изучения геометрии ферми-поверхности.Как будет двигаться наш электрон в реальном пространстве? Для ответа на этот вопрос вобщем случае надо проинтегрировать по времени групповую скорость⃗r (t )= r⃗0 +∫ v⃗гр dt .Для простого случая сферической поверхности Ферми, можно заметить, что групповаяскорость параллельна волновому вектору в эту же точку ферми-поверхности.
Тогда,применяя полученные ранее результаты, получаем, что продольная к полю составляющаяскорости не меняется, а для поперечной получим известное из классической механикиd⃗v⊥e⃗ ] для случая электронной ферми-поверхности и с обратнымуравнение m∗=− [ ⃗v ×Bdtc ⊥знаком для дырочной ферми поверхности. Это уравнение полностью аналогично уравнениюдля движения свободного электрона в магнитном поле, ответ нам известен: частица движетсяvm∗ cпо спирали вокруг силовых линий магнитного поля, радиус спирали r =v ⊥ = ω⊥c .
ДляeBтривиальноT=[ ]ℏ2 c ∂ Se B ∂ε.Получившаясяпроизводная—этопроизводнаяплощадиε=ε Fперпендикулярного полю сечения изоэнергетической поверхности по энергии.стр. 23 из 34v.16.03.2018электронов на ферми-поверхности этот радиус, называемый циклотронным радиусом, естьℏcr=k , для лабораторного поля 10 Тл этот радиус оказывается порядка 0.5 мкм.eB FЦиклотронный резонанс в металлах.В магнитном поле около 0.1 Тл циклотронные частоты имеют порядок нескольких гигагерц, ациклотронный радиус оказывается порядка 50 мкм. В то же время, глубина скин-слоя вхороших проводниках на этой частоте оказывается порядка микрометра или даже меньше.Это позволяет организовать следующий эксперимент.
Приложим магнитное поле вдольповерхности проводника и будем освещать поверхность электромагнитными волнамиподходящей частоты. Так как циклотронный радиус гораздо больше глубины скин-слоя, тоэлектроны взаимодействуют с переменным электромагнитным полем только вблизиповерхности и во время этого взаимодействия они ускоряются или замедляютсяэлектрическим полем волны (рисунок 16).BBРисунок 16: Схема траектории электрона в опытах по циклотронному резонансу.
СВЧизлучение падает сверху, пунктирная линия условно показывает границу скин-слоя. Сверху:стационарная циклотронная орбита. Снизу: "скачущая" циклотронная орбита при упругомрассеянии на границе, стрелкой показано направление дрейфа ведущего центра.Если период движения по циклотронной орбите окажется кратен периоду переменного СВЧполя ωc =ω СВЧ /n ( n - целое), то однажды ускоренный полем электрон вернётся в скинслой «в нужный момент», когда направление электрического поля опять ускоряющее. Еслистр.
24 из 34v.16.03.2018длина пробега электрона больше длины циклотронной орбиты, то электрон будетэффективно отбирать энергию у электромагнитной волны, которую потом отдаст пристолкновениях в глубине металла. С точки зрения экспериментатора это означает, что принекоторых значениях магнитного поля (по техническим причинам удобнее поддерживатьчастоту СВЧнеизменной) будет наблюдаться резонансное поглощение падающихэлектромагнитных волн.
Это явление называют циклотронным резонансом.m c c ωСВЧ 1, из анализаenпериодичности зависимости поглощения от обратного поля можно найти циклотроннуюмассу и из её анализа получить информацию о структуре ферми-поверхности. Пример такихданных для калия приведён на рисунке 17. Для калия ферми-поверхность близка к сфере иэто подтверждается в этом эксперименте: наблюдаемая картина почти не меняется приизменении ориентации магнитного поля. Определённая по этим данным циклотронная массасоставила 1.24 массы свободного электрона.Значения полей резонансного поглощения образуют сериюBn =Рисунок 17: Циклотронный резонанс в калии.
Частота СВЧ поля 68 ГГц, поле в плоскости(110). По вертикальной оси отложена производная от потерь как функции магнитного поля(измерения осуществлялись в схеме с модуляцией поля). Из книги [10].Отметим, что если ферми-поверхность устроена сложно, то циклотронная масса окажетсяразной для разных сечений ферми-поверхности плоскостями, перпендикулярными кмагнитному полю. Так как каждой циклотронной массе соответствует свой период вращенияпо орбите, то на эксперименте будут наиболее весомы состояния в которых много сеченийимеет близкие циклотронные массы.
Конкретный выбор этих сечений достаточно сложнаязадача, зависящая от геометрии ферми-поверхности. Такие сечения называютстр. 25 из 34v.16.03.2018экстремальными, для не слишком изощрённой геометрии ферми-поверхности онисоответствуют сечениям ферми-поверхности плоскостями, перпендикулярными к полю,минимальной и максимальной площади6. В наблюдаемой картине периодическихмаксимумов поглощения возникнут биения, описываемые несколькими гармониками.Уровни Ландау.Как уже отмечалось, так как движение по циклотронным орбитам финитно, то всоответствии с общими правилами квантовой физики оно должно квантоваться.Качественно результат квантования можно получить пользуясь правилом БораЗоммерфельда.
При движении по циклотронной орбите p⋅2 π r=2 π m ωc r 2 =n h . Откудаnhcℏ= nрадиус квантованной орбиты r n=, а энергия квантованного движения2 π m ωceBp2nℏ ωcn 2 ℏ2eBE n===n ℏ=n. Этот ответ даёт представление об эффекте по порядку22 m 2 mr n2mc2величины, но как мы увидим далее отличается от точного в два раза7.√√Точное решение этой задачи требует решения уравнения Шредингера в магнитном поле.Приведём здесь это решение (оно также есть в курсе теоретической физики и будет болееподробно обсуждаться при рассмотрении двумерного электроного газа в магнитном поле).Будем считать электроны невзаимодействующими, тогда получим простую одночастичнуюзадачу.
Воспользуемся тем, что в магнитном поле импульс частицы перенормируется какeA , где ⃗⃗p → ⃗p − ⃗A - вектор-потенциал магнитного поля ( ⃗B=rot ⃗A ), который для этойcзадачи удобно выбрать в виде ⃗A=(0, Bx , 0) (поле направлено вдоль Z).Уравнение Шредингера для свободного электрона имеет вид:( () )21ê 2x + p̂ y − B ̂x + ̂p 2z Ψ( x , y , z )=E Ψ (x , y , z ) .p2mcИщем решение в видеΨ(x , y , z)=eik y yпросто свободное движение вдоль осиei kz zz сразу отделяется и даётℏ2 k 2zZ с вкладом в энергию.
Для движения в2mψ( x) . Переменнаяплоскости подстановкой получаем:6 Вблизи от этих сечений сечения ферми-поверхности меняются слабо и, следовательно, и циклотронныемассы будут сконцентрированы вблизи значений для экстремальных сечений.7 Более строгое рассмотрение [11] с учётом перенормировки импульса в магнитном поле устраняет эторасхожднение. Для перенормированного импульса правило Бора-Зоммерфельда∮(⃗p− ec ⃗A)d ⃗l =n h.2Для круговой классической орбиты первое слагаемое будет2 π r n p n=2 π ωc mc r n , как и ранее.Слагаемое с вектор-потенциалом преобразуем, пользуясь тем, что «поток ротора равен циркуляции вектора»,т.
е.eee∮ c ⃗A d ⃗l = c ∫ ⃗B d ⃗S = c π r 2n B=π ω c mc r 2n. С учётом знаков получаемE n=n ℏ ω c .стр. 26 из 342r n=2nhиωc m cv.16.03.2018(())21ee−ℏ 2 ψ' ' + ℏ 2 k 2y −2k y ℏ B x + 2 B 2 x 2 ψ =W ψ2mcc(ℏ c kyℏ2e2 B 2−ψ' ' +x−22meB2mc)2.ψ=W ψУравнение совпадает с уравнением гармонического осциллятора с положением равновесия вℏ c kyточке x 0=, называемой положением ведущего центра. «Жёсткость» осциллятораeBe2 B2κ=равна, соответственно характерная частота, определяющая квант энергииmc2e B m 0 2μ B Bосциллятора ωс = κ =, что совпадает с классической циклотронной=m mc m ℏчастотой ( m0 — входящая в магнетон Бора масса свободного электрона).√Энергияn-огоуровняравна1W n=ℏ ωс (n+ ) ,2полнаяэнергия2 21 ℏ kz .E (n , k z )=ℏ ω c ( n+ )+22m√ℏc 8, с учётом этого обозначения x 0=l 2B k y . МагнитнаяeBдлина задаёт характерный масштаб на который электрон удаляется от ведущего центра, онаможет быть истолкована в квазиклассическом подходе как величина порядка радиусациклотронной орбиты для первого уровня Ландау.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
