Диссертация (1149211), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Пара функций (w(x, t), θ(x, t)) называется слабым решением системы (2.2.48)–(2.2.53) на промежутке [0, T ], T > 0, еслиw ∈ C 1 (0, T ; H01 (Ω)), θ ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ C(0, T ; L2 (Ω)), а также выполняются следующие интегральные тождестваZ TZ 1Z 11[−ε(x)wt ψt +wx ψx + σ(θ)wt ]dxdt =ε(x)w1 (x)ψ(x, 0)dx,µ(x)000Z 1Z TZ 12[−b(θ)ηt + θx ηx − σ(θ)wt η]dxdt =b(θ0 )η(x, 0),000для любых тестовых функций ψ ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ C(0, T ; L2 (Ω)),∀η ∈ H 1 (0, T ; H 1 (Ω)), таких что ψ(x, T ) = η(x, T ) = 0, ∀x ∈ Ω.Тогда имеет место следующая теорема существования слабого решения ([43]).Теорема 2.2. Пусть выполнено условие• ε(x), µ(x) ∈ L∞ (Ω), ∃σ0 > 0 : 0 ≤ σ(θ) ≤ σ0 (1+θ), ∀(x, t, θ) ∈ QT ×[0, ∞)Тогда задача (2.2.48-2.2.53) имеет глобальное (на R+ ) слабое решение.В дальнейшем для простоты будем полагать ε(x) ≡ 1 и µ(x) ≡ 1wtt − wxx + σ(θ)wt = 0,(x, t) ∈ QT ,(2.2.54)b(θ)t − θxx = σ(θ)wt2(x, t) ∈ QT ,(2.2.55)w(0, t) = w(1, t) = 0,t ∈ [0, T ],(2.2.56)θ(0, t) = θ(1, t) = 0,t ∈ [0, T ],(2.2.57)w(x, 0) = 0, wt (x, 0) = 0,x ∈ (0, 1),(2.2.58)θ(x, 0) = θ0 (x),x ∈ (0, 1).(2.2.59)56Покажем, что решения задачи (2.2.54)–(2.2.59) ограничены.

Для этоговведем дополнительное предположение:(A.2.9) Существует такое a1 > 0, что:|b(z)| ≤ a1 |z|, z ∈ R.(2.2.60)(A.2.9) Существует такое a2 > 0, что:|σ(z)| ≤ a2 |z|, z ∈ R.(2.2.61)Рассмотрим первую подсистему нашей системыwtt − wxx + σ(θ)wt = 0,(x, t) ∈ QT ,(2.2.62)t ∈ [0, T ],(2.2.63)w(0, t) = w(1, t) = 0,Далее введем следующие обозначения:   y1   w(x, t) 0y(x, t) = = , y0 (x) =  y2wt (x, t)0ξ(x, t) = 0σ̄(θ(x))wt (x, t).В последнем выражении мы использовали новую функцию σ̄, котораяпоявляется из разложенияσ(θ) = σ0 + σ̄(θ),где σ0 > 0 константа и σ̄(θ) > 0, θ > 0.Пусть Λ будет самосопряженным положительно определенным оператором, порожденным на L2 (0, 1) дифференциальным выражением Λv = −vxxдля однородных граничных условий Дирихле.57Рассмотрим пространства Y0 = L2 (0, 1) × H01 (0, 1), Y1 = H01 (0, 1) иΞ = L2 (0, 1) × L2 (0, 1).

Предположим, что норма в Y0 задается следующимобразом k(v1 , v2 )k0 = max kvi kL2 (Ω) и (·, ·)0 - ассоциированное скалярноеi=1,2произведение. Аналогичные норма и скалярное произведение рассматриваются в Ξ. Используя оператор Λ, мы можем определить гильбертовутройку Y1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1Y1 = D(Λ) = H01 (0, 1) × H02 (0, 1),используя норму k·k1 , порожденную скалярным произведением (η1 , η2 )1 == (Λ−1 η1 , Λ−1 η2 )0 для произвольного η1 , η2 ∈ D(Λ).Скобка двойственности (·, ·)−1,1 на Y−1 ×Y1 вводится как непрерывноепродолжение функционала (·, η)0 на Y−1 . Это процедура была описана вразделе 3.1.Теперь определим линейные операторы A : Y1 → Y−1 и B : Ξ → Y−1черезI  00 0 A= и B=.−Λ −σ0 I0 −IПокажем, что пара (A, B) L2 -управляема.

Для этого покажем, чтоспектр A лежит в левой части комплексной плоскости.Рассмотрим задачу нахождения собственных чиселAv = αv,(2.2.64)где v = (v1 , v2 )T - собственный вектор, а α - соответствующее собственноечисло.58Уравнение (2.2.64) может быть записано в форме v2 = αv1 ,(2.2.65)−Λv1 − σ0 v2 = αv2 .Рассмотрим представлениеvi =Xcki ek ,i = 1, 2,kгде αk - собственные числа оператора Λ, ek - соответствующие собственные функции и cki - некоторые коэффициенты. Теперь уравнение (2.2.65)эквивалентно новой системеXck2 ek=αk−XXck1 ek ,(2.2.66)kαk ck1 ek− σ0 αXkck2 ek=αkXck2 ek .(2.2.67)kИз (2.2.66), (2.2.67) следует, что для любого k должно выполнятьсяα2 + σ0 α + αk = 0.(2.2.68)Очевидно, что любое α удовлетворяющее (2.2.68) имеет отрицательную вещественную часть, а следовательно, пара (A, B) L2 -управляема.Рассмотрим квадратичную формуZ1ZF(y, ξ) = (y1 , ξ)Ξ =yξdx =Ωσ̄(θ)wt2 dx.0Теперь проверим частотное условие в соответствии с частотной теоремой Лихтарникова-Якубовича для вырожденного случая ([17]).

Предположим, что {αk } - собственные числа Λ и {ek } - соответствующие собственныефункции, которые формируют базис пространства L2 (0, 1). Используя это59свойство, мы можем написатьw(x, t) =Xkw (t)ek , ξ(x, t) =Xξ k (t)ek ,kkгде wk (t) и ξ k (t) - соответствующие коэффициенты Фурье.Предположим, что F c эрмитово расширение F на Y1c ×Ξc . РассмотримF c (y, ξ) для iωy = Ac y + B c ξ, ω ∈ R, ξ ∈ Ξc , т.

е. формуF c (y, ξ) = (Π0 (iω)ξ, ξ).(2.2.69)Предположим, что w̃k и ξ˜k - преобразование Фурье wk и ξ k , соответственно.Из (2.2.69) следует, что˜ ξ)˜ =(Π0 (iω)ξ,X(Πk0 (iω)ξ˜k , ξ˜k ).(2.2.70)kДля того чтобы вычислить Π0 (iω), ω ∈ R применим преобразованиеФурье к (2.2.62). В результате мы получим−ω 2 w̃k (iω) + iωσ0 w̃k (iω) − αk w̃k (iω) + ξ˜k (iω) = 0,k = 1, 2, . .

. . (2.2.71)Из (2.2.71) мы имеемw̃k (iω) = χ(iω, αk )ξ˜k (iω),гдеχ(iω, αk ) = (ω 2 − iωσ0 + αk )−1 .Из этой формулы и из (2.2.70) следует, что(Πk0 (iω)ξ˜k , ξ˜k ) = Re(w̃tk ξ˜k ) = Re(iωχ)|ξ˜k (iω)|2 .Следовательно, мы имеем представлениеΠk0 (iω) = Re(iωχ),60и нам осталось показать, чтоRe(iωχ) ≤ 0,ω ∈ R.(2.2.72)Неравенство (2.2.72) означает, чтоiω(αk ω + ω 3 )i − ω 2 σ0Re= Re≤ 0,ω 2 − iωσ0 + αk(αk + ω 2 )2 + ω 2 σ02т. е. −ω 2 σ0 ≤ 0,∀ω ∈ R.

Последнее неравенство выполняется, так-какσ0 > 0.Далее проверим условие (A.2.7). В данном случае оно принимает видZ 1Z 1Z 1b(θ)θxx dx ≤ −κ3 (θ2 dx +θx2 dx).000В силу (A.2.9) имеемZ 1Z 1Z 1b(θ)θxx dx ≤ a1θθxx dx = −a1θx2 dx000откуда очевидно, что условие (A.2.7) выполнено.Аналогично, условие (A.2.8) принимает для нашей системы видZ 1Z 1Z 1b(θ)c(t)σ(θ)dx ≤ κ4 (θ2 dx +θx2 dx).000В силу (A.2.9) и (A.2.10) имеемZ 1Z 1b(θ)c(t)σ(θ)dx ≤ a1 a2 c(t)θ2 dx,00откуда следует выполнение условия (A.2.8).Таким образом, мы показали, что все условия теоремы 2.1 выполнены,и, следовательно, решения нашей системы ограничены.613. Построение проекторов для инвариантныхмножеств эволюционных систем и их применение воднофазовой задаче микроволнового нагреваВ этой главе рассматривается класс эволюционных вариационныхуравнений в оснащенном гильбертовом пространстве (то есть гильбертовой тройке пространств).

Вариационные уравнения рассматриваются какобщие системы управления с обратной связью, состоящие из линейной инелинейной частей. Распространенным методом качественного исследования таких систем является частотная теорема для уравнений эволюционного типа ([17, 18]). Используя некоторые свойства передаточной функции линейной части данной системы, частотная теорема дает достаточные условия существования функционалов Ляпунова для диссипативности,глобальной устойчивости или неустойчивости нелинейных систем ([16, 18]).В этой главе мы расширим частотный подход на случай исследования множества аменабельных решений и глобальных аттракторов, генерируемыхвариационными уравнениями.

Также рассматривается применение данногометода для изучения однофазовой задачи микроволнового нагрева.3.1.Системы управления с обратной связьюПредположим, что Y0 вещественное гильбертово пространство с (·, ·)0и k · k0 в качестве скалярного произведения и нормы, соответственно. Так-62же предположим, что на Y0 существует неограниченный самосопряженныйоператор Λ с всюду плотной областью определения D(Λ) такой, что(Λy, y)0 ≥ kyk20 ,∀y ∈ D(Λ).Рассмотрим в Y0 новое скалярное произведение(y, η)−1 := (Λ−1 y, Λ−1 η)0 ,∀y, η ∈ Y0и пусть Y−1 будет пополнением Y0 по отношению к норме k · k−1 , полученной из этого скалярного произведения, то есть пространство (Y−1 , k · k−1 ) полное банахово пространство.

Очевидно, что Y−1 является вещественнымгильбертовым пространством. Обозначим скалярное произведение и нормуY−1 через (·, ·)−1 и k · k−1 , соответственно. Предположим, что Y1 ⊂ Y0 - этовсюду плотное гильбертово пространство, являющееся непрерывным вложением в Y0 . Следовательно, мы имеем плотное и непрерывное вложениеY1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 , то есть гильбертову тройку. Из вышесказанного следует,что для y ∈ Y1 и η ∈ Y0 мы имеем|(η, y)0 | = |(Λ−1 η, Λy)0 | ≤ kΛ−1 ηk0 kΛyk0 = kηk−1 kyk1 .Расширяя по непрерывности функционал (·, y)0 на Y−1 , мы получаем билинейную форму (·, ·)−1,1 (скобку двойственности) на Y−1 ×Y1 , совпадающую с(·, ·)0 на Y0 ×Y1 и удовлетворяющую |(η, y)−1,1 | ≤ kηk−1 kyk1 , ∀η ∈ Y−1 , y ∈ Y1 .Замечание 3.1.

Гильбертова тройка пространств может быть получена с использованием генератора полугруппы. А именно, пусть Y0 - гильбертово пространство, описанное выше, и пусть A : D(A) → Y0 - генератор C0 -полугруппы на Y0 . Тогда определим множество Y1 := D(A). ЗдесьD(A) - область определения A, которая является плотной и непрерывно63вложенной в Y0 , так как A - генератор. Обозначим через ρ(A) резольвентное множество оператора A.

Спектр A, который является дополнением ρ(A), обозначим через σ(A). Если мы определим произвольное нофиксированное β ∈ ρ(A) ∩ R для любого y, η ∈ Y1 , величину(y, η)1 := ((βI − A)y, (βI − A)y)0 ,тогда множество Y1 , снабженное скалярным произведением (·, ·)1 и соответствующей нормой k · k1 , будет гильбертовым пространством (различные числа β дадут разные, но эквивалентные нормы). Обозначим через Y−1 гильбертово пространство, которое является пополнением Y0 поотношению к норме kyk−1 := k(βI − A)−1 yk0 и которое имеет соответствующее скалярное произведение(y, η)−1 := ((βI − A)−1 y, (βI − A)−1 η)0 , ∀y, η ∈ Y−1 .Следовательно, мы имеем включения Y0 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 , которые являютсяплотными и непрерывными вложениямиw.Предположим, что Ξ и W два вещественных гильбертовых пространства со скалярными произведениями (·, ·)Ξ , (·, ·)W и нормами k · kΞ , k · kW ,соответственно, иA : Y1 → Y−1 ,B : Ξ → Y−1 ,C : Y−1 → Wлинейные непрерывные операторы.

Характеристики

Список файлов диссертации