Автореферат (1149209), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Норму в пространстве W(T1 , T2 ; Z1 , Z−1 )определим следующим образомkzkW(T1 ,T2 ;Z1 ,Z−1 ) := kzk22,1 + kżk22,−11/2.(4)Далее введём предположения (A.1.1) – (A.1.6) относительно оператораA0 ∈ L(V1 , V−1 ), векторов b0 ∈ V−1 и c0 ∈ V0 и функций φ и g.(A.1.1) Для любого T > 0 и любой f = (f1 , f2 ) ∈ L2 (0, T ; V−1 × R) задачаν̇ = A0 ν + f1 (t),(5)ẇ = (c0 , ν)V0 + f2 (t),(6)(ν(0), w(0)) = (ν0 , w0 )(7)корректно поставлена, то есть для произвольных (ν0 , w0 ) ∈ Z0 , (f1 , f2 ) ∈L2 (0, T ; Z−1 ) существует единственное решение (ν, w) ∈ W(0, T ; Z1 , Z−1 ), удовлетворяющее (5)–(7) в вариационном смысле, и которое непрерывно зависитот начальных данных, то есть для некоторых констант k3 > 0 и k4 > 0 выполнено неравенствоk(ν, w)k2W(0,T ;Z1 ,Z−1 ) ≤ k3 k(ν0 , w0 )k2Z0 + k4 k(f1 , f2 )k22,−1 .(8)(A.1.2) Существует λ > 0 такое, что A0 + λI - гурвицев оператор.(A.1.3) Для любых T > 0, (ν0 , w0 ) ∈ Z1 , (ν̃0 , w̃0 ) ∈ Z1 и (f1 , f2 ) ∈ L2 (0, T ; Z1 )решение прямой задачи (5)–(7) и решение двойственной задачиν̃˙ = −(A∗0 + λ I)ν̃ + f1 (t),w̃˙ = −C0∗ w̃ − λ w̃ + f2 (t),(10)(ν̃(0), w̃(0)) = (ν̃0 , w̃0 )(11)непрерывны по t в сильном смысле по норме пространства Z1 .Здесь A∗0 ∈ L(V−1 , V0 ) обозначает сопряженный к A0 оператор, т.

е.(A0 y, η)−1,1 = (y, A∗0 η)−1,1 , ∀y, η ∈ V1 .7(9)(A.1.4) Пара (A0 , b0 ) - L2 - управляема, то есть для произвольного ν0 ∈ V0существует управление ξ (·) ∈ L2 (0, ∞; R) такое, что задачаν̇ = A0 ν + b0 ξ ,ν(0) = ν0корректно поставлена в вариационном смысле на (0, ∞) .Обозначим через Ac0 , bc0 , cc0 и Z0c комплексификацию A0 , b0 , c0 и Z0 , соответственно. Введём передаточную функцию для тройки (Ac0 , bc0 , cc0 ) какχ(p) = cc0 , (Ac0 − pI c )−1 bc0Z0c,p ∈ ρ(Ac0 ).(A.1.5) Для λ > 0 из предположения (A.1.2) и некоторого κ1 > 0 - выполненоλd0 + Re (−iω − λ)χ(iω − λ) + κ1 | χ(iω − λ) − d0 |2 ≤ 0 ,∀ω ≥ 0.(12)(A.1.6) Функция φ : R × R → R непрерывна и φ(t, 0) = 0, ∀ t ∈ R.

Функцияg : R → R - непрерывна. Существуют числа κ1 > 0 (из (A.1.5)), 0 ≤ κ2 <κ3 < +∞, β1 < β2 и ζ2 < ζ1 такие, чтоa)b)β1 < g(t) < β2 , п. в. t ∈ R;(φ(t, w) + βi )(w − ζi ) ≤ κ1 (w − ζi )2 , i = 1, 2,∀ t ∈ R, ∀ w ∈ [ζ2 , ζ1 ] ;c)κ2 (w1 − w2 )2 ≤ (φ(t, w1 ) − φ(t, w2 ))(w1 − w2 ) ≤ κ3 (w1 − w2 )2 ,∀ t ∈ R, ∀ w1 , w2 ∈ [ζ2 , ζ1 ] .Замечание 1. Гиперболические уравнения с нелинейностью, обладающейсвойствами b) и c), называются уравнениями типа Клейна-Гордона. Параболические уравнения с такими нелинейностями называются уравнениямитипа Чэфи-Инфанте. Для конечномерного случая такие нелинейности называются нелинейностями типа Дуффинга.(A.1.7) Пространство Z0 можно разложить в виде Z0 = Z0+ ⊕ Z0− так, чтоверно следующее:a) Для каждого z0 ∈ Z0+ мы имеем lim z(t, z0 ) = 0, и для каждого z0 ∈ Z0−t→∞существует единственное решение z− (t) = z(t, z0 ) системы (1), определённое на (−∞, 0), такое, что lim z− (t) = 0 и (c, z(t, z0 ))0 = 0, ∀ t ≥ 0t→−∞тогда и только тогда, когда z0 = 0.8b) Для каждого z0 ∈ Z0+ равенство (c, z(t, z0 ))0 = 0, ∀ t ≤ 0 выполняетсятогда и только тогда, когда z0 = 0, и для каждого z0 ∈ Z0− равенство(c, z(t, z0 ))0 = 0, ∀t ≤ 0 выполняется тогда и только тогда, когда z0 = 0 .Доказывается следующая теорема, которая дает существование положительно инвариантного выпуклого множества для системы (1).Теорема 1.

Предположим, что для системы (1) выполнены (A.1.1) – (A.1.7).Тогда существует замкнутое, положительно инвариантное и выпуклое множество G такое, что{(ν, w) ∈ V1 × R | ν = 0, w ∈ [ζ2 , ζ1 ]} ⊂ G ⊂ {(ν, w) ∈ V1 × R | w ∈ [ζ2 , ζ1 ]} .Далее в первой главе рассматривается задача нагрева стержня.θt = δ1 θxx − δ2 θ,θx|x=0 = 0, θx|x=1 + δ3 θ|x=1 = δ4 [φ(t, w) + g(t)],θ|t=0 = 0,Z 1ẇ =θ(x, t)k(x)dx + δ5 [φ(t, w) + g(t)],x ∈ (0, 1), t > 0,(13)t > 0,(14)x ∈ (0, 1),(15)x ∈ (0, 1), t > 0,(16)t > 0,(17)0φ(t, w) = w − δ6 w3 ,где θ(x, t) - температура стержня в точке x в момент времени t, δ1 - положительный коэффициент теплопроводности, δ2 - положительный коэффициент оттока тепла.

Величину −δ2 θ можно интерпретировать как охлаждениевдоль стержня. δ3 , δ4 ∈ R, δ5 < 0, δ6 ≥ 0, w - мощность теплового источника, k - некоторая непрерывная скалярная неотрицательная функция, g непрерывная скалярная функция, φ - некоторая гладкая функция.Для данной задачи проверяются условия полученных теоретических результатов.В конце первой главы приведены условия ограниченности решений эволюционных систем с периодической нелинейностью и рассматривается локализация инвариантного множества данной системы на конусной сетке.Во второй главе рассматриваются дважды нелинейные эволюционныеуравнения с нелинейностями в правой и левой частях. Для таких систем приведены достаточные условия ограниченности решений.Рассмотрим следующую эволюционную систему, заданную на парах осна-9щенных гильбертовых пространств Y1,1 ⊂ Y1,0 ⊂ Y1,−1 и Y2,1 ⊂ Y2,0 ⊂ Y2,−1 :dy1 = A1 y1 + B1 (g1 (z1 ) + g2 (z1 , z2 )), z1 = C1 y1 ,dtd(B2 y2 ) = A2 y2 + B2 φ2 (z1 , z2 ), z2 = C2 y2 ,dty1 (0) = y01 ; y2 (0) = y02 ,(18)(19)(20)где yi ∈ Yi,1 , Ai : Yi,1 → Yi,−1 , Bi : Ξi → Yi,−1 , Ci : Yi,1 → Zi , i = 1, 2 линейные ограниченные операторы, B2 : Y2,1 → Y2,1 - нелинейный оператор,g1 : Z1 → Ξ1 , g2 : Z1 × Z2 → Ξ2 , φ2 : Z1 × Z2 → Ξ2 - нелинейные функции, аΞi и Zi , i = 1, 2 - некоторые гильбертовы пространства.

Такая система называется дважды нелинейной парной эволюционной системой. Важным свойством таких систем является их гибридность. Так первая подсистема можетпорождаться уравнением гиперболического типа, а вторая - параболическоготипа.Определим следующие пространства Y1 = Y1,1 ×Y2,1 , Y0 = Y1,0 ×Y2,0 , Y−1 =Y1,−1 × Y2,−1 со скалярными произведениями((y1 , w1 ), (y2 , w2 ))j = (y1 , y2 )1,j +(w1 , w2 )2,j , j = 1, 0, −1, y1 , y2 ∈ Y1,j , w1 , w2 ∈ Y2,j .и соответствующими нормами.

Также пусть (·, ·)−1,1 будет скобкой двойственности между Y−1 и Y1 .Далее пусть A := (A1 , A2 ) : Y1 → Y−1 , B := (B1 , B2 ) : Ξ1 × Ξ2 → Y−1и C := (C1 , C2 ) : Y1 → Z1 × Z2 - линейные ограниченные операторы, B :=(I, B2 ) : Y1 → Y2 - нелинейный оператор и φ̂(·, ·) := (g1 (·) + g2 (·, ·), φ2 (·, ·)) :Z1 × Z2 → Ξ1 × Ξ2 - некоторая нелинейная функция.Тогда систему (18) – (20) можно записать в видеd(By) = Ay + B φ̂(z), z = Cy,dty(0) = y0 ,(21)(22)где y = (y1 , y2 ), z = (z1 , z2 ), y0 = (y01 , y02 ).Решением (21) – (22) будем называть функциюy ∈ W(T1 , T2 , Y1 , Y−1 ) ∩ C(T1 , T2 ; Y0 ), удовлетворяющую уравнению (21) – (22)в вариационном смысле.

То есть для почти всех t ∈ [T1 , T2 ] выполненоd(By(t)) − Ay(t) − B φ̂(z(t)), η − y(t))−1,1 = 0,dt∀η ∈ V1 , z(t) = Cy(t), y(0) = y0 .(10(23)(24)Введем следующие предположения:(A.2.1) Система (21) – (22) имеет глобальное слабое решение для любогоy0 ∈ Y 1 .(A.2.2) Z1 = Ξ1 = Ξ2 = R.(A.2.3) Существуют κ1 , κ2 , κ1 < κ2 такие, что для функцииφ̃1 (z1 , t) := g1 (z1 ) + g2 (z1 , z2 (t)),где z2 (t) = C2 y2 (t) и y2 (t) — решение (18) – (20), выполняетсяκ1 z12 ≤ φ̃1 (z1 , t)z1 ≤ κ2 z12 , ∀z1 ∈ R, t ≥ 0.(A.2.4) Оператор A1 является регулярным [2], т. е.

для любых T > 0, y10 ∈Y1,1 , ỹ1T ∈ Y1,1 и f1 ∈ L2 (0, T ; Y1,0 ) решения прямой задачиẏ1 = A1 y1 + f1 (t), y1 (0) = y10 , п. в. t ∈ (0, T )и двойственной задачиỹ˙ 1 = −A∗1 ỹ1 + f1 (t), ỹ1 (T ) = ỹ1T , п. в. t ∈ (0, T )строго непрерывны по t по норме порстранства Y1,1 .(A.2.5) Пара (A1 , B1 ) является L2 -управляемой [2].(A.2.6) Обозначим через Ac1 , B1c и C1c комплексификацию операторов A1 , B1и C1 , соответственно. Введем передаточную функцию линейной части системы (18) - χ1 (p) = C1c (Ac1 − pIYc1,1 )−1 B1c , p ∈ ρ(Ac1 ) и рассмотрим следующуюэрмитову форму:F(ξ1 , z1 ) := Re(ξ1 − κ1 z1 )∗ (κ2 z1 − ξ1 ), ξ1 , z1 ∈ C,тогда выполнено частотное условиеRe(κ1 χ1 (iω) + IΞ1 )∗ κ2 χ1 (iω) + IΞ1 ) ≥ 0.(A.2.7) Существует число κ3 > 0 такое, что(B2 (y2 ), A2 y2 )2,1 ≤ −κ3 ky2 k22,1 , ∀y2 ∈ Y2,1 .(A.2.8) Существует число κ4 > 0 такое, что(B2 (y2 ), B2 φ̃2 (t, y2 ))2,1 ≤ κ4 ky2 k22,1 , ∀y2 ∈ Y2,1 , t ≥ 011для φ̃2 (t, z2 ) = φ2 (z1 (t), z2 ).В работе доказывается следующая теорема.Теорема 2.

Пусть выполнены предположения (A.2.1) - (A.2.8). Тогда решения системы (18) - (20) ограничены на (0, ∞).Далее во второй главе в качестве частного случая дважды нелинейныхсистем рассматривается двухфазовая задача микроволнового нагрева. Приводится формальная постанавка задачи в трехмерном случае и ее интерпретация в одномерном случае.1εwtt − wxx + σ(θ)wt = 0,µb(θ)t − θxx = σ(θ)wt2(x, t) ∈ (0, 1) × [0, +∞),(25)(x, t) ∈ (0, 1) × [0, +∞),(26)w(0, t) = w(1, t) = 0,t ∈ [0, +∞),(27)θ(0, t) = θ(1, t) = 0,t ∈ [0, +∞),(28)w(x, 0) = 0, wt (x, 0) = 0,x ∈ (0, 1),(29)θ(x, 0) = θ0 (x),x ∈ (0, 1),(30)где ε - диэлектрическая проницаемость, µ - магнитная проницаемость, b(θ) оператор энтальпии:b s − 1 , s < θ,b , s = θ,bb(s) =[θb − 1 , θ]bs , s > θ,где θb – температура плавления материала.В работе показано, что при предположении о существовании глобальныхрешений, а также при выполнении некоторых дополнительных предположений на систему (25)–(30) все условия теоремы 2 выполнены, и, следовательно,решения рассматриваемой системы ограничены.В третьей главе рассматриваются общие системы управления с обратнойсвязью, состоящие из линейной и нелинейной частей, а также рассматривается вопрос построения проекторов для таких систем.Рассмотрим оснащение вещественного гильбертова пространства Y0Y1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1(31)со скалярными произведениями (·, ·)i и нормами k · ki , i = 1, 0, −1.Предположим, что Ξ и W два вещественных гильбертовых пространства12со скалярными произведениями (·, ·)Ξ , (·, ·)W и нормами k · kΞ , k · kW , соответственно, иA : Y1 → Y−1 ,B : Ξ → Y−1 ,C : Y−1 → Wлинейные непрерывные операторы.

Определим нелинейность следующим образом φ : W → Ξ.Рассмотрим задачу Коши для эволюционных вариационных уравненийẏ(t) = Ay(t) + Bφ(Cy(t)),y(0) = y0 ∈ Y0 .(32)Далее в третьей главе приводится теорема, дающая частотные условиядля существования функционалов Ляпунова, которые описывают асимптотическое поведение нормы разницы двух произвольных решений системы (32).Для формулировки этой теоремы необходимы некоторые свойства регулярности.Предположим, что в дальнейшем λ > 0 - некоторое фиксированное число.(A.3.1) Для любого T > 0 и лобой функции f ∈ L2 (0, T ; Y1 ) задачаẏ = (A + λI)y + f (t), y(0) = y0(33)является корректно поставленной, т. е.

для произвольного y0 ∈ Y0 ,f ∈ L2 (0, T ; Y−1 ) существует единственное решение y ∈ W(0, T ; Y1 , Y−1 ) (33)и оно непрерывно зависит от начальных данных и возмущений, т. е.ky(·)k2W(0,T,Y1 ,Y−1 ) ≤ c1 ky0 k20 + c2 kf k22,−1 ,(34)где c1 > 0 и c2 > 0 - некоторые константы.(A.3.2) Оператор A + λI ∈ L(Y1 , Y−1 ) является регулярным (см. A.2.4).(A.3.3) Пара (A + λI, B) является L2 -управляемой (см.

Характеристики

Список файлов диссертации