Автореферат (1149209)
Текст из файла
На правах рукописиПопов Сергей АльбертовичЛокализация инвариантных множеств и аттракторовэволюционных систем, связанных с одно и двух-фазовой задачаминагрева и их численная реконструкция с помощью метода ТакенсаСпециальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения,динамические системы и оптимальное управлениеАвторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург — 2018Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель:Райтманн Фолькер,доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной кибернетики СанктПетербургского государственного университетаОфициальные оппоненты: Буркин Игорь Михайлович,доктор физико-математических наук, профессор,заведующий кафедрой математического анализа,Tульского государственного университетаИванов Борис Филиппович,кандидат физико-математических наук, доцент,заведующий кафедрой высшей математики,Высшей школы технологии и энергетики СанктПетербургского государственного университетапромышленных технологий и дизайнаВедущая организация:Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» имени В.И.Ульянова (Ленина)Защита состоится « »2018 г.
вчасов на заседании диссертационного совета Д 212.232.49 на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 10 линия В.О.,д. 33/35, ауд. 74.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034,Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9 и на сайте: https://disser.spbu.ru/disser/soiskatelyu-uchjonoj-stepeni/dis-list/details/14/1680.html.Автореферат разослан « »Ученый секретарьдиссертационного совета Д 212.232.49,доктор физико-математических наук2018 г.Чурин Ю.В.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.В диссертации изучаются условия существования и локализации инвариантных множеств и аттракторов для эволюционных систем, которые, в частности, порождаются одно- и двухфазовыми задачами нагрева и задачей нагрева стержня.
Кроме того, в диссертации изучаются вопросы ограниченности решений эволюционных систем. На основе этой теории формулируютсяусловия ограниченности решений микроволновой задачи нагрева. Также рассматривается лакализация множества аменабельных по Смиту [5] решенийс помощью построения конечномерного проектора. Численные эксперименты проводятся с помощью модифицированного метода вложения ТакенсаРобинсона.Актуальность темы. Эволюционные системы, порожденные задачей микроволнового нагрева [3], широко используются в настоящее время в различных областях медицины и промышленности.
Часто в прикладных процессах играет важную роль вопрос существования и локализации инвариантныхмножеств и аттракторов таких эволюционных систем. Под локализацией таких множеств мы подразумеваем построение положительно инвариантныхмножеств, которые содержат в себе данные множества. В книге [1] для определенных классов эволюционных уравнений предлагаются методы построенияи локализации таких инвариантных множеств и аттракторов. Также актуальным является использование частотной теоремы Лихтарникова-Якубовича [2]для исследования устойчивости и локализации эволюционных систем, порожденных задачей микроволнового нагрева.Зачастую, вместо того чтобы рассматривать аттрактор, оказывается удобнее рассматривать класс так называемых аменабельных (допустимых) решений, который впервые был введен Р.
А. Смитом [5] для дифференциальныхуравнений с запаздывающим аргументом.Кроме изучения заданных в явной форме уравнений, в практической деятельности часто встречаются ситауции, когда имеется только некоторая последовательность наблюдений за состоянием системы. В данном случае актуальной является задача построения вспомогательной системы путем вложения исходного фазового пространства в некоторое конечномерное пространство. Данная задача впервые была рассмотрена Ф. Такенсом для семействатопологически типичных гладких динамических систем, заданных на конечномерных многообразиях. Позднее результаты Такенса были обобщены дляслучая систем на произвольном банаховом пространстве Робинсоном [4].
Актуальным является модификация этого метода на случай эволюционных систем, связанных с задачей нагрева. Также Робинсоном было введено понятие3превалентности - метрического аналога свойства топологической типичностидля таких систем.Актуальность темы подтверждается так же тем, что она входит в число исследований, поддержанных Немецко-Российским научным центром (GRISC). Диссертант получал поддержку от G-RISC в виде стажировки в Германии, Дрезден, Институт Физики Комплексных Систем имени Макса Планка в ноябре 2012 г.Цель работы.
Целью работы является развитие метода локализации инвариантных множеств и аттракторов, основанного на методе Ляпунова дляэволюционных систем, включающих задачу одно- и двухфазового микроволнового нагрева. В частности, ставится задача построения конечномерных проекторов для таких систем и разработка эффективного численного подхода,основанного на модификации метода Такенса-Робинсона.Методы исследования. В диссертации используются следующие методы исследования:• Построение функционалов типа Ляпунова в виде квадратичных форм вфункциональных пространствах.• Частотный метод для построения функционала типа Ляпунова для эволюционных систем на основе частотной теоремы Лихтарникова-Якубовича.• Численная аппроксимация аттрактора задачи микроволнового нагреваметодом Такенса-Робинсона с использованием языка программированияPython.Результаты, выносимые на защиту.• Доказано существование положительно инвариантного выпуклого множества для эволюционных систем с нелинейностью типа Клейна-Гордона.• Получены достаточные условия ограниченности решений эволюционныхсистем с нелинейностью типа Клейна-Гордона.• Приведены условия ограниченности решений двухфазовой задачи нагрева.• Предложен метод построения проекторов для эволюционной системы,порожденной системой микроволнового нагрева.• Доказано существование проектора из множества аменабельных решений эволюционных уравнений на некоторое подмножество конечномерного пространства4• Проведены численные исследования одномерной задачи микроволнового нагрева с помощью модифицированного метода вложения ТакенсаРобинсона.Достоверность результатов.
Все полученные результаты математически строго доказаны.Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми. Впервые вводится понятие аменабельных решенийдля эволюционных систем и доказывается существование проекторов для таких решений.Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные условия ограниченности решений для задач микроволнового нагрева могут быть использованы для контроля за температуройнагреваемого материала, в частности, при стерилизации продуктов питания.Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "The 9th AIMS Conference on Dynamical Systems,Differential Equations and Applications"(Орландо, Флорида, США, 2012),"Science and Progress"в рамках научного центра G-RISC (Санкт-Петербург,2011), “The 8th International Conference on Differential and Functional DifferentialEquations” (Москва, 2017), на семинарах кафедры прикладной кибернетикиСанкт-Петербургского государственного университета (2010 – 2013).Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах, в том числе в четырех статьях. Статьи [1*,2*] опубликованыв изданиях, рекомендованных ВАК РФ и индексируемых системой Scopus. Вработах [1*,3*,4*] соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи, диссертанту принадлежат все основные теоретические результатыи численное моделирование. В работе [6*] диссертанту принадлежат результаты по ограниченности решений.Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоитиз введения, четырех глав, разбитых на 15 разделов, заключения, спискалитературы, включающего 62 наименования, изложена на 112 страницах машинописного текста и содержит 3 рисунка.ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВ первой главе рассмотрены вопросы существования решения для классаэволюционных уравнений с монотонной нелинейностью. Также здесь изучаются эволюционные уравнения с нелинейностью типа Клейна-Гордона.
Приэтом используется метод положительно инвариантных конусов.5Пусть V1 ⊂ V0 ⊂ V−1 - оснащение вещественного гильбертова пространства V0 (или так называемая гильбертова тройка) [2]. Обозначим через (·, ·)Vjи k · kVj , j = 1, 0, −1, скалярное произведение и норму в Vj (j = 1, 0, −1) соответственно, и через (·, ·)V−1 ,V1 - скобку двойственности между V−1 и V1 . ПустьA0 ∈ L(V1 , V−1 ) - линейный ограниченный оператор, b0 ∈ V−1 - обобщённыйвектор, c0 ∈ V0 - вектор и d0 ≤ 0 - число. Введем линейные ограниченныеоператоры C0 ∈ L(V0 , R) и B0 ∈ L(R, V−1 ), соответствующие векторам c0 иb0 , которые определяются следующим образом: C0 ν = (c0 , ν)V0 , ∀ ν ∈ V0 , иB0 ξ := ξb0 , ∀ξ ∈ R.Предположим, что φ : R × R → R и g : R → R - две скалярных функции.Рассмотрим систему непрямого управленияν̇ = A0 ν + b0 [φ(t, w) + g(t)] ,ẇ = (c0 , ν)V0 + d0 [φ(t, w) + g(t)] .(1)Перепишем систему (1) как систему управления в стандартном виде.
Дляэтого рассмотрим гильбертову тройку пространств Z1 ⊂ Z0 ⊂ Z−1 , где Zj :=Vj × R, j = 1, 0, −1. Скалярное произведение (·, ·)Zj в Zj вводится соотношением (ν1 , w1 ), (ν2 , w2 ) Zj := (ν1 , ν2 )Vj + w1 w2 , (ν1 , w1 ), (ν2 , w2 ) ∈ Zj . Скобкадвойственности между Z−1 и Z1 определяется следующим образом:((h, ξ), (ν, ς))Z−1 ,Z1 := (h, ν)V−1 ,V1 + ξ ς, ∀ (h, ξ) ∈ Z−1 , (ν, ς) ∈ Z1 .h i Пусть b̂ := db00 ∈ Z−1 и ĉ := 01 ∈ Z0 , а операторы Ĉ ∈ L(Z0 , R) и B̂ ∈L(R, Z−1 ) задаются какĈz = (ĉ, z)Z0 ,∀ z ∈ Z0 ,B̂ξ = ξ b̂ ,∀ξ ∈ R.Также введем оператор Â ∈ L(Z1 , Z−1 ), который определяется следующимобразомA0 0Â :=.C0 0Рассмотрим системуż = Âz + B̂ [φ(t, w) + g(t)] , w = Ĉz .(2) Данная система эквивалентна (1) при z := wν .Для произвольных −∞ ≤ T1 < T2 ≤ +∞ определим норму для измеримых6функций по Бохнеру в L2 (T1 , T2 ; Zj ) ,kzk2,j :=ZT2j = 1, 0, −1 соотношениемkz(t)k2j1/2dt.(3)T1Пусть W(T1 , T2 ; Z1 , Z−1 ) - пространство функций z таких, чтоz ∈ L2 (T1 , T2 ; Z1 ), ż ∈ L2 (T1 , T2 ; Z−1 ).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
