Диссертация (1149211), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Рассмотрим систему (1.2.16) в форме (1.2.17). По теореме Лихтарникова-Якубовича ([17]) предположения (A.1.2), (A.1.4), (A.1.5),(A.1.7) гарантируют существование линейного непрерывного оператораP̂ ∈ L(Z−1 , Z0 ) ∩ L(Z0 , Z1 ), который является самосопряжённым в Z0 , такого, что следующая квадратичная форма в Z1 × R:F(z, ξ) := 2 ((Â + λI)z + b̂ ξ, P̂ z)Z−1 ,Z1 + (κ1 (ĉ, z)Z0 − ξ) (ĉ, z)Z0 ,удовлетворяет неравенствуF(z, ξ) ≤ 0 ,∀ z ∈ Z1 ,∀ξ∈R.(1.2.40)Подставив ξ = 0 в (1.2.40), получаем следующее неравенство2 ((Â + λI)z, P̂ z)Z−1 ,Z1 ≤ −κ1 (ĉ, z)2Z0 ,∀ z ∈ Z1 .(1.2.41)Так как выполнено предположение (A.1.3), в силу обобщенной леммы Ляпунова ([30]) существует разложение Z0 = Z0+ ⊕ Z0− при dim Z0− = 1 такое,что выполняется (A.1.8) для Yj = Zj , j = 1, 0, −1, A = Â + λI и c = ĉ.
Из(1.2.41) следует, что для любого z0 ∈ Z0 решение z(·) системыż = (Â + λI)z ,z(0) = z0(1.2.42)27удовлетворяет неравенствуZV (y(t, y0 )) − V (y(s, y0 )) ≤ −t(c, y(τ, y0 ))20 dτ .(1.2.43)sпри V (z) = (z, P̂ z)Z0 и c = ĉ. Тогда по лемме 3.4 из ([37]) выполненоP̂|Z0+ ≥ 0иP̂|Z0− ≤ 0 .(1.2.44)Таким образом, мы показали, что множество Cˆ := {z ∈ Z0 | (z, P̂ z)Z0 ≤ 0}является одномерным квадратичным конусом. Также из (1.2.40) следует,что2 (b̂, P̂ z)Z−1 ,Z1 = (ĉ, z)Z0 ,∀ z ∈ Z1 .(1.2.45)Заметим, что относительно скобки двойственности (·, ·)Z−1 ,Z1 мы имеем(b̂, ĉ)Z−1 ,Z1 = d0 ≤ 0 .(1.2.46)Вариант строгого неравенства в (1.2.46) относится к случаю строгой разделимости конусов, который рассмотрен в работе ([37]).
Рассморим случай(b̂, ĉ)Z−1 ,Z1 = 0.При выполнении (1.2.44) - (1.2.46) все гипотезы леммы 1.1 выполнены, поэтому справедливы включения (1.2.32) - (1.2.35), (1.2.37), где векторr = ĉ и обобщённый вектор h = b̂. Выберем точки z1 = (0, ζ1 ) ∈ V1 × R иz2 := (0, ζ2 ) ∈ V1 × R. Очевидно, что(ĉ, z1 )Z0 = ζ1 , Âz1 = 0 , (ĉ, z2 )Z0 = ζ2 , Âz2 = 0 .(1.2.47)Определим вдоль произвольного решения z(·) уравнения (1.2.17) функцииV̂i (t) := (z(t) − zi , P̂ (z(t) − zi ))Z0 ,Ûi (t) := (ĉ, z(t) − zi )Z0 , i = 1, 2 ,28и введём множествоG := {z ∈ Z1 | (z −zi , P̂ (z −zi ))Z0 ≤ 0 , i = 1, 2 , (ĉ, z)Z0 ∈ [ζ2 , ζ1 ]} . (1.2.48)Так как выполнены (1.2.44) и (1.2.37), то множество G выпукло и ограничено.
Покажем, что G положительно инвариантно для решений уравнения (1.2.17). Для этого мы применим лемму 1.2 для временного интервала[t0 , ∞), функций k(t) ≡ 2λ, vi (t) = V̂i (t), ui (t) = Ûi (t) и чисел κ1 = w1 ,κ2 = w2 . Из (1.2.40) следует, что для i = 1, 2, t0 ≤ s ≤ t, вдоль решенияz(t) и w(t) = (ĉ, z(t))Z0Z tV̂i (τ )dτV̂i (τ ) |ts + 2 λsZ t≤ − [κ1 (w(τ ) − ζi ) − (φ(τ, w(τ )) + βi )] (w(τ ) − ζi )dτZ ts+(g(τ ) − βi )(w(τ ) − ζi )dτ .(1.2.49)sВоспользовавшись (A.1.7), мы заключаем, что для i = 1, 2 и всех t ≥ s ≥ t0таких, чтоw(τ ) ∈ [ζ2 , ζ1 ], τ ∈ [s, t],Z t[κ1 (w(τ ) − ζi ) − (φ(τ, w(τ )) + βi )](w(τ ) − ζi ) dτ ≥ 0Zs tи(g(τ ) − βi ) (w(τ ) − ζi ) dτ ≤ 0 .(1.2.50)sТаким образом, из (1.2.49) и (1.2.50) следует, что для i = 1, 2 и t ≥ s ≥ t0мы имеемV̂i (τ ) |tstZV̂i (τ )dτ ≤ 0 ,+ 2λsто есть, функции t 7→ V̂i (t) + 2λRt0V̂i (τ ) dτ не возрастают.
Получили, чтоусловие 3) леммы 4 из [37] выполнено. В силу z(t0 ) ∈ G , условие 4) леммытакже выполнено.29Далее, через Ti , i = 1, 2, 3, 4 мы будем обозначать множества, которыеопределены в лемме 1.2. Из (1.2.35) следует, что если t ∈ T1 , тогда z(t) = z1 .Таким образом, из (1.2.16) и (1.2.29) следует, чтоẇ(t) = d0 [φ(t, w(t)) + g(t)] < 0 .(1.2.51)Аналогично можно показать, что w(t) не возрастает в окрестности T2 .Из (1.2.35) и равенства (b̂, ĉ)Z−1 ,Z1 = 0 следует, что для t ∈ T3 мыимеем z(t) = z1 , и в силу (1.2.48) и (A.1.7) имеем˙Û1 (t) =(ż(t), ĉ)Z−1 ,Z1 = (Âz(t) + b̂ [φ(t, w(t)) + g(t)], ĉ)Z−1 ,Z1=(b̂, ĉ)Z−1 ,Z1 [φ(t, w1 ) + g(t)] < 0 .Аналогично можно показать, что Û2 (t) не возрастает вблизи T4 .Таким образом, мы проверили все предположения леммы 1.2. Следовательно, G положительно инвариантно.
Остаётся показать включение(1.2.39). Пусть z = (0, w) ∈ V1 × R, где w ∈ [w2 , w1 ]. Так как (ĉ, z)Z0 = w,то вложение (1.2.39) верно, если(z − zi , P̂ (z − zi ))Z0 ≤ 0 ,i = 1, 2 .(1.2.52)Из (1.2.35) и (1.2.47) следует, что для выполнения (1.2.52) достаточно, чтобы из Âz = 0 вытекало (z, P̂ z)Z0 ≤ 0. Но последнее неравенство следует из(1.2.41), так как2 λ(z, P̂ z)Z0 ≤ −κ1 (ĉ, z)2Z0 ≤ 0 .301.3.Однофазовая задача нагрева стержняРассмотрим сначала однофазовую задачу нагрева стержня, когда теп-ловой поток действует через нижнюю границу как показано на рисунке 1.1.Рис. 1.1. Нагрев стержня.Рассматривается стержень длины 1; x обозначает расстояние от верхнего края до точки на стержне. Распространение тепла внутри стержняописывается уравнением теплопроводностиθt = δ1 θxx − δ2 θ,x ∈ [0, 1], t > 0,(1.3.53)где δ1 - положительный коэффициент теплопроводности, δ2 - положительный коэффициент оттока тепла, θ - температура.
При этом в уравнении(1.3.53) −δ2 θ можно интерпретировать как охлаждение вдоль стержня.31Граничные условия заданы в видеθx|x=0 = 0, θx|x=1 + δ3 θ|x=1 = δ4 [φ(t, w) + g(t)],Z 1ẇ =θ(x, t)k(x)dx + δ5 [φ(t, w) + g(t)],t > 0,(1.3.54)x ∈ (0, 1), t > 0,(1.3.55)t > 0,(1.3.56)0φ(t, w) = w − δ6 w3 ,где δ3 , δ4 ∈ R, δ5 < 0, δ6 ≥ 0 - параметры системы, w - мощность тепловогоисточника, k - некоторая непрерывная скалярная неотрицательная функция, g - непрерывная скалярная функция, φ - гладкая функция.Условие (1.3.54) можно интерпретировать как индукционный нагрев,действующий на стержень, который можно рассматривать как управляемый параметр, а φ(t, w) = w − δ6 w3 - нелинейность типа Дуффинга.В начальный момент времени распределение температуры в стержнеизвестно.
Его можно задать равенствомθ(x, 0) = θ0 (x),x ∈ [0, 1].(1.3.57)Замечание 1.4. Для уравнения теплопроводности (1.3.53) более общиеграничные условия могут иметь видα1 θx (0, t) = α2 [f1 (t) − θ(0, t)],t > 0,(1.3.58)α3 θx (1, t) = α4 [f2 (t) − θ(1, t)],t > 0,(1.3.59)где α1 , α3 - положительные коэффициенты теплопроводности, α2 , α4 коэффициенты теплообмена между греющей средой и металлом, f1 (t) иf2 (t) - температуры греющей среды соответственно с одной и с другойстороны от пластины.32Граничные условия (1.3.58) и (1.3.59) могут также носить болеесложный характер, точнее учитывающий природу внешнего теплообмена тела с греющей средой. Например, если во внешнем теплообмене помимо конвективного существенную роль играет еще и лучистый теплообмен (что в основном имеет место при высоких температурах), то вправые части уравнений (1.3.58), (1.3.59) необходимо добавить новые члены, учитывающие лучистый теплообмен по закону Стефана-Больцмана:α1 θx (0, t) = α2 [f1 (t) − θ(0, t)] + c1 {[f1 (t)]4 − [θ(0, t)]4 },t > 0,(1.3.60)α3 θx (1, t) = α4 [f2 (t) − θ(1, t)] + c2 {[f2 (t)]4 − [θ(1, t)]4 },t > 0,(1.3.61)где c1 и c2 также некоторые положительные параметры.Таким образом мы рассматриваем следующую задачу:θt = δ1 θxx − δ2 θ,x ∈ (0, 1), t > 0,(1.3.62)t > 0,(1.3.63)x ∈ (0, 1),(1.3.64)x ∈ (0, 1), t > 0,(1.3.65)t > 0,(1.3.66)θx|x=0 = 0, θx|x=1 + δ3 θ|x=1 = δ4 [φ(t, w) + g(t)],θ|t=0 = 0,Z 1ẇ =θ(x, t)k(x)dx + δ5 [φ(t, w) + g(t)],0φ(t, w) = w − δ6 w3 ,где параметры системы были определены выше.Запишем (1.3.62)-(1.3.64) в виде обыкновенного дифференциальногоуравнения в гильбертовом пространствеν̇ = A0 ν + B0 [φ(t, w) + g(t)],(1.3.67)ẇ = C0 ν + d0 [φ(t, w) + g(t)].(1.3.68)33Введем пространстваV1 := W 1,2 (0, 1),V0 := L2 (0, 1),V−1 = V1∗(1.3.69)Скалярное произведение в пространстве V1 определим следующим образом:1Z(ν, ϑ)1 :=[νϑ + νx ϑx ]dx,ν, ϑ ∈ V1(1.3.70)0Оператор A0 : V1 → V−1 действует какZ 100(A0 ν, ϑ) = −[δ1 ν (x)ϑ (x) + δ2 ν(x)ϑ(x)]dx.(1.3.71)0Оператор B0 : R → V−1 представлен следующим образом:(B0 ξ, ν) = δ1 ξν(1),а оператор C0 : V0 → R выглядит какZ 1C0 ν :=k(x)ν(x)dx,ξ ∈ R, ν ∈ V1 ,ν ∈ V1 .(1.3.72)(1.3.73)0Проверим условия теоремы 1.2 для нашей системы.Для начала определим, в каком смысле понимается вариационное решение для рассматриваемой задачи.Пара функций (θ(x, t), w(t)) называется слабым решением (1.3.62)(1.3.64) на (0, T ), если θ(·; t) ∈ W 1,2 (0; 1), w, ẇ ∈ L2 (0, T ),Z T Z 1{ [θηt − (δ1 θx ηx + δ2 θη)]dx + δ1 δ3 [φ(t, w) + g(t)]η(1, t)}dt = 0,00(1.3.74)ZT1Z{w(t)ζ(t) + (0θ(x, t)k(x)dx + δ4 [φ(t, w) + g(t)])ζ(t)}dt = 0, (1.3.75)0для любых тестовых функций η(x, t), η(x, 0) = η(x, 1) = 0 и ζ(t),ζ(0) = ζ(T ) = 0.34Далее для простоты будем считать, что k(x) ≡ 1, δ1 = 1, δ4 = 1, δ5 = −1.Также обозначим ξ(t) := φ(t, w(t)) + g(t) - выход системы.
Построим передаточную функцию. Для этого применим к уравнению (1.3.62) преобразование Лапласа по временной переменной. Тогда мы получим следующеелинейное однородное уравнение второго порядка00pθ̃ = θ̃ − δ2 θ̃,(1.3.76)00˜θ̃|x=0 = 0, θ̃|x=1 + δ3 θ̃|x=1 = ξ,(1.3.77)где θ̃(x, p) = L(θ(x, t)) :=R∞0e−pt θ(x, t)dt - преобразование Лапласа функ-˜ции θ(x, t), а ξ(p),p ∈ C - преобразование Лапласа функции ξ(t). Здесь мыиспользовали свойство преобразования Лапласа L(θt (x, t)) = pθ̃(x, p)−θ(x, 0).Общее решение уравнения (1.3.76)–(1.3.77) выглядит следующим образом√θ̃(x, p) = C1 ep+δ2 x+ C2 e −√p+δ2 x.(1.3.78)Подставляя общее решение в первое уравнение из (1.3.77), получаем:p0θ̃|x=0 = (C1 − C2 ) p + δ2 = 0.(1.3.79)Следовательно, C1 = C2 = C. Далее, подставляя общее решение во второеуравнение из (1.3.77), получаем:0θ̃|x=1 + δ3 θ̃|x=1 =√√√√pp˜= C p + δ2 e p+δ2 − C p + δ2 e− p+δ2 + δ3 (Ce p+δ2 + Ce− p+δ2 ) = ξ.(1.3.80)ОтсюдаC=ξ˜√√,2( p + δ2 sinh( p + δ2 ) + δ3 cosh( p + δ2 ))√(1.3.81)35а решение уравнения (1.3.76)–(1.3.77)√cosh( p + δ2 )x˜√√θ̃(x, p) = √ξ.p + δ2 sinh( p + δ2 ) + δ3 cosh( p + δ2 )(1.3.82)Тперь, применив преобразование Лапласа к уравнению (1.3.66) и подставивв получившееся выражение θ̃(x, p), получаемZ 1pξ˜˜√√pw̃ = √cosh( p + δ2 )xdx + δ4 ξ.p + δ2 sinh( p + δ2 ) + δ3 cosh( p + δ2 ) 0(1.3.83)Отсюда√1sinh( p + δ2 )1 ˜√√w̃ = ( √+ δ4 )ξ,p p + δ2 sinh( p + δ2 ) + δ3 cosh( p + δ2 ) pи, следовательно, передаточная функция имеет вид√sinh( p + δ2 )√√χ(p) = √.p + δ2 sinh( p + δ2 ) + δ3 cosh( p + δ2 )(1.3.84)(1.3.85)Заметим, что при δ3 = 0 вид передаточной функции преобразуется кχ(p) =1p+δ2 .Рассмотрим этот случай и проверим предположения теоремы1.2 (в случае δ3 6= 0 условия теоремы могут быть проверенны численно).Предположим, что2|g(t)| < √ ,3 3δ50и κ2 = φ (r1 ),t ∈ R,κ3 = 1.(1.3.86)(1.3.87)Тогда выполняется условие (A.1.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
