Диссертация (1149211), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Опишем подробно модель, с которой работает теорема Такенса.Пусть M - компактное n-мерное Cr -многообразие (r ≥ 1). Рассматриваетсядифференциальное уравнение вида:u̇(t) = f (u(t)).(4.1.1)Здесь f : M → T M - гладкое векторное поле на M. Предположим, чторешения этого уравнения порождают динамическую систему ({ϕt }t∈R , M).93Обозначим t → ϕt (u), t > 0 - положительное движение произвольной точкиu ∈ M.Предположим, что задана C r - функция h : M → R, называемаяфункцией наблюдения, значения которой доступны наблюдателю.

Пусть δ- интервал между наблюдениями. Тогда имеется последовательность наблюдений, называемая временным рядомz0 = h(u), z1 = h(ϕδ (u)), . . . , zi = h(ϕiδ (u)), i = 1, . . . , N0 ,(4.1.2)где N0 - натуральное число. Пусть d < N0 + 1 - произвольное натуральноечисло, тогда получаем последовательность векторов:ζi := (zi , zi+1 , . . . , zi+d−1 ) ∈ Rd , i = 0, . .

. , N0 − d + 1.(4.1.3)Теорема Такенса говорит, что в типичном случае с помощью реконструированных точек zi хорошо аппроксимируется динамика системы приразмерности вложения d не меньше чем 2n + 1. Говоря более конкретно,отображение Φϕ,h (u) определенное какΦϕ,h (u) := (h(u), h(ϕδ (u)), . . . , h(ϕδ(d−1) (u)), u ∈ Mявляется топологическим вложением для типичных систем (4.1.1).Важную роль в теории вложения играет то, в каком смысле определяется понятие "типичности".

Изначально в работе Такенса типичность рассматривалась следующим образом: свойство типично на топологическомпространстве X всех C r -гладких систем типа (4.1.1) с топологией Уитни, если оно выполняется на массивном подмножестве Z ⊂ X, то есть наподмножестве, содержащем счетное пересечение открытых плотных множеств. Позднее в работе ([53]) теорема Такенса была доказана для случая, когда вместо выше описанного понятия топологической типичности94использовалось понятие превалентности. В дальнейшем в работах Робинсона с использованием понятия превалентности был доказан аналог теоремы Такенса для случая произвольного банахова пространства E.

Приведемстрогое определение превалентности, а так же некоторые другие определения, необходимые для формулировки теоремы Робинсона для гильбертовых троек пространств.Определение 4.1. Борелевское подмножество S нормированного линейного пространства E называется превалентным, если существует вероятностная мера meas с компактным носителем, такая что meas(v+S) = 1для всех v ∈ E.Замечание 4.1. Заметим, что в русскоязычной литературе свойствопревалентности рассматривалось в работах ([19]) и ([8]).

Во второй работе использовался термин метрически существенное множество.Также введем понятия показателя толщины и фрактальной размерности. Пусть Z - подпространство банахова пространства E, тогда показатель толщины пространства Z в E, τ (Z; E) - мера того, насколько хорошопространство Z аппроксимируется линейными подпространствами E. Приведем формальное определение из ([57]).Определение 4.2. Пусть E (Z, n) - минимальное расстояние между Zи любым n-мерным линейным подпространством пространства E. Тогда− log(n)n→∞ log(E (Z, n))τ (Z, E) = lim(4.1.4)называется показателем толщины подпространства Z относительно E.Далее пусть Z ⊂ E - относительно компактное множество. Введемопределение фрактальной размерности Z.95Определение 4.3.

Фрактальной размерностью множества Z называется числоdimF (Z) = lim supε→0log N (Z, ε),− log ε(4.1.5)где N (Z, ε) - минимальное число шаров радиуса ε необходимых дляпокрытия пространства ZВ следующем параграфе эти определения будут использоваться дляформулировки теоремы вложения Робинсона для гильбертовых троек пространств.4.2.Теорема Робинсона о вложении для гильбертовых троекпространствКак и в предыдущих главах, будем рассматривать гильбертову трой-ку, то есть оснащение вещественного гильбертова пространства Y0Y1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 ,(4.2.6)в которой Y1 и Y−1 - вещественные гильбертовы пространства, вложенияплотны и непрерывны.

Пусть (·, ·)i и k · ki , i = 1, 0, −1 - скалярное произведение и норма в Yi соответственно.Также введем в рассмотрение два новых вещественных гильбертовыхпространства Ξ и W со скалярными произведениями (·, ·)Ξ , (·, ·)W и нормами k · kΞ , k · kW , соответственно, иA : Y1 → Y−1 ,B : Ξ → Y−1 ,C : Y−1 → Wлинейные непрерывные операторы. Нелинейность определим следующимобразом: φ : W → Ξ.96Рассмотрим задачу Коши для эволюционных вариационных уравнений аналогично тому как это делалось в главе 3.ẏ(t) = Ay(t) + Bφ(Cy(t)),(4.2.7)y(0) = y0 ∈ Y0 .Вариационная интерпретация понимается в том же смысле, что и ранее:(ẏ(t) − Ay(t)−Bξ(t), η − y(t))−1,1 = 0,∀η ∈ Y1 , w(t) = Cy(t), ξ(t) = φ(w(t)), y(0) = y0 .Предположим что нелинейность φ удовлетворяет свойствам, введенным в главе 3 и необходимым для существования и единственности решений системы (4.2.7).

Предположим также, решения нашей задачи порождают динамическую систему {ϕt }t∈R и отображение ϕ : Y1 → Y1 задаетсяследующим образом ϕ := ϕ1 .Теперь приведем формулировку теоремы Робинсона о вложении ([52])для гильбертовой тройки пространств.Теорема 4.1. Пусть S - компактное подмножество Y1 , удовлетворяющее условию dimF (S) < d, d ∈ N, и имеющее показатель толщиныτ (S, Y1 ). Выберем некоторое натуральное число k > (2 + τ )d и предположим, что S является инвариантным множеством для липшицева отображения ϕ : Y1 → Y1 , так что1. Подмножество E точек множества S такое, что ϕ(u) = u, ∀u ∈ Eудовлетворяет неравенству dimF (E) < 1/2.2. S не содержит периодических траекторий отображения ϕ периодов 2, .

. . , k.97Тогда на превалентном множестве липшицевых отображений h : Y1 → Rотображение Φϕ,h : Y1 → Rk взаимооднозначно на S.Полученная модификация теоремы непосредственно вытекает из оригинальной реоремы Робинсона ([52]). Приведенная выше теорема будет использоваться в следующем разделе для численного моделирования.4.3.Численное исследование задачи нагрева с использованиемтеоремы вложения РобинсонаРассмотрим задачу микроволнового нагрева, которая была введена впредыдущей главе1wxx − σ(θ)wt ,µ(x, t) ∈ QT ,(4.3.8)(x, t) ∈ QT ,(4.3.9)w(0, t) = 0, w(1, t) = 0,t ∈ [0, T ],(4.3.10)θ(0, t) = θ(1, t) = 0,t ∈ [0, T ],(4.3.11)w(x, 0) = w0 (x), wt (x, 0) = w1 (x),x ∈ Ω,(4.3.12)θ(x, 0) = θ0 (x),x ∈ Ω,(4.3.13)εwtt =θt = θxx + σ(θ)wt2 ,где T > 0, Ω = (0, 1) и QT = Ω × (0, T ], ε и µ - константы, отличные отнуля.Аналогично тому, как это было сделано ранее, мы можем записатьэту систему в формеẏ = Ay + Bξ,гдеy(0) = y0 ,(4.3.14)98 y1   wt (x, t)  y(x, t) =  y2  =  w(x, t) θ(x, t)y3 w1 (x, t) , y0 (x) =  w (x, t) 0θ0 (x, t) ξ1 (x, t)   σ̄(θ)wt (x, t) ξ(x, t) = =.2ξ2 (x, t)σ(θ)wt (x, t)Гильбертова тройка пространств и гильбертово пространство Ξ задаются следующим образом.

Положим Y0 = L2 (0, 1) × H01 (0, 1) × L2 (0, 1),Y−1 = H01 (0, 1) и Ξ = L2 (0, 1) × L2 (0, 1). Норма в Y0 задается какk(v1 , v2 , v3 )k0 = max kvi kL2 (Ω) и (·, ·)0 – ассоциированное скалярное проi=1,2,3изведение. Аналогичные норма и скалярное произведение рассматриваются в Ξ.

Используя самосопряженный положительно определенный оператор Λ, который порождается на L2 (0, 1) дифференциальным выражением Λv = −vxx для однородных граничных условий Дирихле, мы можем определить пространство Y1 для гильбертовой тройки пространствY1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 следующим образомY1 = D(Λ) = H01 (0, 1) × H02 (0, 1) × H01 (0, 1),используя норму k · k1 порожденную скалярным произведением (η1 , η2 )1 == (Λ−1 η1 , Λ−1 η2 )0 для произвольного η1 , η2 ∈ D(Λ).Линейные операторы A : Y1 → Y−1 и B : Ξ → Y−1 имеют следующийвид −σ0 I −Λ 0A=00 I00 −Λ −I 0  и B =  0 0 .0 I99Для того, чтобы сформулировать теорему существования и единственности решения для рассматриваемой задачи, введем следующие предположения.(A.4.1) Существуют константы σ0 и σ1 , такие, что0 < σ0 ≤ σ(θ) ≤ σ1 (1 + θ), ∀θ > 0;(A.4.2) σ удовлетворяет локальному условию Липшица на (0, +∞);(A.4.3) wt (x, 0), θ0 (x) ∈ L2 (0, 1).Тогда имеет место следующая теорема существования и единственности слабого решения.Теорема 4.2.

Если выполнены предоложения (A.4.1) – (A.4.3), система (4.3.8) – (4.3.13) имеет единственное глобальное слабое решение(w(x, t), v(x, t), θ(x, t)), где v = wt , θ ∈ L2 (0, T ; H 1 (0, 1)),w, v ∈ C([0, T ]; L2 (0, 1)) для любого T > 0.В работе ([22]) была доказана непрерывная зависимость от параметров и построена динамическая система {ϕt (·)}t∈R+ , порождаемая решениями задачи (4.3.8) – (4.3.13). Кроме этого в работе ([22]) было показано существование единственного стационарного решения задачи (4.3.8) – (4.3.13),а также глобальная устойчивость по отношению к этому стационарномурешению. По аналогии, используя те же функционалы Ляпунова, можнодоказать существование единственного слабого стационарного решения иглобальную устойчивость по отношению к этому решению.

Из этого фактаследует, что для отображения ϕ := ϕ1 выполнены следующие свойства:• Если обозначить, через E - множество стационарных точек отображения ϕ, то dimF (E) = 0;100• Отображение ϕ не имеет периодических траекторий.Таким образом выполнены все достаточные для применения теоремыРобинсона условия.Далее, для иллюстрации применения теоремы Робинсона к задаче нагрева, будем использовать конечномерную аппроксимацию процесса нагрева материала с помощью численного моделирования методом разностнойсхемы.Пусть A - аттрактор рассматриваемой аппроксимационной задачи.Для оценки фрактальной размерности введем понятие корреляционнойразмерности: Корреляционная размерность определяется следующим образом:ln(C()),→+0 ln()dimcor (A) = lim(4.3.15)где C() корреляционный интеграл, определяющийся следующим образом:N1 XH( − kyi − yj k),C() = lim 2N →∞ Ni,j=1(4.3.16)где yi - N векторов из A, k · k - расстояние на A и H(x) функция Хэвисайда 1, если x ≥ 0H(x) =(4.3.17) 0, если x < 0.Пусть θ0 (t) - температурная компонента решения аппроксимационнойзадачи (1.1)-(1.6) в фиксированной точке x1 ∈ (0, 1) в момент времени t.Пусть δ > 0 - промежуток времени между измерениями.

Характеристики

Список файлов диссертации