Диссертация (1149211), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

е. существуют константы c3 > 0 и ε > 0 такие,чтоky(t)k0 ≤ c3 e−εt ky0 k0 , t > 0;(3.5.38)82b) F c (y, ξ) + G c (y, ξ) − µkM c k2Z c ≤ 0, ∀(y, ξ) ∈ Y1c × Ξc : ∃ω ∈ R, гдеiωy = (Ac + λI c )y + B c ξ;c) ФункционалZ∞J (y(·), ξ(·)) := [F c (y(τ ), ξ(τ )) + G c (y(τ ), ξ(τ )) − µkM c y(τ )k2Z c ]dτ0ограничен сверху на множествеMy0 := {y(·), ξ(·)|ẏ =(Ac + λI c )y + B c ξ,y(0) = y0 , y(·) ∈ W c (0, ∞), ξ(·) ∈ L2 (0, ∞; Ξc )}для любого y0 ∈ Y0c .Теорема 3.4.

Предположим, что существуют числа λ > 0 и µ > 0такие, что предположения (A.3.2)-(A.3.4), (A.3.6) выполняются длявариационного уравнения (3.1.1) с нелинейностью φ ∈ N (F, G). Тогда наблюдение заданное (3.5.37) является определяющим для диссипативности вариационного уравнения (3.1.1).Доказательство. Из предположений (A.3.2)-(A.3.4), (A.3.6) следует ([17]),что существует опрератор P = P ∗ ∈ L(Y−1 , Y0 ) ∩ L(Y0 , Y1 ) такой, что((A + λI)y + Bξ, P y)−1,1 + F(y, ξ) + G(y, ξ)≤µkM yk2Z ,(3.5.39)∀y ∈ Y1 , ∀ξ ∈ Ξ.Из (3.5.39) и предположения (A.3.6) следует ([30]), что(y, P y)0 ≥ 0, ∀y ∈ Y0 . Для произвольного решения y(·) задачи (3.1.1) иξ(t) = φ(Cy(t)) мы получаем из (3.5.39) неравенство(ẏ(t), P y(t))−1,1 + λ(y(t), P y(t))0 + F(y(t), ξ(t))+ G(y(t), ξ(t)) −µkM y(t)k2Z≤ 0, для п.

в. t > 0.(3.5.40)83Интегрирование (3.5.40) по временному интервалу 0 < s < t дает11(y(t), P y(t))0 − (y(s), P y(s))022ZtZt+ λ (y(τ ), P y(τ ))0 dτ + F(y(τ ), ξ(τ ))dτssZtZtG(y(τ ), ξ(τ ))dτ ≤ µ+s(3.5.41)kM y(τ )k2Z dτ.sИз неравенства (3.5.34) и (3.5.35) следует, чтоZtF(y(τ ), ξ(τ ))dτ ≥ 0(3.5.42)sиZt1G(y(τ ), ξ(τ ))dτ ≥ [Φ(y(t)) − Φ(y(s))]2s(3.5.43)Zt+λΦ(y(τ ))dτ, 0 < s < t.sПринимая во внимание (3.5.41) – (3.5.43), мы получаем что1111(y(t), P y(t))0 + Φ(y(t)) − (y(s), P y(s))0 − Φ(y(s))2222tZ11+ 2λ [ (y(τ ), P y(τ ))0 − Φ(y(τ ))]dτ22sZt≤µkM y(τ )k2Z dτ.sВведем функции11m(t) := (y(t), P y(t))0 + Φ(y(t))22иg(t) := −µkM y(t)k2Z .(3.5.44)84Тогда мы иммем из (3.5.44) неравенствоZtZtm(τ )dτ ≤m(t) − m(s) + 2λsg(τ )dτ.sПоследнее неравенство влечет за собой утверждение теоремы.3.6.Система уравнений Максвелла и теплопроводности в одномерном случаеРассмотрим парную систему уравнений Максвелла и уравнения теп-лопроводности в одномерном пространстве ([43]) которая была введена впредыдущей главе.

В отличие от системы (2.2.54)–(2.2.59) в этой главе мыбудем рассматривать систему без фазового перехода (b(θ) := θ).wtt = wxx − σ(θ)wt ,(x, t) ∈ QT ,(3.6.45)θt = θxx + σ(θ)ωt2 ,(x, t) ∈ QT ,(3.6.46)w(0, t) = 0, w(1, t) = 0,t ∈ [0, T ],(3.6.47)θ(0, t) = θ(1, t) = 0,t ∈ [0, T ],(3.6.48)w(x, 0) = w0 (x), wt (x, 0) = w1 (x),x ∈ Ω,(3.6.49)θ(x, 0) = θ0 (x),x ∈ Ω,(3.6.50)где T > 0, Ω = (0, 1) и QT = Ω × (0, T ].Для того чтобы записать эту систему в форме (3.1.1), введем следующие обозначения: y1   wt (x, t)  y(x, t) = y 2  =  w(x, t) θ(x, t)y3 w1 (x)  , y0 (x) =  w (x)  0θ0 (x)85 ξ1 (x, t)   σ̄(θ)wt (x, t) ξ(x, t) = =.2ξ2 (x, t)σ(θ)wt (x, t)В последнем выражении мы использовали новую функцию σ̄, котораяпоявляется из разложенияσ(θ) = σ0 + σ̄(θ),где σ0 > 0 константа и σ̄(θ) > 0, θ > 0.Пусть Λ будет самосопряженным положительно определенным оператором, порожденным на L2 (0, 1) дифференциальным выражением Λv = −vxxдля однородных граничных условий Дирихле.Рассмотрим пространства Y0 = L2 (0, 1)×H01 (0, 1)×L2 (0, 1), Y1 = H01 (0, 1)и Ξ = L2 (0, 1)×L2 (0, 1).

Предположим, что норма в Y0 задается следующимобразом k(v1 , v2 , v3 )k0 = max kvi kL2 (Ω) и (·, ·)0 - ассоциированное скалярноеi=1,2,3произведение. Аналогичные норма и скалярное произведение рассматриваются в Ξ. Используя оператор Λ, мы можем определить гильбертову тройкуY1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1Y1 = D(Λ) = H01 (0, 1) × H02 (0, 1) × H01 (0, 1),используя норму k·k1 , порожденную скалярным произведением (η1 , η2 )1 == (Λ−1 η1 , Λ−1 η2 )0 для произвольного η1 , η2 ∈ D(Λ).Скобка двойственности (·, ·)−1,1 на Y−1 ×Y1 вводится как непрерывноепродожение функционала (·, η)0 на Y−1 . Эта процедура была описана вразделе. 3.1.Теперь определим линейные операторы A : Y1 → Y−1 и B : Ξ → Y−186через −σ0 I −Λ 0A=00 I00 −Λ −I 0  и B =  0 0 .0 IИсходная начально-кравевая задача (3.6.45) – (3.6.50) может быть записана какẏ = Ay + Bξ,y(0) = y0 .(3.6.51)В дальнейшем в этом разделе мы проверим частотные условия необходимые для применения теоремы 3.4 к начально-краевой задаче (3.6.51).Покажем, что пара (A, B) L2 -управляема.

Для этого покажем, чтоспектр A лежит в левой части комплексной плоскости.Рассмотрим задачу нахождения собственных чиселAv = αv,(3.6.52)где v = (v1 , v2 , v3 )T - собственный вектор, а α - соответствующее собственное число.Уравнение (3.6.52) может быть записано в форме−σ0 v1 − Λv2 = αv1 ,v1 = αv2 ,−Λv3 = αv3 .(3.6.53)Предположим, что αk - два собственных числа оператора Λ и ek- соответствующие собственные функции. Хорошо известно, что система{ek }k формирует базис пространства L2 (Ω).

Следовательно, любой элементvi , i = 1, 2, 3, может быть записан какvi =Xkcki ek ,i = 1, 2, 3,87где cki некоторые коэффициенты. Теперь уравнение (3.6.53) эквивалентноновой системе−σ0ck1 ek −Xck1 ek = αXX−ck1 ek ,(3.6.54)ck2 ek ,(3.6.55)kkXXkkkXαk ck2 ek = ααk ck3 ekk=αXck3 ek .(3.6.56)kПокажем, что любое α, удовлетворяющее (3.6.54) – (3.6.56), имеетотрицательную вещественную часть. Из (3.6.54), (3.6.55) следует, что длялюбого k либо ck1 = ck2 = 0 (в этом случае ck3 6= 0 для некоторого k), либоα2 + σ0 α + αk = 0.(3.6.57)Очевидно, что любое α удовлетворяющее (3.6.57) имеет отрицательную вещественную часть.Из (3.6.56) следует, что для любого k либо ck3 = 0 (в этом случае мыимеем ck1 6= 0 или ck2 6= 0), либо α = −αk .Следовательно, мы показали, что спектр оператора A лежит в левойчасти мнимой оси.

Отсюда следует, что пара (A, B) L2 -управляема ([17],[18]).Рассмотрим квадратичную форму Z1Zy1ξ1,= y1 ξ1 dx = σ̄(θ)wt2 dxF(y, ξ) =0ξ2ΞΩ0и проверим условия теоремы 3.4 раздела. 3.5.Предположим, что F c эрмитово расширение F на Y1c × Ξc . Для того,чтобы показать ограниченность функционала J (y(·), ξ(·)) на множестве88My0 , достаточно использовать равенствоddtZ1(wt2 + wx2 )dx +Z10σ(θ)wt2 dx = 0,(3.6.58)0которое следует из (3.6.45) – (3.6.50). Вместе с (3.6.58) получаемZ1(wt2 + wx2 )dx +0Z∞ Z10σ(θ)wt2 dxdt = c,0где c > 0 некоторая константа. Из последнего равенство следует, чтоZ∞ Z10σ(θ)wt2 dxdt =0Z∞F c (y(τ ), ξ(τ ))dτ ≤ c.0Теперь проверим частотное условие в соответствии с частотной теоремой Лихтарникова-Якубовича для вырожденного случая ([18]). Предположим, что {αk } - собственные числа Λ и {ek } - соответствующие собственныефункции, которые формируют базис пространства L2 (0, 1).

Используя этосвойство, мы можем написатьw(x, t) =Xwk (t)ek , θ(x, t) =kXθk (t)ek , ξ(x, t) =kXξ k (t)ek ,(3.6.59)kгде wk (t), θk (t) и ξ k (t) соответствующие коэффициенты Фурье.Рассмотрим F c (y, ξ) для iωy = Ac y + B c ξ, ω ∈ R, ξ ∈ Ξc , т. е. формуF c (y, ξ) = (Π0 (iω)ξ, ξ).(3.6.60)Предположим, что w̃k , θ̃k и ξ˜k - преобразование Фурье wk , θk и ξ k , соответственно. Из (3.6.60) следует, что˜ ξ)˜ =(Π0 (iω)ξ,Xk(Πk0 (iω)ξ˜k , ξ˜k ).(3.6.61)89Для того чтобы вычислить Π0 (iω), ω ∈ R, мы применим формальноепреобразование Фурье к (3.6.45) и (3.6.46). В результате с использованием(3.6.59) мы получим уравнения−ω 2 w̃k (iω) + iωσ0 w̃k (iω) − αk w̃k (iω) + ξ˜1k (iω) = 0,iω θ̃k (iω) + αk θ̃k (iω) − ξ˜2k (iω) = 0,k = 1, 2, .

. . .(3.6.62)(3.6.63)Из (3.6.62), (3.6.63) мы имеемw̃k (iω) = χ0 (iω, αk )ξ1k (iω) иθ̃k (iω) = χ1 (iω, αk )ξ2k (iω),гдеχ0 (iω, αk ) = (−ω 2 − iωσ0 + αk )−1 иχ1 (iω, αk ) = (iω − αk )−1 ,k = 1, 2, . . . .Из этой формулы и из (3.6.61) следует, что(Πk0 (iω)ξ˜k , ξ˜k ) = Re(w̃tk ξ˜1k ) = Re(iωχ0 )|ξ˜1k (iω)|2 .Следовательно, мы имеем представление Re(iωχ0 ) 0 Πk0 (iω) = .00Для того чтобы получить неравенство Πk0 (iω) ≤ 0, мы должны показать, чтоRe(iωχ0 ) ≤ 0,ω ∈ R.Неравенство (3.6.64) означает, что(αk ω + ω 3 )i − ω 2 σ0iωRe= Re≤ 0,ω 2 − iωσ0 + αk(αk + ω 2 )2 + ω 2 σ02(3.6.64)90т. е.

−ω 2 σ0 ≤ 0,∀ω ∈ R. Последнее неравенство выполняется, так-какσ0 > 0.Следовательно, мы показали, что все условия теоремы 3.4 выполнены.Следовательно, можно заключить, что наша система имеет определяющиедля диссипативности наблюдения.914. Развитие метода Такенса для задачимикроволнового нагреваВ главе 3 были построены проекторы из множества аменабельныхрешений (аттрактора) на подмножество конечномерного подпространства.Подход, описанный в предыдущей главе, позволяет получить проектор вявном виде, однако требует некоторых дополнительных знаний о системе.Зачастую, при проведении экспериментов эксперементатор этими знаниями не обладает. В данной главе будут строиться не проекторы, а топологические вложения, при этом сама система будет рассматриваться в виде«черного ящика».

Кроме того, вложения будут топологическими только напревалентном множестве динамических систем.4.1.Модификация теоремы вложения Такенса для системы нагреваЧасто при проведении научных экспериментов возникает ситуация,когда исследуемый объект или явление не допускает непосредственногоисследования своей структуры, либо эта структура слишком сложна, нодля анализа доступен сигнал, производимый системой. Абстрагируясь отконкретной природы объекта, можно представить себе «черный ящик», навыходе которого наблюдатель измеряет значение какой-то функции от состояния системы.

Задача заключается в том, чтобы по этим наблюдениям92установить какие-либо свойства системы.Наиболее часто для реконструкции фазового пространства применяется метод координат, сдвинутых по времени. А именно, пусть J - некотороедискретное множество моментов времени наблюдений. Имея зависимостьнаблюдаемой скалярной функции от времени h(t), задается положительный временной шаг δ, целое число d, и строятся d-мерные вектораH(tj ) = (h(tj ), h(tj + δ), . . . , h(tj + (d − 1)δ)), j ∈ J.Полученные вектора {H(tj )}j∈J рассматриваются как точки в реконструированном фазовом пространстве. Остается вопрос, при каких предположениях такая реконструкция провомерна.

На него отвечает теорема Такенса([57]).Теорема служит теоретическим обоснованием определения по наблюдениям характеристик системы, например, фрактальной размерности аттрактора и ляпуновских показателей, а также решения задач управленияи прогнозирования поведения системы, понижения шума и разделения сигналов.Теорема Такенса изначально была доказана для конечномерных многообразий.

Характеристики

Список файлов диссертации